Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 139
Скачиваний: 0
S 69] |
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИЙ |
24? |
но и положительно, то и спектральная плотность, опреде ляемая равенством
S (о) day day = М [d<P* (ш)-£?Ф (со)],
вещественна и положительна. Поскольку согласно (5.109) S h пропорционально энергии /с-го гармонического коле бания, то и S (со) day пропорционально энергии, прихо дящейся на интервал частот day в интегральном представ лении (5.113). Таким образом, спектральная плотность характеризует распределение по частотам энергии рас сматриваемого случайного процесса.
Определим, используя спектральное разложение
(5.113), |
корреляционную функцию |
случайной |
функции |
|
X (t): |
|
|
|
|
К 0(т) = |
М [X* (*) X (t + т)] = |
М [X * (0) X (т)] = |
|
|
|
|
о о |
о о |
|
|
= |
М ^ йФ* (со) ^ |
(сох). |
|
|
|
—о о |
—оо |
|
Меняя местами операцию интегрирования и операцию ма тематического ожидания, находим, используя (5.115),
ОО |
о о |
|
|
Ко (т) = ^ |
^ е1ш^М [<2Ф (со)с!Ф (®х)] = |
|
|
—о о |
—оо |
|
|
|
о о |
о о |
|
|
= § S(ay)day |
^ еы‘тд (ауг — оу)dayu |
(5.116) |
|
—о о |
—оо |
|
На основании свойства 6-функции (2.38) получаем |
|||
|
СО |
|
|
|
К 0(т) = |
^ S (со)e^day. |
(5.117) |
-ОО
Таким образом, корреляционная функция есть преобра зование Фурье спектральной плотности.
Выполняя обратное преобразование Фурье, находим
'СО |
|
S(co) = -^ - J К 0(х) е ^ Ч х . |
(5.118) |
-С О
248 |
|
|
СЛУЧАЙНАЯ |
ФУНКЦИЯ |
|
[ГЛ. |
5 |
З а д а ч а |
82. Найти спектральную плотность для |
||||||
случайного процесса, определенного в задаче 74. |
|
|
|||||
Р е ш е н и е . |
Согласно решению задачи 74 корреля |
||||||
ционная функция этого процесса для |
значений |
т |
1 |
||||
имеет вид |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К 0 (т) = п (1 — т), |
|
|
|
|
а для всех т |
|
1 равна нулю. Подставляя эти данные |
|||||
в (5.108), находим |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
sin2 . |
|
|
|
S (со) =-^- ^ п (1 — т) cos (сот) dx = |
|
|
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
§ 70. Марковские процессы |
|
|
|||
Если условная вероятность того, что случайная функ |
|||||||
ция |
примет |
в |
момент t2 ^> tx значение |
в промежутке |
|||
lx2, |
х2 + dx2] |
при условии, |
что поведение при t ^ |
tx не |
|||
зависит от того, |
какие значения случайная функция при |
||||||
нимала в моменты, предшествующие <15 то такая случай ная функция называется процессом без последействия или марковским процессом.
Обозначим
фп (*i, хх\ t2, х2; . . . ; tn, хп) dx2 dxa . . . dxn (5.119)
условную вероятность события, состоящего в том, что слу
чайная |
величина |
в моменты |
t2 <Zt3 < ••• < t n примет |
||||||
значения |
внутри |
промежутков |
[х2, |
х2 + |
dx2], |
[ж3, х 3 + |
|||
+ dx3], . . |
., [хп, |
хп + |
dxn] соответственно при условии, |
||||||
что X |
(ti) |
= хг. |
|
t2, х2; . . .; |
tn, хп) есть условная |
||||
Функция ф„ (tx, Xi, |
|||||||||
(п — 1)-мерная плотность |
вероятностей |
для |
моментов |
||||||
t2, tз,. |
. . , tn при |
условии, |
что в момент |
случайная |
|||||
функция приняла значение хг. На основании теоремы умножения вероятностей справедливо равенство
fn (tit Xij t2l x2l ..., tn, xn) dxi dx2 ... dxn —
~~ fi (tit Xi) dx\ipn (t\>, Xij t2, x2j ..., tn, xn) dx2 dx3 ... dxni
(5.120)
где fn (tx, Xi‘, t2, x2;. . .; tn, xn) есть n-мерная плотность вероятности для моментов tu t2, . . ., tn.
