Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

гой стадии, равен: МП]>— — — , а по предельному состоянию

пять раз.

На рис. 3.5 показано распределение реакции и моментов, по­ лучающееся при постепенном переходе основания в пластическое

d участок, в пределах которого реакции основания не выходят за предел упругости. Длину этого участка найдем из уравнения равновесия

64

Из формулы (3.13) видно, что коэффициент г] зависит от от-ч

°пр

основания и балки, а также от соотношения геометрических раз­ меров балки.

Следует иметь в виду, что формула (3.12) справедлива при

условии, что — — > 2, которое имеет физический смысл, а имен-

но: балка должна быть достаточно гибкой, чтобы в ней образо­ вался пластический шарнир раньше, чем упругое основание на всем пролете балки перейдет за предел упругости.

На рис. 3.6 построены кривые изменения ц в зависимости, от

1=2 м и толщина Іі=0,2м, то из графика получим г|= 0,5, Рщ>= = 0,5 <7пр/=0,5-40-2=40 тс.

При увеличении толщины балки предельная нагрузка будет возрастать только до известного предела, который равен

балки нецелесообразно, так как грузоподъемность от этого не увеличится.

Для каждой балки можно также указать нижнюю границу

зует несущую способность материала балки и упругого основа­

эпюра реакций по длине балки будет иметь постоянные ордина­ ты и под грузом образуется пластический шарнир.

3.3. Применение групповых эпюр

Объем вычислений можно сократить в результате примене­ ния групповых неизвестных. В этом случае за неизвестные при­ нимаются группы сил. В математическом смысле это равноцен­ но разложению эпюры реакций упругого основания в ряд по тем или иным фундаментальным функциям. Чаще всего для это­ го используют тригонометрические функции.

Применяется смешанный способ или способ сил. В основной системе балка отделяется от упругого основания (рис. 3.7) и по плоскости контакта прикладываются реакции р,-, представлен­ ные следующим рядом:

6 6

При практических подсчетах ограничиваются конечным чис­ лом членов ряда (3.14) и для определения сил X; составляется, система канонических уравнений:

Вформулах (3.15) и (3.16):

у0 — осадка заделки;

Перемещение балки ѵш вычисляется с учетом упругопластическпх участков балки; обобщенное перемещение упругого осно­ вания Уіи состоит из перемещения упругого полупространства и деформаций верхнего слоя:

ц 0— к о э ф ф и ц и е н т П у а с с о н а о с н о в а н и я ;

Уік— простое перемещение данной точки упругого полупро­ странства от единичной группы сил.

Второе слагаемое формулы (3.18) отличается от нуля толь­ ко для главных коэффициентов уравнения (3.15). После реше­ ния уравнений (3.15) получим силы Х і п построим эпюры реак­ ций п моментов. Если Л4маі(С будет больше момента Л<Г, который соответствует возникновению пластического состояния только в крайнем волокне опасного сечения балки, то балка будет ра­ ботать в упругопластической стадии. Первый интервал расчета по упругой стадии заканчивается, тогда внешняя обобщенная

нагрузка имеет величину Р0, уменьшенную в я — —1 с- раз по

Л'10

■сравнению с заданной.

Второй расчет выполняем для того значения п=іі\, при ко­ тором в опасном сечении образовались пластический шарнир и момент равен МплДля прямоугольного сечения балки я=1,5.

Теперь нагрузка равна 1,5 Ро, и в основной системе для бал­ ки изменяем расчетную схему, учитывая пластический шарнир (см. рис. 3.7, в). Перемещения балки вычисляются для новой расчетной схемы балки. Для определения групповых сил Хі со­ ставляется новая система уравнений (3.19):

где у\ — смещение дополнительного опорного стержня. Дополнительных уравнений теперь будет три:

После решения уравнений (3.19) найдем новые значения групповых сил Хі и построим эпюру моментов, которая позво­ лит найти положение второго пластического шарнира и новое значение параметра п = п 2, характеризующего величину внеш­ них сил. Если заданная нагрузка меньше п2Ро, то второго шар­ нира в балке не образуется, и указанная на рис. 3.7, в расчетная схема.может быть использована для заданной нагрузки. В про­ тивном случае расчет надо проделать вновь для новой расчетной схемы балки с двумя пластическими шарнирами. Образование одного или нескольких пластических шарниров в балке еще не превращает систему в изменяемую [34], поэтому в данной за­ даче понятие «предельная несущая способность» принимает не­ сколько иной смысл, чем в обычных системах, и определяется из условий нормирования наибольшей реакции упругого осно­ вания <7макс или наибольшего прогиба балки г/ма,ІС:

6 8