Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 115

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

несущая способность. Эта схема будет похожа на первый рост­ верк (рис. 3.9), для которого Р*= 8.

Для другой схемы образования пластических шарниров по­ лучим новое значение Р*. Если пластические шарниры образу­ ются в крайних панелях, то будем иметь такое уравнение для определения Р*\

9PIQ =

12Мо0

9РаІЫ,

Р*

12

=

1,33-

 

9 (1 — к)

 

 

 

а = 0,625.

а)

Рис. 3.11

Численный коэффициент а можно подсчитать из рассмотрения эпюры реакций основания, аналогично тому, как это сделано для ростверка, состоящего из трех балок.

Если считать реакции основания сосредоточенными в углах ростверка, в этом случае

Р* = 1,33-----

!--------

3,55.

1 — 0,625

Теперь следует убедиться в том, что для такой схемы распо­ ложения пластических шарниров имеется соответствующая си­ стема сил, удовлетворяющая условиям равновесия. В данном случае это затруднительно сделать, поэтому необходимо еще рассмотреть третью схему расположения пластических шарниров. Теперь работа внутренних сил равна:

W = (4 + 4 - і- 8) М0Ѳ+ а (40/Я + 2Ѳ/Р • 4 -j- ЫР -4) =

= 16М0Ѳ+ а - 16РІѲ.

Работа внешних сил равна:

Т = ШР + 2Ѳ/Р-4 -і- ЫР-4 = 16Р/Ѳ.

74

Так как средний узел опускается на величину 2-2 0/, узлы второго ряда опускаются на 2Ѳ/ и, наконец, узлы последнего ря­ да — па Ѳ/.

Численный коэффициент а вводится в формулу для учета уменьшения величины работы реакций упругого основания по сравнению с работой внешних сил. Приближенно, если считать реакции основания приложенными сосредоточенно в узлах, по­ лучим

а = — = 0,562.

 

 

16

 

Находим Р*, приравнивая W — T:

 

р * = *1.

1

2,28.

16

1— 0,562

 

Г л а в а 4

БАЛКА НА СЛОЕ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ

4.1. Составление дифференциальных уравнений

Рассмотрим балку, расположенную на упругом слое, кото­ рый поддерживается другой балкой (рис. 4.1, а). Определение предельной нагрузки в этом случае усложняется тем, что не

6 )

R A

 

д

V ,

, p

* в ч

'l<

+

' f

 

Г. г Л

 

/ / / / / / / / / / / / / / У Л/

 

K . ( J * 2 i + t ) h ä

 

'U / J f

/ Ъ Ь о

Рис. 4.1

всегда удается достаточно точно определить расчетную схему, отвечающую использованию полной несущей способности такой системы.

Для решения задачи составим два дифференциальных урав­ нения. Одно уравнение относится к верхней балке, другое — к нижней:

E J . ^ = q ( x )

dxi

h0

 

(4.1)

Ei Ji dT T = ëT s- ( y * - y i ) >

dx4

h0

75

где E2J2 u E iJ1— жесткости верхней

и нижней балок;

 

1А >

У і — прогиб верхней

и нижней балок;

 

E0F0— жесткость упругого слоя;

 

 

 

 

Л0— толщина слоя;

 

приложенная к

верхней

 

q(x)— внешняя

нагрузка,

 

 

балке.

(4.1)

введем

новое переменное г =

Для решения уравнении

— (У2 —Уі),

 

которое представляет

собой

обжатие столбика уп­

ругого слоя. Тогда вместо двух уравнений получим одно:

основании,

 

^

+

 

+

 

 

 

 

<42>

Это уравнение представляет собой уравнение балки на упругом

 

имеющем коэффициент пропорциональности:

 

 

 

К = (EJ2 E xJt -I- 1) ^

.

 

(4.3)

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

Для получения решения уравнений (4.1) необходимо проин­

тегрировать

уравнение

(4.2)

при

специальных

граничных усло­

виях, которые после перехода от переменных

г/2 п у\ к

новому

переменному г будут записаны так:

 

 

 

 

 

п

d~y^ ___г\

У~Ц\

 

л

 

 

 

 

 

при д'=0 —— = 0 п —— = 0 , т. е.

 

 

 

Г

 

dx°-

dx*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѣ

-

0-

 

 

 

(4-4)

Это соответствует обращению в нуль моментов на опорах. Кроме этого, для верхней балки имеем:

при .ѵ=0:

 

Q 2

— 0 ,

т.

е.

 

Qi =

R a ,

т .

е.

 

 

_ d ? u i

_

d x 3

dx3

 

d x 3

 

соответственно при х — 1:

d3Z

Rß .

dx3

E 1J i ’

E

j f

i -

=

0 ;

-

2

dx3

 

 

p j

^3Уі

_

n

 

 

dx3

~

H a ’

R 'A

n

n

6 2

--------или Q„ = — R

. —

 

E - J i

0

A £

W i

E XJ i

R A H R B — реакции, возникающие на опорах нижней балки. Таким образом, в результате введения нового переменного

г расчет балки, расположенной на слое переменной жесткости, сводится к расчету балки на слое постоянной жесткости (рис. 4.1,6), но на концах этой балки будут приложены еще две до­ полнительные сосредоточенные силы Q0 и Q i. После решения уравнения (4.2) получим перемещение z = y 2—у\, которое пред­

76

Рис. 4.2
p ^ M ± z .
L-7L

ставляет собой величину обжатия слоя. Реакции между балкой и упругим слоем будут пропорциональны величине z, т. е.

