Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 170

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

60 ФУНКЦИИ Ш ТРАФА В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ Г Л . 3

с начальными и конечными условиями

Ь(«'а) - - V'J (I) [х (t0) - |НХ («о)], к (//) = 0. (3.2.39)

Переменная состояния в этих формулах может и должна записываться в виде х (t \tf), чтобы подчеркнуть, что если найдено решение этой двухточечной краевой задачи, то тем самым получено решение задачи сглаживания, или оценивания, х по наблюдениям до момента tf. В последу­ ющих четырех главах мы будем заниматься решением двухточечной краевой задачи (3.2.37) — (3.2.39) для по­ лучения решения как задачи сглаживания х (t |tf), так и задачи фильтрации х (t \t). Представляет интерес свя­ зать принятые выше модели формирования сигнала и на­ блюдений с задачей идентификации. Совершенно такая же операция может быть проделана в дискретном случае.

Г ” Рассмотрим обобщенную задачу оценивания и иден­ тификации, в которой модель формирования сигнала имеет вид

х = f [х (t), a, t] + G [х (г), Ь, г] w (t) -f- с. (3.2.40)

Модель наблюдений записывается в виде

z (t) = h [х (t), d, t\ + e -J- v (t).

(3.2.41)

Здесь a, b, c, d и e — постоянные параметры, подлежащие идентификации. Поскольку они постоянны, справедливы дифференциальные уравнения

а = 0, b = 0, с = 0, (1 = 0, ё = 0.

(3.2.42)

Эта модель является достаточно общей, чтобы охватить значительное число возникающих при идентификации ситуаций: с может представлять неизвестное среднее значение шума на входе объекта; е — неизвестное сред­ нее значение ошибки наблюдений; b можно использовать для обозначения неизвестных параметров входного шума объекта; a n d — другие неизвестные параметры моделей формирования и наблюдения сигнала.

Определив обобщенный вектор состояния

хт = [хт ат Ьт ст dT ет],

(3.2.43

3.2] МАКСИМУМ АПОСТЕРИОРНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ G7

легко убедиться, что такая задача идентификации пол­ ностью укладывается в рамки модели (3.2.5) и (3.2.6), Для того чтобы, решая ДТКЗ (3.2.37) — (3.2.39), полу­ чить решение задачи идентификации по критерию мак­ симума апостериорной вероятности, необходимо, чтобы неизвестные случайные параметры обладали гауссовской плотностью распределения с известными средними зна­ чениями и дисперсиями. При невыполнении этих условий решение ДТКЗ тем не менее гарантирует получение оценки по методу наименьших квадратов с функцией штра­ фа (3.2.24).

Четыре вопроса, представляющие интерес при иден­ тификации, оказались не охваченными моделью (3.2.40) — (3.2.42):

1) задачи с неизвестной дисперсией ошибки измерений, 2) задачи, в которых хотя бы одна из помех (входной шум или шум измерений) отличается от белого шума,

3)задачи оценки зависящих от времени параметров и

4)задачи с коррелированными шумами на входе и выходе объекта.

Штрафные функции двух следующих разделов позво­ лят нам решать задачи идентификации с неизвестными дис­ персиями шума на выходе (т. е. ошибок измерений). За­ дачи с отличным от белого («цветным») шумом на входе Удается решить, расширяя вектор состояния таким обра­ зом, чтобы входной шум для расширенного вектора со­ стояния был белым. В случае «цветного» шума измерений можно применить многократное дифференцирование век­ тора наблюдений z с тем, чтобы в результате в продиффе­ ренцированном векторе наблюдений присутствовал уже белый шум. У Сейджа и Мелсы [127] можно найти под­ робное обсуждение задач с «цветными» входными и выход­ ными шумами.

Задачи с переменными параметрами можно исследо­ вать, представляя неизвестный параметр как случайный процесс, порожденный марковской моделью

a = Aa(0 + BTj(0,

(3.2.44)

где 1] (t) — гауссовский белый шум с известными средним значением и интенсивностью, а а(() — неизвестный пере­ менный параметр. Для осуществления идентификации

3*

68 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ . 3

по методу максимума апостериорной вероятности необ­ ходимо, чтобы априорное распределение параметра а (t) было гауссовским с известными средним значением jna (£0) и дисперсией Уа (t0).

Наконец, имеется целый ряд задач идентификации,

подобных задаче, схема которой приведена на рис.

3.2.1,

 

когда

входной сигнал,

 

искаженный

дополни­

 

тельной помехой, досту­

 

пен наблюдению. Ясно,

 

что в

этом случае как

 

дискретная

модель

 

(3.2.1)

— (3.2.4),

так и

 

непрерывная

модель

 

(3.2.5)

— (3.2.7)

сохра­

 

няют силу, с тем лишь

Рис. 3.2.1. Простая задача

изменением,

что

шум

идентификации.

объекта

(т.

е. входной

 

шум)

и

расширенный

вектор шума наблюдений должны рассматриваться как

коррелированные процессы,

так что

 

ё (w (к) vT (/)} =

Vwv (к) 6К (к - ;),

(3.2.45)

Ш{w (0vT (т)} =

*FWV (t) 6D (t — т),

(3.2.46)

4"wv (t) =

lira 7\.Vwv (tk).

