Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

на 2PQ21. Пластические моменты, возникающие в четырех шар­ нирах, совершают работу, равную Л40Ѳ-4.

Уравнение работ имеет вид:

4РѲ/ = 4Л40Ѳ пли — = 1, т. е. / = 1.

М 01

Схема б. Если повернуть нижние стойки, уравнение равен­ ства работ будет записано аналогично, хотя работу совершают две силы, а именно, сила 2Р, приложенная в верхнем узле, и си­ ла 3Р, приложенная в нижнем узле, поэтому работа внешних сил будет равна: В21Р(3-\-2) = 10QIP.

Работа моментов в пластических шарнирах соответственно равна: Л40ѲЗ-4= 12М0Ѳ. Приравнивая обе работы, получим:

10ЫР = 12М0Ѳ, / = — = — =1,2.

ЛІ0 10

Схема в соответствует исчерпанию несущей способности од­ ного элемента; эта схема, по-видимому, заведомо даст завышен­ ную величину /. Проверим это обстоятельство.

54

Схема г соответствует исчерпанию несущей способности ниж­ него ригеля. Из внешних сил теперь работу совершает верти­ кальная сила 8Р, приложенная к нижнему ригелю, поэтому ра­ бота внешних сил равна 8Р/Ѳ.

Все рассмотренные схемы соответствуют предположению, что фундамент является абсолютно жестким п его несущая способ­ ность значительно выше всех остальных элементов. Такое про­ ектирование сооружения в целом, при котором фундамент име­ ет заведомо повышенный запас прочности по сравнению с дру­ гими элементами, очень часто осуществляется на практике п в некоторых случаях является вполне обоснованным, поэтому про­ деланный анализ разных схем разрушения позволяет получить наименьшую несущую способность рамы. Сопоставление значе­ ний полученных параметров / показывает, что наиболее веро­ ятной схемой разрушения рамы является схема ж, так как для нее величина f —0,909 будет наименьшей. Таким образом, пре­ дельная сила

Рпр = 0 ,9 0 9 ^ .

Но проделанное исследование будет неполным, так как при определении предельной несущей способности пока была исклю­ чена из сооружения фундаментная балка.

Схемы и, к и л представляют собой механизмы, которые воз­ никают, когда фундаментная балка выходит за предел упруго­ сти. Для определения несущей способности рамы по этим схемам необходимо учесть работу, совершаемую реакциями упругого основания. Вертикальная составляющая равнодействующей ре­ акций упругого основания будет определена из условий равно­ весия R = 9P.

Ввиду имеющегося эксцентрицитета у равнодействующей ре­ акций основания продольные силы, приложенные к колоннам нижнего этажа, будут разные. Продольная сила левой колонны равна: RA = —2,5Р, а правой — Рв = + 11,5Р. Эти силы можно будет разложить на две группы: симметричную Р а = Р в = +4,5Р II обратно симметричную RA = —7Р п Рв = +7Р. Точки прило­ жения равнодействующих реакций упругого основания можно будет определить так же, как это было сделано в п. 2.1 для балки.

Подсчитаем теперь величину предельной силы для схемы и. В этой схеме будет совершать работу только симметричная со­ ставляющая реакции основания, поэтому для работы внешних сил получим такую величину: 9Р/Ѳа. В эту формулу введен ко­ эффициент а меньше единицы, которым учитывается неравно­ мерность в распределении реакций основания по длине пролета.

Работа внутренних сил

М09 (4 • 2 + 2 • 3) = 14М0Ѳ.

55

Безразмерная величина разрушающей силы

Из этой формулы видно, что наименьшее значение f будет получено при а = 1, поэтому для этой схемы можно принять /=1,55.

Аналогично сделаем расчет для схем к и л. Схема к. Работа внешних сил

Наименьшее значение / и определяет несущую способность рамы:

Рпр = 0,909 -МоI

Кроме рассмотренных случаев образования пластических шарниров нужно было бы для полного решения задачи еще составить несколько аналогичных схем, после чего можно быть уверенным в том, что полученная предельная нагрузка является действительно наименьшей из всех возможных.

Анализируя полученные величины предельных сил, прихо­ дим к выводу, что нельзя игнорировать образование пластиче­ ских шарниров в фундаментных балках, которые входят в со­ став исследуемой рамы. В рассмотренном случае было принято увеличенное сечение фундаментной балки, равное 4Л40. И, не­ смотря на это, по схеме л, которая соответствует возникнове­ нию пластических шарниров, как в фундаментной балке, так

56

и в стойках и ригелях рамы получена предельная обобщенная сила, почти равная той, которая отвечает схеме ж, составлен­ ной при жестком фундаменте. Из этого вытекает, что если бы предельный момент, соответствующий сечениям фундаментной балки, был меньше 4М0, то предельная нагрузка для рамы опре­ делялась бы из схемы л.

Например, если предельный момент фундаментной балки ра­ вен ЗМ0, то получим:

Pnp = 0,87

Поэтому предельная несущая способность рамы определяется прочностью фундамента.

Глава 3

БАЛКА НА ДВУХСЛОЙНОМ ОСНОВАНИИ

3.1. Наибольшая нагрузка в упругой стадии

Рассматривается балка, расположенная на линейно-дефор- мируемом двухслойном основании. Верхний слой имеет ограни­ ченную толщину ho и располагается на упругом полупростран­ стве. Между балкой и основанием будем учитывать только вер­ тикальные реакции. Верхний слой, подчиняющийся гипотезе пропорциональности, представляем в виде упругих сжимаемых стержней-пружин и применяем метод, изложенный в главе 2 для однослойного основания. Распределение реакций по пролету балки зависит от жесткости балки и упругого основания. Упру­ гое основание является двухслойным, и его жесткость отлича­ ется от соответствующего однослойного основания.

При переходе балки за предел упругости в ней образуются пластические шарниры и ее жесткость изменяется. Это вызы­ вает перераспределение реакций основания и моментов в балке.

Для решения задачи процесс деформирования балки раз-' бивается на интервалы и внешняя нагрузка рассматривается как обобщенная сила. Первый интервал исследования относит­ ся к упругой стадии и соответствует такому значению обобщен-

57

пой силы, при котором течет

н ее расчет выполняется по сме­ шанному методу строительной механики.

В основной системе (рис. 3.1) балка отделяется от упругого по­ лупространства II к ней добавля­ ется заделка. За неизвестные

принимаются усилия Л; в связях-пружинах, осадка у0 и угол по­ ворота заделки ср0.

Для определения сил А'і, Х2, ... составляется обычная система канонических уравнений.

При вычислении побочных перемещений б,л, у которых іф к, безразлично, будут ли связи, установленные между балкой п упругим полупространством, упругими или абсолютно жесткими. Упругость связей оказывает влияние на главные коэффициенты уравнений, т. е. на б**.

Это учитывается в табл. 7 тем, что к перемещениям полу­ пространства добавляется обжатие упругой связи в зависимо­ сти от толщины Ло разрыхленного слоя грунта:

58

пространства. При вычислении главных коэффициентов нужно учесть деформацию упругого слоя

Решая систему уравнений, найдем следующие значения неиз­ вестных: у0 = —6,586; Хп = +0,922; 2Х0 = +0,886; Хг-=+0,992; Х 1 = = +0,896; У4 = + 1,248.

Эпюра реакций показана на рис. 3.2. Теперь можно найти:

59