Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

Сравнение монолитных и сборных плит показывает, что при замене одних другими следует делать поверочные расчеты, так как в сборных плитах изменяется распределение реакций осно­ вания по площади плиты. Выше были рассмотрены такие внеш­ ние нагрузки, при которых сборные плиты имеют пониженную несущую способность. Однако можно указать и такие схемы внешних нагрузок, при которых сборные плиты по несущей спо­ собности не отличаются от монолитных. Общим критерием мо­ жно считать, что чем ближе эпюра реакций основания прибли­ жается к эпюре внешней нагрузки, тем меньше будет разница несущей способности сборной и монолитной плиты.

Глава 6

ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ОСНОВАНИЯ

6.1. Метод конечных элементов

Для выполнения инженерных расчетов численные методы применяются давно [17, 36]. Однако практика использования ЭВМ показывает, что. в ряде случаев более удачным оказывает­ ся метод деформаций.

В таком виде численный метод был использован в работах [45, 62]. В условиях плоской задачи упругое основание и рас­ положенное на нем сооружение представляются в виде дискрет­ ной системы элементов той или иной конфигурации, соединен­ ных между собой в отдельных точках. Наиболее удачным ока­ зывается использование треугольных элементов, хотя прямо­ угольные элементы применяются тоже.

Пример разделения сооружения и упругого основания на треугольные элементы показан на рис. 6.1. Во всех точках на­ несенной сетки в основной системе предполагается наличие стержней, которые препятствуют смещениям. В качестве основ­ ного элемента принимается треугольник, изображенный на

125

рис. 6.2. Принимается, что перемещения вершин треугольника являются линейными функциями координат:

единичных состояний. Например, пусть ггг= 1 , а все остальные перемещения узлов треугольника равны нулю, это будет первое единичное состояние. Шесть коэффициентов а,-, соответствую­ щих этому единичному состоянию, определяются из следующей системы уравнений:

Еxj — x k

126

По найденным напряжениям и деформациям определим ре­ акции в связях для вершин треугольника. Например, горизон­

Для остальных главных реакций формулы будут получены из (6.4) круговой перестановкой индексов. Побочные реакции kJ . и другие вычисляются по следующим формулам:

Для удобства использования машинного счета запись всех операций составим в матричной форме. Обозначим [В ]— мат­ рица деформации одного конечного элемента; [В]т — транспо­ нированная матрица деформации; [D] — матрица упругости; [К]э•— матрица жесткости одного элемента; [Р ] — матрица внешней нагрузки. Подсчет матриц выполняется по формуле

Для каждого узла составляется уравнение равенства нулю реакций, возникающих в добавленных связях:

перемещений щ и Ѵі для всех узлов, и по формулам (6.3) мож­ но вычислить все напряжения.

Произведенный расчет позволяет определить предельную не­ сущую способность элементов, которые образуют всю систему.

127

Это можно выполнить благодаря тому, что в формулах для еди­ ничных реакций участвует модуль упругости узла сетки. При переходе за предел упругости величина модуля снижается, и это может быть учтено при составлении программы счета.

Рассмотренные формулы относятся к случаю плоской зада­ чи теории упругости, однако их можно распространить на бо­ лее общин случай, когда в состав системы входят стержневые элементы в виде стоек и ригелей рам. В этом случае при состав­ лении матрицы жесткости и матрицы реакций необходимо учесть особенности, относящиеся к рамным системам. В узлы основной системы кроме связей, препятствующих линейным смещениям, добавляются еще заделки, исключающие повороты узлов. При составлении основных уравнений равновесия для каждого узла используются три уравнения равновесия, т. е. ра­ венство нулю суммы проекций всех реактивных сил, приложен­ ных к узлу, на оси X и У, а также равенство нулю реактивных моментов, возникающих в заделке. В этом смысле наиболее удачными элементами, на которые делится заданная система, расположенная на упругом основании, являются треугольные элементы для плоской задачи и тетраэдры для пространствен­ ной задачи.

Для определения предельной несущей способности основа­ ния целесообразно использовать метод последовательных при­ ближений, и для описания физических свойств упругопластпческого основания принимается билинейная диаграмма, связыва­ ющая напряжения и деформации. В этом случае пластический участок диаграммы отличается от упругого тем, что модуль де­ формации на нем становится значительно меньше упругого мо­ дуля, в предельном случае пластический участок диаграммы становится горизонтальным и соответствует модулю, равному нулю. Билинейная диаграмма удобна в том смысле, что можно получить решение задачи в общем виде и использовать это ре­ шение для обоих участков диаграммы. Однако для каждого участка следует принимать разные модули упругости. Границу пластической области в упругопластическом основании можно определить из условий контакта и эквивалентности перемеще­ ний на границе между пластической и упругой областью. Для определения оптимального соотношения между жесткостями упругопластического основания и сооружения следует исполь­ зовать условие одновременного исчерпания несущей способно­ сти как сооружения, так и основания.

6.2. Предельная нагрузка высокой фундаментной балки

Рассмотрим фундаментную балку, у которой высота состав­ ляет одну четверть пролета. Для высокой балки распределение напряжений в ее поперечном сечении не будет линейным, и по-

128

этому за пределом упругости потекут волокна только части по­ перечного сечения и величина пластического момента должна быть определена дополнительно. Сначала используем метод ко­ нечных элементов для определения величины предельного мо­ мента, возникающего в высокой балке. Эта вспомогательная за­ дача может быть исследована путем рассмотрения балки, на­ груженной в середине пролета сосредоточенной силой (рис. 6.3); для расчета балка разбита на 32 элемента и использована сим­

метрия системы. Проведение вычислений выполнено согласно блок-схеме применительно к общей схеме, описанной в п. 6 .1 . Вычисление перемещений выполнено на ЭВМ М-220а по про­ грамме, составленной канд. техн. наук В. В. Самариным на языке АЛГОЛ-60. После решения получены величины верти­ кальных и горизонтальных смещений узлов сетки. По этим сме­ щениям вычислены напряжения ах, оу и тху, эпюры напряжений показаны на рис. 6.4. Из рассмотрения эпюр напряжений ох вытекает, что в пластическое состояние перейдет верхняя и ниж­ няя часть сечения толщиной 0,25 h. Средняя же часть балки толщиной Ѵг h будет оставаться в упругой стадии, поэтому ве­ личина предельного момента будет вычисляться по формуле

где а — численный коэффициент, учитывающий наличие упруго­ го ядра; для прямоугольного сечения а = 5/б=0,83.

Пластические области в основании определим, решая вто­ рую вспомогательную задачу о распределении реакций осно­ вания.

Рис. 6.4

130