(3.2.47)

 

г^-f

 

T j-o

В результате изменятся эквивалентные штрафные функ­ ции для задачи идентификации по максимуму апостери­ орной вероятности. Функция штрафа, соответствующая

(3.2.33), примет вид

j = -J-II х (&о) — Дох (&о) fv-l +

+

S I У (

I y I-

й >

()“

/

£i — )

(3.2.48)

где

й=/с0

 

w(k ф- 1)

 

vw (к„)

 

 

 

 

 

(3.2.49)

У(*) =

z(k +

1) — h lx (к +

1), к 4- 1]

 

Vw (к ф -1)

Vwv (к ф- 1)"

 

Y (к) - [Vvw (к +

1)

VT(ft +

l) .

(3.2.50)

3.2] МАКСИМУМ а п о с т е р и о р н о й в е р о я т н о с т и 69

Легко убедиться,

что

 

3 п (к)

Sia (к)

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.2.51)

 

 

Y-1 (к) = а^ {к)

а22 (к)

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Еп (к) = [Yw (к +

1) — Ywv {к +

1) Vy1 (к +

1) V™ {к + 1)] \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.2.52)

а12(к) = -

Вп (к) vwv(к +1) v;1(к +1),

 

(3.2.53)

В2» (к) = [Уу (ft +

1) — Vvw (к +

1) Vw1(к +

1) Vwv (к + I)]"1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.2.54)

 

Для непрерывного случая функция штрафа (3.2.24)

заменится

на

 

 

 

 

Ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ ' =

IIX (f0) — Их (*o)fv-i +

^ 1у (*)

 

(3.2.55) ’

 

 

 

 

 

х о

 

(о

 

 

где

 

 

 

Г

 

w (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.2.56)

 

 

 

У ") — IZ(t)— h[x(t), «I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

^W

(0

\ v

( f) '

 

(3.2.57)

 

 

 

Y W -

1_ЧД№(() 4Tv(t) _•

 

Так как

 

 

 

 

 

 

Sn (0

Sia (01

 

 

 

 

Y-MO

(3.2.58)

 

 

 

_s5(0

SaaWJ ’

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вц (t) =

['Fw(0 — 'FWvW'Fv (0 ^vw(01 1’

(3.2.59)

 

a12 (0 =

- En (0 'Fwv (t) V ?

(t),

 

(3.2.60)

 

s 22 (t) =

[4"v (t) -

’Fvw (t) 'Fw1(t) *FWV (0Г\

(3.2.61)

штрафную

функцию

(3.2.55) можно записать в виде

 

 

 

 

 

 

 

Ч

 

 

 

j '

= 4 r их (t0) -

их (to) f - i +

4- 5<I z (o -

h [x

i2s“(f)+

 

6i

 

 

 

Xp

 

*0

 

 

 

 

 

 

V~

“ ;

 

 

 

+

2wT (<) a12 (t) [z (0 -

h [X(t), t]1+

IIW(0 |||)l(,)} dt.

(3.2.62)

Минимизируя эту функцию штрафа при ограничении, задаваемом уравнением (3.2,5), непосредственным

70 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 3

применением принципа максимума после несложных алгебраических преобразований можно получить кано­ нические уравнения (ДТКЗ)

х =

f [£ (f), t] -

G [х (t), t] {’Fw (t) -

4TWV (t) WZ1(t) V vw(0} X

 

X GT [X (t), t] X(t) — G [X (t), t] Wwv (t) Tv1(0

x

 

 

 

 

X {z(0 — h [x (0, <]},

(3.2.63)

l =

дЬ ax (t)

 

(t) {Z (t) h [i (t), /]> -

dx (t)

k(t) -f-

 

 

 

+ ahTM

 

,f1-

(*) ’P’vw (0 GT [X (t), t) %(t) -

 

 

dx(t)

 

 

 

 

 

 

d { l r {t)G

[ x ( t ) , t ] } }

(0 (2 (0 - h [ x ( 0 .« ] } +

 

дж (t)

 

4TWV

 

 

 

 

 

 

9{»,T(O G [i(t),0[VwW -4 rwv(t)4r;1(t)4rvW(f)]GT [£(t),t]}. _

4--------------------------------------

 

 

 

dx---------------------------------------(t)

 

 

k[t).

 

 

 

 

 

 

(3.2.64)

 

 

 

 

 

 

 

Эти канонические уравнения нужно решать при двухто­ чечных граничных условиях

ь (to) = y io lx (0) - 11Х(0)1, l (tf) = 0. (3.2.65)

В зависимости от вычислительного метода, применяемого для решения ДТКЗ, получаемая оценка служит решением задачи фильтрации или сглаживания состояния системы и параметров.

Пример 3.2.1. Рассмотрим идентификацию параметра а и неизвестного среднего значения ошибки измерений е для системы первого порядка, показанной на рис. 3.2.1. Модели формирования сигнала и наблюдений принимают вид

хх =

—ахх (t)

-f- w (t),

li (t) — %i (t) + v (t) + e,

£2(t) = w (t) + 0) (t),

причем используются

уравнения

 

a = ё =

0

для задания ограничений, согласно которым неизвестные случайные параметры должны быть постоянными. Слу­

Смотрите также файлы