Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

3.4. Предварительно-напряженная балка на слое конечной толщины

Если балка имеет предварительное напряжение, которое осу­ ществляется с помощью прямолинейной арматуры, расположен­ ной с некоторым эксцентрицитетом относительно центра тяже­ сти сечения, то расчет в упругой стадии сводится к интегриро­ ванию обычного дифференциального уравнения изгиба балки, расположенной на упругом основании, подчиняющемся гипоте­ зе пропорциональности

Ограничимся сначала определением реакций основания и моментов только от предварительного напряжения. Для этого нужно проинтегрировать однородное дифференциальное уравне­ ние, учитывая, что на концах балки Qo=0 и М0=Ѵе. Тогда для прогиба получим такую формулу:

Начало координат расположено в середине пролета балки. Функции Гр II г| 4 представляют собой гиперболо-тригонометриче­ ские функции:

% = cos I cos Щ и г|4 = sin gsin hi

Моменты, возникающие на концах балки, довольно быстро затухают. Так, например, по данным [55], получаются эпюры

69

распределения моментов, указанные на рис. 3.8. При величине предварительного напряжения вдоль балки Е=12,9 тс/пог. м и

В этом случае момент от нагрузки выражается такой фор­ мулой:

М = — LPe~s sin

Наибольший по абсолютной величине момент получим при

ШмпксІ = LPe~m = 0,475 l.P0.

В этом случае момент от предварительного напряжения ра­

вен

М ѵ = 0,8 Ѵе.

Суммарный момент получается следующий: Мпр = 0,475 LP + 0,8 Ѵе.

С другой стороны, Л4пр=аПр25оПоэтому, приравнивая их, най­ дем

Эта сила соответствует возникновению пластического шар­ нира в балке, если груз расположен на краю.

Если же груз расположен в середине пролета, то

70

Простое сопоставление этих сил не дает правильного пред­ ставления о влиянии точки приложения силы на величину несу­ щей способности балки, так как в этом расчете не учитывалось влияние продольной силы, возникающей от продольного напря­ жения, как это было сделано в п. 2.12.

Тем не менее относительное представление о снижении не­ сущей способности балки при расположении груза на краю мож­ но сделать, если вычислить отношение Р\/Р[ :

Мз этой формулы видно, что слишком большое предвари­ тельное напряжение может понизить величину несущей способ­ ности балки при расположении груза на краю при соответствую­ щем неблагоприятном знаке эксцентрицитета силы предвари­ тельного напряжения. Для численных данных, указанных выше, ЯІ/Я; = 0,5(1—0,1) =0,45; Р\ =2,22 Р и

3.5. Ростверки на упругом слое

Жесткопластический анализ ростверков, расположенных на упругом слое, можно сделать, применяя уравнение равенства работ внешних и внутренних сил для разных расчетных схем.

Простейший ростверк, состоящий из двух балок (рис. 3.9) и на­ груженный в центре силой Р, перейдет в пластическую область после образования четырех шарниров в центре. Подсчитаем ра­ боту внутренних сил в шарнирах и реакций упругого основания:

W = Ш 0Ѳ+ - J (0с + а) 4.

71

Работа внешних сил

Т = РЫ -!- Ра = Р (Ѳ/ + а).

Приравнивая эти два выражения, получим:

р._. Ша I (I — а)

г - nt PI

Если ввести ооозначенпе Р* = — , то получим

(1 - а )

Тогда />*—4= 4; Р* = 8.

Этот расчет выполнен в предположении, что отдельные участ­ ки балок являются абсолютно жесткими и поворачиваются в шарнирах; благодаря этому работа равнодействующей реакций упругого основания выражается через угол поворота сечения, примыкающего к шарниру. Если же учесть изгиб каждой балки, то получим такую формулу для работы внутренних сил:

этот прогиб можно подсчитать по формуле

как для балки, заделанной одним концом. С учетом изгиба бал­ ки работа будет записана так:

Работа внешней силы будет равна:

Т = РЫ + Ра = Р(Ы + а).

Приравнивая эти два выражения, найдем:

4Л40Ѳ+ — (Ѳс+fl — — )4 = Я(Ѳ/+а).

Но из условий равновесия вытекает, что момент реакций от­ носительно шарнира равен моменту в пластическом шарнире, поэтому

Из этой формулы видно, что с увеличением Р значение с умень-

72

шается, в результате чего реакции основания сильно возрастают в середине пролета, т. е. в точке приложения внешней силы. Ес­ ли по-прежнему обозначить

3EJ ѲР* 3 )

Величину Р* для данных численных значений величин, вхо­ дящих в формулу, можно определить подбором. Анализ входя­ щих в формулу величин в общем виде показывает, что если бал­ ка будет бесконечно жесткой, то Р* = 8. Если сделать балку очень длинной и гибкой, то Р* будет уменьшаться.

Изменим теперь схему расположения балок ростверка, как это указано на рис. 3.10; тогда уравнение возможной работы бу­ дет записано для каждой балки так:

работа внешних сил T— P (Ql-\-a);

работа моментов в пластических шарнирах и работа реак­ ций основания

W = 2/Ио 0 + 2/?! (Ѳс -|- а) -I- # а (0/ + а).

В безразмерной форме получим

Задача усложняется, если рассмотрим ростверк, состоящий из шести балок, как это указано на рис. 3.11. В этом случае могут быть две разные схемы образования пластических шарни­ ров. Под действием нагрузки, приложенной в средней точке, шар­ ниры могут образоваться так, как это показано на рис. 3.11, а, т. е. может образоваться местная область, в которой исчерпана

73