Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

Для определения величины параметра и.], при котором об­ разуются следующие два пластических шарнира, приравняем

М ^М о:

(— 0,076«! -К 0,096) Р0с = — 0,2727Р0с;

После образования трех шарниров в балке ее несущая спо­ собность будет практически полностью исчерпана, поэтому Рпр =

балки и основания: чем больше жесткость балки, тем больше расстояние от силы до шарнира.

Величину Ро можно выразить через М0, используя формулу,

Предельная несущая способность балки определится так:

Из этой формулы видно, что несущая способность балки за­ висит не только от геометрических размеров балки, но и от упру­ гих свойств основания. Так, например, увеличение модуля дефор­ мации основания увеличивает несущую способность балки.

Для прямоугольного сечения можно будет преобразовать эту

48

Тогда получим

Е (і - но)

Е (і — м-о)

Теперь из формулы ясно видно влияние отдельных парамет­ ров. Если РПр задана, то площадь поперечного сечения балки определяется по формуле

з

Это сечение будет подобрано по прочности балки при условии, что упругое основание работает в упругой стадии и в балке об­ разуются три пластических шарнира.

2.15. Простая рама

Рассмотрим замкнутую простую раму, которая нагружена со­ средоточенной силой на верхнем ригеле (рис. 2.17, а). Эта задача отличается от предыдущих тем, что несущая способность рамы зависит как от ригеля и стоек рамы, так и от несущей способно­ сти фундамента. Обычно расчет ведется раздельно для верхней рамы и фундамента. Более правильно будет рассматривать си­ стему всех стержней как замкнутую раму, расположенную на упругом основании.

Основная система, пригодная для расчета этой рамы, показа­ на на рнс. 2.17, б. Число неизвестных, учитывая симметрию, рав­ но 6 . Для их определения составим обычную систему уравнений.

При вычислении боо, боь 6 0 2 , бы, бц и 6 2 2 следует учесть дефор­ мацию основания и пользоваться такой формулой:

Для подсчета перемещений по направлениям Х3 н Х4 следует применять формулу, относящуюся к обычной стержневой си­ стеме:

После решения уравнения и определения X будут получены окончательные эпюры М, Q и /V, которые изображены на рис. 2.17, г.

Из рассмотрения эпюр видно, что кроме моментов в стерж­ нях возникают продольные силы, которые усложняют определе-

мне величии предельных моментов. Для прямоугольного сече­ ния предельный момент п предельная растягивающая сила вы­ числяются по простым формулам:

М0 = 2SU0 Oи N0 = o0 F.

6 ) I

f ^Х„ К , х 2

//У^77АуА/Уу)/77/7У/

ттта П2ГТТ ©

= % —

,

©ш п 1 L L L <+>

Рис. 2.I7

При совместном действии растягивающей силы и изгибаю­ щего момента получим [51].

М = 250а0 (1 — т)2) и N = а0 Рц.

Здесь через г) обозначен эксцентрицитет приложения силы N:

Эти два уравнения можно выразить графически в виде кри­ волинейного контура, который изображен на рис. 2.18,0. Точ­ ки, расположенные вне этого контура, соответствуют значениям сил, при которых напряжения в сечении не могут удовлетво­

50

рять условиям текучести. Для точек внутри контура усилия бу­ дут таковы, что в сечении будет иметь место неполная текучесть. Если же точка расположена на кривой, то это указывает на на­ личие полного течения в сечении.

Определить предельную силу можно, сделав вычисления для последовательных случаев образования пластических шарниров так, как это было сделано в предыдущих параграфах. Но в дан­

ном случае будет удобнее использовать статические условия предельного равновесия для того, чтобы найти разрушающую нагрузку, соответствующую образованию полного числа пласти­ ческих шарниров (рис. 2.18,6), с учетом реакций упругого ос­ нования.

Записанные выше условия текучести в безразмерной форме теперь придется составить для каждого сечения, в котором об­

Условия текучести для верхнего ригеля запишем так:

- \ - t i \ - f — г -f- h 2 г~ — 1; /п3 + /г3 = т-{- h-f2 = 1.

Выражая г из второго уравнения и подставляя в первое, по­ лучим

А4А/2/4 + А2 (1 — 2 h'2) f2 + f — (2 — h'2) = 0.

Из этого уравнения найдем значение f, полученное из условия использования несущей способности верхнего ригеля. Такие же два уравнения составим для нижнего ригеля рамы:

m 6 + n2s = + \ = af — r + (Л7)2;

— т 3 + « 2 = 1 = + /■ + (Л/)'2.

Из второго уравнения найдем г = 1 — Л2/2.

Подставив в первое, получим

a f — l + А2/2 + h' 2 (1 — ft2/2)2 = + 1;

окончательно имеем

h4 h'2 f‘l + h2 (I — 2h'2) f2 + af — {2 — h'2) = 0.

Полученные уравнения можно решить относительно / обыч­ ным порядком или найти приближенное решение, если учесть, что 2А'2 значительно меньше единицы, поэтому ею можно пре­ небречь по сравнению с единицей н двойкой, тогда получим:

А4А'2/4 + Л2/2 + а/! — 2 = 0; f2 h2 (h2 h'2 f2 + l ) + a f — 2 = 0.

Ограничиваясь первым членом разложения, найдем, что

A4A'2f4 + A2/2«4A 2 + A'2. Тогда предельную нагрузку определим так:

/ = — [2 — (4А2 + А'2)].

а

чНапример, если имеется квадратная рама постоянного сечения,

т.е. 1 = 1 ', So=const и E=const, то получим

ния распределены равномерно по длине пролета, то а = Ѵг и / =

52

= 3,66. Это будет наименьшее значение предельной силы, выра­ женное в безразмерной форме:

Рпр = 3,66-4^-°.

Для верхнего ригеля коэффициент а — 1. Таким образом, ра­ ма, имеющая ригели одинакового поперечного сечения, являет­ ся неравнопрочной; для нее предельная несущая способность

определяется при данной нагрузке верхним ригелем и Рпр = = 1,83 4М0

Для получения более рационального решения надо для ниж­ него ригеля уменьшить сечение так, чтобы Ма= - ~ или чтобы

высота нижнего ригеля была в 1,4 меньше высоты верхнего.

2.16. Сложная рама

Рассмотрим двухэтажную раму, которая нагружена сосредо­ точенными горизонтальными и вертикальными силами, как это показано на рис. 2.19. Предельные моменты, которые могут вы­ держать стержни, указаны на рис. 2.19 цифрами. Для опреде­ ления предельной несущей способности такой рамы обычно не учитывают влияние фундамента и считают концы стоек заделан­ ными [3, 51]. Рассматриваются различные схемы разрушения рамы, изображенные на рнс. 2.19.

Первые восемь механизмов разрушения рамы получаются исходя из предположения, что фундамент является абсолютно жестким и не выходит за предел упругости. Для каждой из на­ меченных схем подсчитываем величину предельной силы из ус­ ловия равенства работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях, соответствующих каждой схеме.

моменты всех стержней, из которых выполнена рама, через пре­ дельный момент стойки верхнего этажа. Тогда верхний ригель будет иметь предельный момент, равный 2М0\ соответственно ригель и стойка первого этажа — ЗМ0 и, наконец, фундаментная балка — 4Л40.

Составим теперь уравнения равенства работ для всех наме­ ченных схем.

Схема а. В этой схеме стойки верхнего этажа повернуты на угол Ѳ, поэтому из внешних сил работает только сила 2Р, при­ ложенная в верхнем углу рамы, на перемещении, которое рав­ но Ѳ2/. Таким образом, работа внешних сил для этой схемы рав­

53