§ 70] МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 249
Условная плотность вероятности обладает очевидным свойством:
оо
S Ф» (^1> |
^2>х 2г • |
• •» |
1>х г-1> |
ti+lt-Ei+li |
• • •'>tn, Хп) dXj = |
оо |
|
|
|
|
|
' ф п —1 ( ^ 1 » |
^2» ^-2» |
• • м |
^ г - l t ^ г - 1 т |
^г+1» ^ г + 1 » • • м |
^ п ) * ( 5 . 1 2 1 ) |
Для марковского случайного процесса на основании теоремы умножения вероятностей справедливо равенство
фп (^1 ) ЗЦ* |
^2) *^2>* ■ •» |
» х п) == |
Фг (^i) хи ^2>-^г) фг (^2? -^2> ^з? -Гз)- • ■Фг (^n-i> хп—и ^п> ®п) |
||
(ф2 здесь, |
|
(5.122) |
очевидно, есть переходная плотность, в обозна |
||
чении которой индекс 2 мы ранее опускали). Действительно, согласно свойству марковского про
цесса, например, условная вероятность того, что случай ная функция в момент t 3 примет значение в промежутке [*а, хз + dx3] при условии, что в момент t2 она приняла значение хг, а в момент tt — значение хг, уже не зависит от значения х±1 которое она приняла в момент Анало гичное рассуждение для последующих моментов показы вает справедливость разбиения (5.122) на произведение.
Таким образом, при помощи (5.120) и (5.122) все мно гомерные плотности вероятностей выражаются через Двумерные плотности вероятностей и, следовательно, мар ковский процесс, как уже отмечалось в § 61, полностью определяется семейством двумерных плотностей вероят ностей.
Напишем равенство (5.122) для п = 3:
фз (^1) |
х й ^2) Х2 > ^3) Хз) = |
|
|
|
— ф2(^1» Xh ^2i Х%) ф2 |
2J |
^3> ^з)т (5.123) |
где ti |
< f 2 <.h- Проинтегрируем |
обе |
части (5.123) по |
всем возможным значениям хг. На основании (5.121) по лучаем
ОО
ф2 (^1> h,X3) = ^ (р2 |
^2» ^2) ф2 (^2j ^2» ^3* ^3) |
(5.124) |
—00 |
|
|
250 |
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ |
1ГЛ. в |
Равенство (5.124), справедливое для переходной плотно сти процесса без последействия, называется уравнением Колмогорова — Чепмена.
Если марковский процесс стационарный, то
Фа (^i) |
t2, -^г) = Фг (0» |
^2— |
-^2)* (5.125) |
|
и уравнение (5.124) может быть записано в виде |
||||
фг (0»*1» |
^l* ®s) — |
|
|
|
00
= ^ ф2(0, *i; *2— *1»жа) фа (0, х2\ t3— f2, х3) dx2. (5.126)
—СО
§ 71. Уравнения Колмогорова для непрерывного процесса
Положим |
в |
уравнении |
(5.124) |
tx = t, t2 — t -f- At, |
|
t$ = X, фа = |
ф ' |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
<p(«,a:;T,z)= |
^ |
y ( t , x ; t + A t ,y ) y ( t + |
A t,y;x,z)dy . |
(5.127) |
|
|
—OO |
|
|
|
|
Напишем также равенство |
|
|
|||
ф(* + At,x; т, z) = |
|
|
|
||
|
|
|
00 |
|
|
= |
Ф(t + A«, х ; т, z) |
^ ф (t, |
At, у) dy, |
(5.128) |
|
|
|
|
—00 |
|
|
очевидное, так как интеграл в его правой части равен 1.
Вычтем (5.127) из |
(5.128) и разность поделим на At: |
|||
ф (* + |
At, ж; Т, z) — <р (t, х; х, г) _ |
|
|
|
|
At |
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
= |
— 4? $ [ф (t + |
At, у; х, z) — ф (t + |
At, х; х, z)] |
х |
|
— ОО |
|
|
|
|
|
X ф (г, Х\ t + |
At, у) dy. |
(5.129) |
Применим к выражению в квадратных скобках под зна ком интеграла формулу Тэйлора и заменим интеграл
