Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

Учитывая, что уо= УоРо, окончательно получим

Можно доказать, что п всегда меньше k, так как после обра­ зования пластического шарнира прогибы нарастают быстрее, чем увеличивается сила.

Если нормирована будет реакция основания <7макс = &і<7о, то для предельной силы получим такое выражение:

в том случае, если система балка —■основание представляет со­ бой систему с двусторонними связями, и поэтому не происхо­ дит выключения связей по подошве балки.

Если же вес балки недостаточен для того, чтобы погасить отрицательные реакции, возникающие со стороны, противопо­ ложной расположению нагрузки, то расчет на несимметричный случай следует вести методом последовательных приближений, исключая из расчета тот участок балки, в пределах которого происходит выключение связей.

2.11. Сосредоточенная сила на краю балки

Если сосредоточенная сила расположена на краю балки, то распределение реакций и моментов в упругой стадии и за пре­ делом упругости для жесткой и гибкой балки будет различно.

Жесткая балка в упругой стадии имеет эпюру реакций, кото­ рая близко подходит к линейной и является двузначной (рис. 2.12, а). Этому случаю соответствует эпюра моментов, при кото­ рой наибольший момент возникает в сечении, расположенном близко к середине пролета. Пластический шарнир поэтому обра­ зуется в середине пролета. После образования первого пласти­ ческого шарнира, вероятно, образуются рядом с ним шарниры в смежных сечениях, т. е. будет возникать пластическая об-

38

ластъ, так как моменты будут почти одинаковыми на некотором участке, но тогда на этом участке эпюра реакций будет иметь ординаты, близкие нулю, как это указано на рис. 2.12,6. Внеш­ няя сила Р = Р0п1 уравновешивается реакциями, которые возни­ кают на участке, непосредственно примыкающем к загруженно­ му краю балки. Противоположный конец балки имеет эпюру ре­ акций, которая уравновешивает момент МПр, передающийся на

I Гибкая балка

-ггП

Рис. 2.12

этот участок балки. После перехода балки за предел упругости несущая ее способность быстро падает, так как реакции, уравно­ вешивающие внешнюю силу, распределяются на сравнительно небольшом участке балки, примыкающем к загруженному краю балки, как это показано на рис. 2.12, в.

Для гибкой балки в упругой стадии эпюра реакций имеет большую ординату на краю, и нагрузка распределяется на не­ большой участок балки, как показано на рис. 2.13, а. Эпюра мо­ ментов, соответствующая упругой стадии, имеет наибольший мо­ мент в точке приложения груза; в этом сечении и образуется пластический шарнир. После образования пластического шарни­ ра дальнейшее увеличение нагрузки приводит к расширению по­

39

ложительного участка эпюры реакций п значительному повороту консольного участка балки. В результате этого ординаты на краю балки не увеличиваются, но зато наблюдается значитель­ ный рост ординат под силой, как это показано на рис. 2.13,6.

Это распределение реакций соответствует возникновению второго пластического шарнира с правой стороны от груза; пос­ ле этого на эпюре реакций резко увеличиваются ординаты, на­ ходящиеся вблизи точки приложения внешней силы, и несущая способность балки оказывается исчерпанной.

Сопоставление эпюр реакций, изображенных на рис. 2.13, а, б II в, показывает, что величина наибольшей ординаты эпюры ре­ акций для всех трех случаев оказывается почти одинаковой; да­ же после образования первого пластического шарнира наблю­ дается некоторое уменьшение ординат. Это обстоятельство имеет существенное значение для правильного определения рациональ­ ной жесткости балки исходя из величины наибольшего давления на грунт. Гибкая балка оказывается менее чувствительной к пе­ реходу за предел упругости, чем жесткая, поэтому правильный подбор относительной жесткости балки позволит получить наи­ более экономически выгодную конструкцию.

2.12. Предварительно-напряженная балка

Простейший случай предварительного напряжения получает­ ся, когда балка имеет прямолинейную арматуру, расположен­ ную с эксцентрицитетом по отношению к осп сечения. В состоя­ нии предварительного напряжения балка изгибается выпукло­ стью в сторону, противоположную смещению арматуры. Например, если арматура, с помощью которой осуществляется напряжение балки, размещена ниже осп балки, то изгиб ее бу­ дет выпуклостью вверх.

Балка, расположенная па упругом полупространстве, пред­ ставляет собой систему, статически неопределимую, поэтому предварительное напряжение создает в ней уравновешенную эпюру реакций основания.

Таким образом, расчет предварительно-напряженной балки, расположенной на упругом полупространстве, следует начинать с определения реакций упругого основания, вызванных пред­ варительным напряжением. Возникновение самоуравновешенных реакций упругого основания возможно в том случае, если связи, расположенные между балкой и основанием, являются двусторонними.

Расчетная схема для этого случая изображена на рис. 2.14. Для определения X составим систему линейных уравнений, ко­ торая будет отличаться от рассмотренных раньше величиной свободных членов. Коэффициенты этих уравнений вычисляются обычным порядком и состоят из двух слагаемых, т. е. из осадки упругого основания и прогиба балки от единичных сил.

40

Свободные члены вычисляются как прогибы балки, вызван­ ные предварительным напряжением. Система уравнений имеет такой вид:

После решения этой системы уравнений будут найдены зна­ чения X и могут быть построены эпюра реакций основания и со­

центрицитета, с которым приложено это напряжение, а также от соотношения жесткостей балки и упругого основания.

Теперь переходим к вычислению реакций п построению эпю­ ры моментов от внешней нагрузки. Эту эпюру можно построить обычным порядком, но при определении реакций основания на­ до учесть влияние предварительного напряжения на величину жесткости балки. Отделенная от упругого основания балка представляет собой теперь статически неопределимую систему из-за наличия предварительного напряжения, поэтому переме­ щения от единичных сил в основной системе следует вычислять

41

как для статически неопределимой системы. Для подсчета про­ гибов балки от единичной силы получим такую формулу (схема указана на рис. 2.14, д ):

Величина (1—Дог*/до,'л) будет меньше единицы, поэтому при­ веденная жесткость EJV будет несколько больше действительной жесткости.

Таким образом, формула для подсчета перемещений в основ­ ной системе будет иметь вид:

б/fe = Уік + aiWik,

в результате чего возникло перераспределение реакций основа­ ния и увеличение концентраций к краю балки.

Эпюры реакций и моментов изображены на рис. 2.14, е. Каж­ дая из этих эпюр состоит из двух слагаемых: q — qp-\-qv и М = =A4p-j~A/Iv.

Реакции несколько увеличиваются за счет предварительного напряжения. На концах балки возникают отрицательные мо­ менты в результате эксцентрицитета, с которым приложено пред­ варительное напряжение.

Переход за предел упругости для предварительно-напряжен­ ной балки связан со значительным перераспределением сил во всей системе балка—основание, в результате чего не возникает пластического шарнира в обычном смысле этого слова. Появ­ ление первых трещин в бетоне влечет за собой возникновение

42