Файл: Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков.pdf

2.4. Две сосредоточенные силы

Если к балке будут приложены симметрично две сосредото­ ченные силы, то решение усложняется, так как одновременно могут образоваться два пластических шарнира в точках при­ ложения нагрузок или один пластический шарнир в середине пролета.

Если грузы расположены вблизи края балки, то эпюра момен­

Для изучения распределения реакций за пределом упругости следует рассчитать балку с шарниром посередине пролета, в ко­ тором приложен постоянный момент Мпр. Реакции упругого ос­

Можно воспользоваться числами влияния, которые найдены в п. 2.2 для Р = 2 и М= 1с; тогда получим для равнодействующих

Значение с0 определяется из решения задачи в упругой ста­ дии и приводится в табл. 5 для бесконечно жесткой балки в зави­ симости от ширины Ь при расположении грузов на концах балки.

23

Реакции вычисляем по формулам:

Этой формулой можно пользоваться для значений п<.п\, т. е. она справедлива при условии, что Мпр возникает только в одном сечении балки, расположенном в середине пролета. Значение П\, соответствующее возникновению второго шарнира под грузом, получим, если вычислим изгибающий момент под грузом и при­ равняем его МПр. Например, если груз находится в точке 3, то

М3 = X,c + ^ . f = [К >h Ро + К Р0(3Лі - 0,82)] с +

+ f F a «1^0+ ^3^0 ( 4 - 0 ,8 2 ) ] .

Приравнивая значение М3 предельному моменту, находим после преобразований уравнение для определения tip.

при Ь/с —3

% - 2,13.

После того как образуется второй шарнир под силой, практи­ чески можно считать, что несущая способность балки будет исчерпана. Таким образом, предельная сила, которую может вы­

держать эта балка, Рпр= 2,ІЗР0Если грузы расположены близко к середине пролета и балка

имеет достаточно большие консольные участки, то первый пла­

24

стический шарнир образуется под грузом, и тогда расчетная схема для балки за пределом упругости будет приближаться

крассмотренной подробно в п. 2.2.

Вэтом случае практически несущая способность балки бу­ дет исчерпана после образования первого пластического шарни­ ра под грузом в середине пролета. Новый пластический шарнир может образоваться, но для этого необходимо, чтобы осадка балки достигла очень больших, недопустимых величин.

2.5.Три сосредоточенные силы

При трех сосредоточенных силах последовательность возник­ новения шарниров может быть различной и зависит от соотно­ шения жесткостей балки и основания.

Для определения реакций и осадок упругого основания при наличии пяти пластических шарниров в балке представляется возможным обойтись без решения системы уравнений.

Если прикрепить балку к упругому основанию в тех точках, где образовались пластические шарниры, и, кроме того, доба­ вить еще два опорных стержня на консолях, усилия во всех опорных стержнях будут определяться из условий равновесия по следующим формулам:

4Mпр

* 3 =

Выражаем РПр и Мщ, через Ро и М0 по формулам

Для определения величины силы Рщ,, при которой образуется пластический шарнир в сечении 1, подсчитаем величину момен­ та в этом сечении и приравняем его предельному моменту:

В этом уравнении единственным параметром будет множи­ тель п, который вводится на величину Р0 для получения пре­ дельной силы, соответствующей образованию пяти пластических шарниров в балке, так как в формулу для Д1Р можно подста-

вить Рцр— nPo и Мпр= Р0 — со, поэтому Дір будет представлять

собой функцию от п, а все остальные величины, входящие в эту формулу, будут постоянными; бц также является численным ко­ эффициентом.

25

Найденная таким путем предельная нагрузка является при­ ближенной, так как в расчете было принято сравнительно не­ большое число участков, на которые разбили балку.

Для уточнения расчета следует увеличить число сил А', и для определения реакций упругого основания за пределом упруго­ сти нужно решать систему линейных уравнений так, как это бы­ ло сделано в предыдущих параграфах. Также следует рассмот­ реть несколько случаев последовательности образования шар­ ниров. Только после этого можно указать величину предельной нагрузки, которую выдержит балка. По мере увеличения числа

сил объем вычислений для оп­ ределения Тпр возрастает.

2.6. Равномерно распределенна^^агрузка

Рассмотрим балку, на сред­ нем участке которой, имеющем длину d, расположена равно­ мерно распределенная нагруз­ ка интенсивностью q. Опреде­ лим величину этой нагрузки, при которой образуется пер­ вый пластический шарнир в балке.

Сначала сделаем расчет по упругой стадии и найдем величины q0 и М0, которые соответству­ ют концу упругой стадии работы балки, т. е. в крайнем волокне опасного сечения балки напряжения будут равны пределу теку­ чести.

Систему уравнений для балки составим, заменяя распреде­ ленную нагрузку сосредоточенными силами, как это показано на рис. 2.7, а и б:

Х 0 + X , + Х 2 + Х3+ Xt + 2,5= 0.

Эпюры реакций показаны на рис. 2.7, в. Из рассмотрения эпюры моментов можно сделать вывод о том, что пластический шарнир по мере увеличения нагрузки образуется в середине про­ лета. Для определения нагрузки, соответствующей образованию пластического шарнира в середине пролета, подсчитаем числа влияния для новой расчетной схемы, указанной на рис. 2.7, б, от двух типов нагрузок, а именно, от единичных сил и от единично­ го момента в шарнире.

26

От единичного момента числа влияния были определены ра­ нее; их нет необходимости вновь вычислять, можно взять ре­

зультаты из табл. 4.

Для единичных сил придется решить новую систему уравне­ ний, которая будет записана так:

При наличии шарнира в середине пролета балки кроме осад­ ки £/о следует учесть также поворот заделки ф0, поэтому число неизвестных теперь станет на единицу больше и придется доба­ вить еще одно дополнительное уравнение, в котором сумма мо­ ментов всех левых пли правых сил от внешней нагрузки и реак­ ции Хі относительно середины пролета равна нулю.

После решения этой системы уравнений будут найдены все равнодействующие реакций упругого основания и можно будет построить соответствующую эпюру реакций. На рис. 2.7 для сравнения показаны эпюры реакций, полученных в пределах упругой стадии работы балки и за пределом упругости.

Из этого графика видно, что после перехода балки за пре­ дел упругости начинается значительная концентрация реакций

всередине пролета балки.

2.7.Балка переменного сечения

Для плотимы треугольного профиля, имеющей гибкий понур, в качестве расчетной схемы молено рассматривать балку пере­ менной жесткости, которая имеет бесконечную жесткость в пре­ делах профиля плотины и является достаточно гибкой на участ­ ке понура.

Расчетная схема для упругой стадии и основная система за пределом упругости показаны на рис. 2.8. Для определения X получим систему из шести уравнений.

27