Файл: Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.pdf

пература частиц). При этом совокупность частиц считается неп­ рерывно распределенной по всему объему с условной плотно­ стью «газа» частиц равной произведению численной концент­ рации частиц в единице объема на массу одной частицы.

2.Давление создается только газом; влиянием частиц пренебрегается.

3.Течение — стационарное.

4.Массовый расход газа и массовый расход частиц вдоль по течению постоянны.

5.В любом поперечном сечении все параметры постоянны.

6.Частицы, являясь сферами одного и того же радиуса, не взаимодействуют между собой и со стенками сопла.

7.Система теплоизолирована; обмен теплом имеет место лишь между частицами и газом и осуществляется только путем конвекции.

8.Вязкие силы проявляются только при взаимодействии час­ тиц с газом. Ускорение частиц обусловлено действием этих же сил.

9.Объемом, занимаемым частицами, можно пренебречь.

10.Вследствие высокой теплопроводности материала частип их температура по всему объему частиц постоянна.

11.Гравитационными и электрическими силами можно пре­ небречь.

Кроме этого, в ряде случаев для упрощения полагаем газ идеальным, химически не реагирующим, а теплоемкости газа и частиц—постоянными.

Уравнение движения частицы можно представить в виде

лг3о, d w s С д Л Г2 Q(W— WS)2 dt

где г — радиус частицы; рв — плотность вещества жидкой или твердой частицы; w и ws — соответственно скорость газа и час­

14

Число Маха при движении газа относительно частиц опреде­ ляется аналогично по формуле

I W— Ws I

М

а

I

В общем случае, когда энтальпия газа і і(р, Т), скорость звука

dx

где

4

D r2ga

Конвективный обмен теплом между частицами и газом опи­ сывается соотношением

к

где М — коэффициент теплопроводности газа. Тогда из соотношения (1.4) получим

15

Отметим, что размерность параметров <рі и <рг выражена в с-1. При постоянных значениях q>4, фг, w и Т из соотношений

(1.3) и (1.5) следует

соответствует А при ^ = 0. Отсюда ясен физический смысл пара­

где е и es— соответственно внутренняя энергия газа и частиц. Произведя тождественные преобразования и интегрирование,

получим

16

Полагая, что для газа выполняется уравнение Клапейрона

и соотношение е — сѵТ, R = cp—сѵ, а для частицы es — cBTs, полу­ чим

+ + W (св7\ + = Е0= const. (1.11)

Дифференциальные уравнения (1.3), (1.5) и (1.8), а также конечные соотношения (1.6), (1.7), (1.10) и (1.11) определяют семь неизвестных (р, q, qs, w, ws, T и Ts) в любом сечении сопла заданной формы.

Для удобства вычислений преобразуем полученную систему. Исключим Q, Qs, р и dT из уравнений — расхода, Клапейрона и энергии и подставим в уравнение импульсов (1.8). После пре­ образований получим

В правой части дифференциального уравнения (1.12) в соот­ ветствии с уравнениями (1.3) и (1.5) отсутствуют неизвестные производные. Его численное интегрирование можно производить, например, методом Рунге—Кутта.

Отрицательный член, стоящий в правой части этого уравне­ ния в фигурных скобках, обусловливает сдвиг критического се­ чения, т. е. сечения, где М = 1, в расширяющуюся часть сопла, что характерно для неизэнтропических течений. Как следует из уравнения (1.12), сдвиг увеличивается с ростом содержания час­ тиц в газе, а также с ростом производных dws/dx и dTs/dx.

Соотношение (1.12) можно представить и в несколько иной форме. Выразим w через М и Т и исключим dT с помощью уравнения энергии. Окончательно получим

Уравнения (1.3), (1.5), (1.11) и (1.13) позволяют определить неизвестные М (х), Т(х), ws(x) и Ts(x), так как скорость w(x)