(4.5)

Приведенные рассуж­ дения показывают, что эпюра, передающаяся на нпжпюю и на верхнюю балку, состоит из двух частей. Первая часть представляет реакции, возникающие в балке, расположенной на слое постоянной жесткости. Вторая же часть получа­ ется для той же балки, но нагруженной двумя сила­ ми, приложенными на концах балки. Очертание эпюры реакций сущест­ венно зависит от соотно­ шения жесткостей балок и упругого слоя. Напри­ мер, если упругий слой расположен между бал­ ками, имеющими одина­

ковую жесткость, и нагрузка приложена в середине пролета балки, то эпюры реакций будут иметь вид, указанный на рис. 4.2.

4.2. Учет влияния собственного веса

Собственный вес перекрытия оказывает влияние на распре­ деление усилий в связях, при этом изменяется длина того уча­ стка, в пределах которого возникают сжимающие усилия в уп­ ругих связях.

Распределение усилий, возникающих в слоистом перекрытии от собственного веса, имеет свою особенность, поэтому рассмот­ рим этот вопрос несколько подробней.

Дифференциальные уравнения равновесия для элемента, вы­ резанного из верхней и нижней балки, теперь имеют такой вид:

Erh

ах4

= Ni + <h и З Д Т 7 = Ъ - М2,

 

ах*

где <7 i, q2— вес погонной единицы нижней и верхней балки соот­ ветственно; Ni, N2 — реакция, заменяющая давление упругой связи слоя на нижнюю и на верхнюю балки соответственно; ІѴ)— направлена вниз, a N2— вверх. Когда рассматривалось невесо­

77

мое перекрытие, то

N2= N ь Учитывая собственный

вес слоя,

в левую

часть этого

равенства добавляем <7 з — вес

погонной

единицы

распределяющего слоя:

 

^2 + <7з = Ni-

Это видно из рис. 4.3, на котором показана схема сил, прило­ женных к элементу, выделенному из распределяющего слоя.

Нормальная сила Nz в сечении, расположенном на расстоянии г от нижней балки, равна:

ЛА = N2 + ^ (Іі0 — z). ho

Абсолютная деформация столби­ ка, выделенного из распределяюще­ го слоя, вычисляется путем интегри­ рования:

и = E nF п N,

Чз_

(ho - г )

dz —

h„

УѴ2

EL

ho

 

2

С другой стороны, абсолютная деформация этого столбика равна разности перемещений верхнего и нижнего концов стол­ бика:

 

ho

N o + ^О-

У і — У і = и = — l

После преобразовании

получим:

 

;Ѵ 2 = ^ ho (Уг ~ Ух)

2 и N,

= ^hn (у2- У)) •: Чз

Введем теперь новое переменное

2 = Уг — Ух-

Тогда для z получим после преобразования уравнение:

EJo d 4z

kz =

■

-

t + ' +

l 1

E2J „

3L

d x 4

«

ExJx

2

 

E J ,

d 4z

h hz = qc;

 

 

 

lx 4

 

 

 

EÜJ«

 

 

E2JO

3L

 

Ус

<?2 E y J !

<71+1

E ^ I !

2

 

Получили уравнение балки на упругом основании, к кото­ рой приложена нагрузка qc. Таким образом, расчет на действие объемных сил удалось свести к рассмотренному ранее случаю сил, приложенных к верхней балке.

78

Уравнение балки на упругом основании с постоянным коэф­ фициентом жесткости

k=

EjJ2

\

E0F0

 

EIJi

/

h0

следует проинтегрировать при таких граничных условиях: при к —О

d2z

n d3z

1

----= 0 и -----

£і/,

dx~

dx3

Для расчета слоистая система, изображенная на рис. 4.4, заменяется балкой, которая нагружена распределенной нагруз­ кой

Яс = Qi E^J2 Яі

/ J _ EjJ2

Уз

 

ң j

2

и двумя сосредоточенными силами

ß j

2 2 и R g -2-^, приложен-

 

EiJi

E^Ji

ными на концах балки. После расчета этой балки будет опре­ делена эпюра 2 . Переход к эпюре реакций, передающихся на

верхнюю и нижнюю

балки,

совершается по формулам:

«

1

= ^ 2 + ^ - и У2 = EQFQ z —

Яа_

 

/!„

2

ho

2

Из рассмотрения рис. 4.4 вытекает, что эпюра z может быть представлена в виде суммы двух эпюр. Первая эпюра возника­ ет от равномерно распределенной нагрузки qc, но эта эпюра будет иметь одинаковые ординаты, т. е. представляет собой пря­ моугольник. Вторая эпюра от сосредоточенных сил криволи­ нейная и имеет наибольшие ординаты на концах балки. К сере­ дине пролета ординаты постепенно уменьшаются. Из этих сооб-

79

Смотрите также файлы