Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

§ 6] СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОП РЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 27

§ 6. Статистическое определение вероятности события

Необходимый для классического определения веро­ ятности анализ — рассмотрение полной системы равно­ возможных событий и выделение тех из них, которые благоприятны для рассматриваемого события,— удается провести далеко не всегда. Например, событие, состоящее в том, что определенный атом радия распадается за вре­ мя, не превосходящее t, пока не поддается исследованию в такой схеме. Поэтому определить вероятность этого события классическим методом нельзя. Также невозможно при помощи теоретического расчета определить вероят­

ского пола.

Существует другой способ оценки вероятности слу­ чайного события — оценка при помощи опыта. Допустим, что комплекс условий, при котором может происходить рассматриваемое событие, многократно в точности пов­ торяется сам или может быть многократно в точности воспроизведен. Мы условились в таком случае говорить, что производятся испытания. Если при выполнении щ испытаний событие А произошло т1 раз, то говорят, что относительная частота события А в этой серии испыта­ ний равна mjriy. Во второй серии испытаний относитель­

тами большого числа различного рода испытаний подме­ чено, что для широкого круга явлений относительная частота появлений рассматриваемого события в различ­ ных сериях испытаний обнаруживает устойчивость. От­ носительные частоты в сериях испытаний мало отлича­ ются друг от друга. Эти отличия тем меньше, чем больше число испытаний в данных сериях испытаний. Например, относительная частота рождений младенцев мужского пола не отличается заметно от 0,515, если учтено доста­ точно большое число рождений.

Статистика показывает, что относительная частота рождений мальчиков не зависит от местности или этнического состава населения. Она всегда превышает

28 СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ 1ГЛ. 1

относительную частоту рождений девочек приблизительно на 0,03. Можно сказать, что относительная частота рож­ дений мальчиков есть величина устойчивая.

Если определять относительную частоту распада атома Ra226 за 100 лет, то всегда будет получаться величина 0,04184. Здесь число испытаний в серии равно числу на­ ходящихся под наблюдением атомов радия. Это число в опыте огромно и потому относительная частота распадов в сериях испытаний в высшей степени устойчива, ее из­ менения незаметны, так как перекрываются ошибками в определении числа всех атомов и числа распавшихся атомов.

Вероятностью события называется объективно суще­ ствующая величина, около которой группируются от­ носительные частоты этого события. Таково статистиче­ ское определение понятия вероятности.

Как легко уяснить, по значениям относительных частот можно получить лишь приближенное значение вероятности. Поэтому формально математик скажет, что статистическое определение понятия вероятности нельзя

ний так велико, что опыт может дать значение вероятности события с весьма высокой точностью. Например, для распада Ra226, где число учтенных испытаний огромно— равно числу атомов в испытуемом образце (т. е. порядка 1023—1024),— опыт может дать значение вероятности собы­ тия с весьма высокой точностью. Можно утверждать, что с точностью до пятой цифры после запятой вероятность распада атома радия за 100 лет равна 0,04184. Существен­ но то, что ограничение точности указания значения веро­ ятности пятой цифрой после запятой связано не с тем, что в опыте с радием относительная частота отклоняется от вероятности события. Это отклонение заведомо на много порядков меньше, чем ошибки измерений в выполненном опыте.

Можно утверждать, что наблюдаемая относитель­ ная частота распада атомов радия (в пределах ошибок из­ мерения) равна вероятности распада атома. Этот пример показывает, что для астронома и физика статистическое определение понятия вероятности является содержатель­ ным определением.

Можно сказать, что вероятностью события является предел, к которому стремится относительная частота по­ явления события при неограниченном увеличении числа испытаний.

При статистической оценке вероятности события не­ обходимо, чтобы соблюдалось точное воспроизводство комплекса условий, т. е. чтобы условия испытаний не менялись. Если условия испытаний меняются, то в об­ щем случае меняется и вероятность появления события. Если, например, вероятность выдачи конвейером брако­ ванной детали определяется при помощи определений относительной частоты бракованных изделий на протя­ жении ряда лет, то нужно иметь в виду, что, несмотря на кажущееся точное воспроизводство комплекса условий, оно на самом деле не будет точным, так как отдельные части конвейера с течением времени изнашиваются, усло­ вия обработки детали изменяются. В этом случае относи­ тельная частота события не будет изменяться устойчиво, так как вероятность события — появление бракованной детали — будет изменяться со временем.

§ 7. Условная вероятность. Зависимые и независимые события

Пусть при выполнении некоторого комплекса условий могут произойти случайные события А и В. Их вероят­ ности соответственно равны Р (А) и Р (В). Допустим, стало известно, что при выполнении данного комплекса условий событие А произошло. Относительно события В данных не получено. Однако теперь, после получения информации о совершении события А, вероятность собы­ тия В может стать другой, отличной от Р (В). Если, нап­ ример, при бросании игральной кости вероятность появ­ ления единицы равна Vg, то после того как стало извест­ но, что выпало нечетное число, вероятность того, что выпала единица, возросла до 1/3.

Вероятность события В при условии, что событие А

то событие В называют независимым от события А. На­ пример, события {извлечение из колоды карты масти треф} и {извлечение валета} являются независимыми события­ ми. Информация, что извлечен валет, не меняет вероят­ ности появления трефы; она остается равной ги. Точно так же не изменяется вероятность, равная Vi3, что извле­ ченная карта — валет, когда стало известно, что карта трефовая.

Независимость событий является свойством взаимным, т. е. если справедливо (1.38), то выполняется и равенство

Это свойство будет доказано в следующем параграфе. Если же

Р ( А \ В ) ф Р ( А ) , Р ( В \ А ) ф Р ( В ),

то события А и В называются зависимыми.

Полная система событий Л (будем обозначать так для

называются взаимно независимыми, если справедливы ра­ венства

для любых i и /. В этом случае справедливы, очевидно, и равенства

Если хотя бы для какой-нибудь пары значений г и / равенство (1.42) не выполняется, то полные системы со­ бытий (1.40) и (1.41) являются взаимно зависимыми систе­ мами событий.

Система событий, составленная из всех попарных про­ изведений событий системы Л на события системы 33,

является полной системой событий, так как ее события несовместимы и при выполнении комплекса условий од­