Файл: Юсупбеков Н.Р. Автоматизация технологических процессов производства растительных масел.pdf

Алгебраический критерий Рауса-Гурвица. Крите­ рий, сформулированный в 1877 г. английским ученым Раусом и в 1893 г.—немецким математиком Гурвицем, формулируется следующим образом:

— для устойчивости линейной системы гаго по­ рядка необходимо и достаточно, чтобы были положи­ тельными гаопределители, составленные из коэф­ фициентов характеристического уравнения данной системы

а0р п + ахр п~ 1 + . . . + ап = О,

у которого коэффициент а0 > 0, по следующему пра­ вилу:

диагонали коэффициентами, у которых возрастают ин­ дексы, а вниз от диагональных элементов — коэффи­ циентами с последовательно убывающими индексами;

3)наибольший порядок определителя Гурвица соот­ ветствует степени характеристического уравнения си­ стемы;

4)коэффициенты с индексами, ббльшими л, равны

нулю;

5)коэффициенты с индексами, меньшими нуля, при­

равниваются нулю; 6) последний определитель Дп равен а^Д,,—!.

ит. д.

Вобщем виде определитель Гурвица можно записать следующим образом:

54

На основании критерия Рауса-Гурвица получаем следующие условия устойчивости простейших систем:

—системы первого и второго порядков устойчивы, если все коэффициенты характеристического уравнения положительны;

—система третьего порядка устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения положи­

тельны и аха2> а0а3;

— система четвертого порядка устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения поло­ жительны и а^а%аг > айа\ +

При пользовании критерием Рауса-Гурвица нет не­ обходимости вычислять все определители от Лх до Д„. Если, например, исследуется устойчивость системы третьего порядка, то достаточно вычислить лишь один определитель из трех (коэффициенты ai и аъ в опре­ делителе Д3 равны нулю):

лирования был предложен советским ученым А. В. Ми­ хайловым в 1938 г.

Вектор, определяемый характеристическим уравне­ нием системы регулирования в плоскости комплексно­ го переменного, находят, если в характеристическом

Все слагаемые характеристической функции (79), содержащие (/«>), в четной степени будут величинами

55

вещественными, а в нечетной — мнимыми. Следователь­ но, можно написать

N(<.и) = а,со — а 3ш3 ф- а 5ш5— . . ..

Если последовательно изменять ш от 0 до со, то

конец вектора L (у'ш) опишет кривую, называемую годографом Михайлова. По форме годографа на комп­ лексной плоскости судят об устойчивости исследуемой системы.

Критерий Михайлова формулируется следующим образом:

— система регулирования будет устойчивой, если годограф характеристической функции L (ju>) при из­ менении со от 0 до со обходит последовательно з

положительном направлении п квадрантов комплекс­ ной функции, причем п — степень характеристичес­ кого уравнения исследуемой системы.

Движение против часовой стрелки принято в данном случае за положительное направление.

Если положить в (76) или (79) со = 0, то L (со) = а0. Иными словами, годограф пересекает вещественную ось в точке, отстоящей от начала кооординат на рас­ стоянии а0, когда со = 0.

Принимая во внимание, что М (с») — четная, а N (ш)

— нечетная функции переменного со, можно заключить, что годограф симметричен относительно вещественной оси. Поэтому вполне достаточно строить лишь полуветвь годографа при изменении со от 0 до со.

На рис. 5 показаны годографы Михайлова для ус­ тойчивых и неустойчивых систем от первого до пятого порядка. Уравнению первого порядка соответствует прямая, параллельная мнимой оси и отстоящая от нее на расстоянии, равном а0. Системам высших порядков соответствуют кривые линии.

Отметим, что критерий Михайлова можно исполь­ зовать и для исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием.

Частотный критерий Найквиста - Михайлова. Кри­ терий был в 1932 г. предложен Найквистом для иссле­ дования устойчивости электронных усилителей. В тео­

56

рии автоматического регулирования частотный критерий впервые был применен в обобщенном виде в 1936 г.

Пользуясь амплитудно - фазовым критерием Найк­ виста-Михайлова, судят об устойчивости системы ре­ гулирования, анализируя разомкнутую систему. Для изучения устойчивости по данному методу использу­ ются экспериментально снятые амплитудно - базовые

Рас. 5. Годографы Михайлова:

сведения о степени устойчивости системы. В случае неустойчивости системы критерий Найквиста - Михай­ лова показывает, каким образом можно стабилизиро­ вать систему и добиться желаемой характеристики замк­ нутой системы при помощи корректирующих звеньев, и контуров.

Рассматриваемый критерий формулируется следую­ щим образом:

—система автоматического регулирования, устой­ чивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если амплитудно-фазовая ха­

57

вания в разомкнутом состоянии, а также системы, на­ ходящейся на границе устойчивости.

Амплитудно - фазовые характеристики систем, опи­ сываемых дифференциальными уравнениями первого

Рас. 6. Примеры амплитудно-фазовых характеристик различных систем:

1 — устойчивой системы; 2 — системы, находящейся на границе устойчивости; 3 •— неустойчивой системы.

и второго порядков, расположены соответственно в ■одном и двух квадрантах. Такие системы устойчивы, ■если коэффициенты характеристического уравнения по­ ложительны. Системы, описываемые уравнениями треть­ его порядка и выше, могут быть неустойчивыми, даже >если коэффициенты дифференциального (или характе­ ристического) уравнения положительны.

58

КАЧЕСТВО ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ

О возможности практического применения той или иной системы автоматического регулирования судят по выполнению ею требований устойчивости. Однако ус­ ловия эти являются лишь необходимыми. Достаточное же условие применимости САР — способность системы обеспечить требуемое качество регулирования, о кото­ ром судят по форме переходного процесса системы регулирования.

Чтобы вынести заключение о влиянии различных па­ раметров системы на процесс регулирования, необхо­ димо решить в общем виде дифференциальное или характеристическое уравнения системы. Если система имеет порядок выше четвертого, то решение невоз­ можно, ибо корни уравнения не выражаются в ради­ калах. В связи с этим пользуются косвенными оценка­ ми качества: по степени устойчивости; с помощью интегральных оценок или посредством метода частного анализа. На практике наибольшее применение получи­ ли интегральные оценки качества регулирования.

Метод интегральных оценок основан на вычислении определенного интеграла от величины рассогласования для регулируемого параметра и не требует решения дифференциальных уравнений.

Известны линейная, квадратичная и улучшенная квадратичная интегральные оценки качества регулиро­ вания.

Качество переходного процесса определяется вели­ чиной отклонения регулируемого параметра от задан­ ного значения и временем регулирования. Площадь под кривой переходного процесса воедино объединяет оба эти фактора. Чем меньше эта площадь, тем лучше качество процесса регулирования при прочих равных условиях. Задачу регулирования можно сформулиро­ вать как задачу выполнения условия обеспечения ми­

Недостаток линейного интегрального критерия в том, что его используют для систем, обеспечивающих

59