ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
3 . 1] ВВЕДЕНИ Е 55
где
к/
М (к, , к 0) = 2 фТ (*, к0) Нт (к) Y ;1 {к) Н (к) Ф (к, к0).
к~кц-\-1
(3.1.22)
Для существования решения уравнения (3.1.21) М (А/, к0) должна быть обратимой.
Требование обратимости М (kf, к0) известно под назва нием условия наблюдаемости (Сейдж [116]).
Можно получить непрерывный вариант рассмотренной
задачи, сгущая точки фиксации так, чтобы к |
оо, kf Т —> |
|
1} , к0Т - у t 0 и |
кТ - > t . Используем определения |
|
F (t) = |
lim [Ф ((к + 1) Т, кТ) — 1]/Т, |
(3.1.23) |
|
kT-*t |
|
Н (t) = |
lim Н (кТ), |
(3.1.24) |
|
к->эо |
|
|
kT-+t |
|
4Fv (t) = |
lim TYv (kT). |
(3.1.25) |
|
Jf-*oo |
|
|
kT-+t |
|
Плотность распределения вероятности вида (3.1.18) не существует, так как становится бесконечномерной, но уравнение (3.1.19) сохраняет силу и превращается в пре деле при уменьшении шага фиксации в формулу
j ' = 4- |>И О - |
Н (0 х (0 « ;-г dt. |
(3.1.26) |
<0 |
V |
|
Разностное уравнение (3.1.11) заменяется дифференци альным
x = F (t)x(t), |
(3.1.27) |
которое следует использовать в качестве |
ограничения |
при минимизации (3.1.26). Записав |
решение (3.1.27) |
в виде |
|
х(*) = Ф (Мо)*(<о), |
(3.1.28) |
додставив это соотношение в (3.1.26), продифференцировав
56 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗАД АЧ АХ ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 3
его по х (t0) и приравняв результат нулю, получим
|
|
|
lf |
|
|
к (t0) = |
МГ1 (t„ to) 5 Фт (t, t0) HT(t) z (t) dt, |
(3.1.29) |
|
|
|
|
to |
|
где |
матрица |
|
|
|
|
|
ч |
|
|
M (t, |
to) = |
§ Фт (<, to) HT(0 'Fv1 (t) H (t) Ф (t, to) dt |
(3.1.30) |
|
|
|
to |
|
|
обратима, |
если система наблюдаема (Сейдж [116]). |
|||
В |
тех |
же |
обозначениях, использованных нами для |
|
определения оценки МП, на основе (3.1.10) можно полу чить выражение функции плотности вероятности для на хождения оценки МАВ. Поскольку р [Z (&/)] не зависит от переменной, по которой производится максимизация, то задача максимизации р [х (k0) |Z (А/)] полностью экви валентна максимизации безусловной совместной плот ности вероятности
ц[х,(/с0), Z(k/)] = p[Z(kf))x(k 0))p[x(ko)}. (3.1.31)
Очевидно, что для выполнения желаемой оптимизации необходимо большее количество статистической инфор мации. В частности, необходимо знание плотности (апри орной) распределения х (к0)- Предположим, что она яв ляется гауссовской со средним значением цХо и диспер сией VXo. Совместная плотность распределения, согласно
(3.1.18), примет вид
р [х (к 0), Z (к/)] =
|
|
1 |
|
|
|
|
r r exp {— 0,51x (ко) — цХо f x} X |
||
(2n)Nl'2 [det VXJ |
|
'ч> |
||
x |
hf |
1 |
exp {— 0,5! i (k) — |
|
П |
____ _____________i t - |
|||
Л |
0+г |
(2rt)M'a [det (*)]*/- |
|
|
|
|
H(A) Ф (к, k0) x (k0) f -i |
}• (3.1.32) |
|
|
|
|
Vy (ft) |
|
Максимизация |
этой функции |
цлотцости |
вероятности |
|
3.1] ВВЕДЕНИ Е 57
эквивалентна |
минимизации штрафной функции вида |
J = - т \ Ы к о ) - Ы Г , + |
|
Z |
VXo |
|
(3.1.33) |
Приравнивание нулю градиента по х (к0) этой штрафной функции метода наименьших квадратов приводит к сле дующему выражению для оценки:
ХМАВ (*о) — [Vxo + м (kf, к0)) 1 X
x [ v i V * . + S ®T(*,Ao)H(A)V;1(ft)Z(&)], (3.1.34)
/С=/С(гЬ1
где М {kf, к0) определяется формулой (3.1.22). Интересно вычислить дисперсии ошибок оценок МП
и МАВ, которые определяются формулами
var {хмп (к0)} = var {х (к0) — хМп (к0)} = М 1 (kf, к0), (3.1.35)
var {хмав(^о)} = var {х (к0) — хМАв (к0)} = [ ' + М (kf„ /с0)]-1. (3.1.36^
