Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

г1 зависит от соотношения жесткостей верхней плиты и упругой прокладки и соответствует сечению, в котором отрицательный момент будет наибольшим по абсолютной величине. Используем, такую формулу для вычисления /ц:

Тогда величина внешней силы, при которой в верхней плите об­ разуется пластический конус, будет определяться так:

После подстановки этих величин получим

При этой величине внешней силы пластический конус образу­ ется только в верхней плите; нижняя плита будет находиться в упругой стадии, и поэтому несущая способность слоистой плиты еще не будет использована. Верхняя плита будет передавать из­ быток нагрузки на нижнюю плиту, в результате этого эпюра на­ грузки на нижнюю плиту будет состоять из двух частей; от си­ лы Рп эпюра будет приближаться к равномерно распределенной эпюре на площади радиуса гІГ а от приращения нагрузки — к эпюре от сосредоточенной силы. Благодаря этому кольцевой шарнир в нижней плите образуется на расстоянии г2 от точки приложения нагрузки, причем г2 будет больше гь Вторая часть нагрузки Р", воспринимаемая нижней плитой, будет подсчитана

аналогично, но величина г2 определится из формулы

114

Таким образом, полная несущая способность трехслойной пли­ ты будет:

Ри = Рп + Р'п = 4я (1 ,34Моі + 2,77М02) .

При наличии упругой прокладки несущая способность слоис­ той плиты выше, чем при жестком соединении плит. Например, если слоистая плита состоит из двух одинаковых плит, то М0 1 =

При упругой прокладке несущая способность плиты увеличи­ лась в 1,48 раза. Оценивая благоприятное влияние упругой про­ кладки между плитами, следует иметь в виду, что толщина ее должна быть достаточно большой для того, чтобы получилась полная приспособляемость конструкции; в противном случае ве­ личину внешней силы следует уменьшить.

Полученные формулы позволяют определить ту уменьшен­ ную толщину слоистой плиты с упругой прокладкой, при кото­ рой эта плита будет способна выдержать такую же внешнюю си­ лу, как и плита с жесткой прокладкой. Для этого надо прирав­ нять Рд.ш и Рп.у и из найденного таким путем уравнения найти

Мо *

искомую величину. Например, при Мй\—Мй 2 = ——была вычисле-

2

на внешняя предельная сила Рп.ж = 1,395-4яЛ4о. Теперь опреде­ лим, насколько можно уменьшить момент в нижней плите для того, чтобы воспринять ту же силу, но при наличии упругой про­ кладки и сохранив толщину верхней плиты. Уравнение будет со­ ставлено так:

4402 = М0 — 0.262AV

Это значит, что при упругой прокладке можно снизить толщи­

ну нижней плиты в |^ / ~ ~ ~ 1,38 раза или, если сохранить

толщину нижней плиты, можно соответственно снизить предел прочности материала, из которого сделана нижняя плита.

Для определения оптимального соотношения в толщинах сло­ истой плиты с упругой прокладкой можно составить график, как это указано в п. 1.5. В общем случае величина предельной силы будет определяться по формуле

Рп = АМ01+ ВМ02.

При данной величине Рп, изменяя А и В, которые зависят от соотношения жесткостей элементов, получим семейство прямых, которые образуют многоугольник на координатной плоскости /М0 1 —М02, как это показано на рис. 5.8 жирной линией. Полная толщина плиты равна сумме тол­ щин плит, а каждая из этих тол­ щин пропорциональна корню квадратному из момента, поэтому

іі = с Ѵ Ж і + в Ѵ м ^ .

Параметры С и D зависят от предела прочности материала, не­ которого сделана плита. Для дан­ ного случая это будут постоянные величины, поэтому для данного' значения /і получим кривую, ко­ торая связывает М0\ и М02. При изменении величины /г= /г1 -</і2 <

< /г3. .. получим семейство кривых, которые показаны на рис. 5.8 пунктиром.

Наименьшее значение толщины плиты получим, если найдем ту кривую h, которая касается многоугольника. В данном слу­ чае это будет кривая /і3. Хотя кривые hi и Іг2 соответствуют меньшему значению толщины плиты, но они расположены ле­ вее многоугольника, ограничивающего величину Рп, т. е. вели­ чина несущей способности плиты толщиной hi и Іг2 будет мень­ ше требуемой по условиям задачи.

Толщины hi и h5 соответствуют значению предельной несу­ щей способности, которое больше требуемого. Толщина /г3, по­ лученная из графика, представляет суммарную толщину сло­ истой плиты и отвечает вполне определенным -значениям пре­ дельных изгибающих моментов, которые должны быть воспри­ няты верхней и нижней плитами; их значение возьмем из рис. 5.8 для точки, в которой линия /г3 касается многоугольника. По этим моментам можно подобрать толщину верхней и нижней плиты. Толщины плит будут разные, так как в данном случае

Мо2<СМоі.

Изложенный способ, основанный на общих принципах про­ ектирования сложных систем наименьшего веса, позволяет оп­ ределить оптимальную толщину слоистой плиты, состоящей из двух плит, соединенных упругой прокладкой, которая передает нормальные напряжения и позволяет свободно скользить верх­

116

ней плите по нижней при деформировании плиты. Влияние ка­ сательных напряжений, возникающих в упругой прокладке, мо­ жно также учесть, но при этом задача значительно усложняет­ ся, а объем вычислений возрастает. Хотя касательные напря­ жения, возникающие в упругой прокладке, оказывают второ­ степенное влияние на распределение сил и определение несу­ щей способности, они существенных изменений в полученные результаты не вносят.

5.8. Нагрузка на краю плиты

Когда сосредоточенный груз располагается вблизи края до­ статочно протяженной или полубесконечной плиты, то образу­ ется характерный механизм разрушения плиты. В отличие от бесконечной плиты взамен кольцевого шарнира и полного пла­ стического конуса возникает половина конуса, основанием кото­ рого служит полуэллипс. Очертание кривой, по которой распо­ лагается пластический шарнир, соответствующий сечениям с от­ рицательными моментами, приближается в плане к полуэллип­ су, у которого размер вдоль края плиты вдвое больше попереч­ ного.

Линейные пластические шарниры, соответствующие образу­ ющим конуса, заполняют всю область, и работа пластических моментов в пределах всего конуса будет подсчитана как для бесконечной плиты. Теперь боковая поверхность пластической области будет почти в два раза меньше. Также уменьшится и работа пластических моментов в кольцевом шарнире, длина которого будет меньше, чем половина от полуокружности, по­ строенной на большом диаметре пластического конуса. Реакции упругого основания, которые совершают работу при деформи­

решение приближенно. Поэтому вдоль края плиты эпюру ре­ акций можно получить, выделяя из плиты полосу и рассматри­ вая ее как бесконечную балку. В направлении, перпендикуляр­ ном краю, выделенная полоса будет представлять собой полу­ бесконечную балку, нагруженную силой на конце. Из условий равенства прогибов для бесконечной и полубесконечной балок в точке приложения груза можно получить формулу для рас­ пределения внешней нагрузки между продольной и поперечной балкой. Для определения границ, через которые проходит коль­ цевой шарнир, можно использовать эпюру моментов, возника­ ющих в балках. Кольцевой шарнир образуется в том сечении, где возникает наибольший отрицательный момент.

Для этого используем данные, приведенные в табл. 6 .

При а — 1 балку можно рассматривать при расположении груза в середине пролета как бесконечно длинную и при распо­ ложении груза на краю как полубесконечную, тогда для строч-

117

кн а = 1 при грузе в точке 0 (середина пролета) получим гі = = 2с, при грузе же на краю (т. е. в точке 4) г2=1с, поэтому

Для величины г, и г2 можно принять формулу, использованную для бесконечной плиты в п. 5.1:

ны по образующим конуса.

Второй интеграл относится к работе пластических моментов в кольцевом шарнире. Последний интеграл учитывает работу реакций упругого полупространства. Можно было бы вычислять эти интегралы, применяя общее уравнение эллипса; для этого нужно сначала вычислить соответствующие производные. Так, например:

= Г 1 r 2 (r\ - r \ ) { r l COS2 Ѳ+ Г2 Sin Ѳ)-5/2 [r2 COS4 Ѳ-

— r\ sin4 Ѳ+ 2 {r\ — r\) sin2 Ѳcos2 Ѳ].

Эти выражения надо подставить под интеграл и вычислить его в пределах изменения центрального угла Ѳ от 0 до л.

118