Видно, что дисперсия ошибки оценки (или идентификации) по методу МАВ меньше, чем по методу МП. Легко пока зать, что обе оценки — несмещенные. Эти утверждения основаны на предположении о правильном выборе пара метров априорного распределения, используемого для улучшения алгоритмов идентификации. Если априорное распределение выбрано ошибочно, оценка МП может ока заться лучше оценки МАВ. Полный анализ ошибок, во
просов выбора |
априорного распределения и связанных |
с этим вопросов |
чувствительности, читатель может найти |
в главах 6 и 8 книги Сейджа и Мелсы [127]. |
|
Выражение оценки МАВ в непрерывном времени легко получить, если уплотнить точки фиксации и использовать определения (3.1.23) — (3.1.25). Уравнение (3.1.33) примет
Sg ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИЙ £МГ. 3
ВИД
J = ~2 ~IIх (to) |
Мх0IL-1 “Ь |
|
|
||
|
ч |
Х |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ I IIZ (О - |
н (t) Ф (t, to) X (to) I\ l-id t. |
(3.1.37) |
||
|
/. |
|
|
v v it) |
|
Оценка MAB теперь запишется в виде |
|
||||
ХМАВ (to ) = |
Ч |
+ М (t f , £0)] 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
[ $ Фт (£, to) н |
(t) V ? (t) z (t) dt |
V x> XoJ, |
(3.1.38) |
|
|
^0 |
|
|
|
|
где M (tf, |
t0) |
определяется уравнением (3.1.30). |
|
||
Дисперсии ошибок двух непрерывных оценок равны |
|||||
var (хМц (£o)} = |
var {х (t0) — хмп (t0)) = M_1 (tf, t0), |
(3.1.39) |
|||
var { х м а в (t0)} = var (x (t0) — x Ma b (£<>)} = |
lVx,1 + M (tf, £„)] x. |
||||
|
|
|
|
|
(3.1.40) |
По-прежнему дисперсия ошибки оценки МАВ меньше, чем дисперсия ошибки оценки МП.
Может показаться, что эти линейные схемы построе ния оценок не применимы к задачам идентификации, ко торые часто нелинейны. Исключение составляет иденти фикация весовой функции линейной системы. Однако нелинейные задачи идентификации можно линеаризовать, как, например, в главе 6 (квазилинеаризация). В этом случае методы данного раздела применимы непосредст венно. Есть ситуации, в которых методы, рассмотренные в этом разделе, неприменимы. Они возникают при наличии неизвестных входных сигналов, управляющих поведе нием системы. Обратимся теперь к этой задаче и рассмот рим вопросы оценки динамики нелинейных систем.
3.2. ИДЕНТИ ФИКАЦИЯ ПО КРИТЕРИЮ МАКСИМУМА АПОСТЕРИОРНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
В этом разделе будет исследован байесовский подход, или метод максимума апостериорной вероятности (МАВ) в применении к обобщенным задачам оценивания, задачам идентификации. Мы покажем, что многие задачи иденти
3.2] |
МАКСИМУМ АПОСТЕРИОРНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ |
59 |
фикации можно сформулировать как задачи оценивания по критерию максимума апостериорной вероятности. Бу дет показано, что при гауссовском априорном распределе нии оценка по максимуму апостериорной вероятности эквивалентна некоторой оценке по методу наименьших квадратов. Приводятся также развернутые формулировки соответствующих функций штрафа и двухточечных кра евых задач, для решения которых можно применить вы числительные методы глав 4—7.
Наибольшее внимание в этом разделе уделяется дис кретным моделям оценивания. Основные результаты будут затем переформулированы для непрерывных моделей.
Дискретные модели формирования сигнала и наблю дений задаются уравнениями *)
х (к + 1) = |
ф [х (к), |
к\ + Г [х (к), Л] w (к), |
(3.2.1) |
||||
|
z (к) = |
h [х (к), к] + |
v (к), |
|
(3.2.2) |
||
где х (к) — TV-мерный вектор |
состояния, ф [х (к), к] — |
||||||
TV-мерная вектор-функция, множество значений которой |
|||||||
охватывает |
все возможные |
входные сигналы, Г [х (к), /с] |
|||||
— TV X М-матрица, |
w (к) — М-мерный |
вектор |
входно |
||||
го шума, z (к) |
— Т?-мерный вектор наблюдений, h [х (к), &] |
||||||
— if-мерная |
вектор-функция, |
\(к) — ТТ-мерный |
вектор |
||||
помехи измерений. |
|
|
|
|
|
||
Через х (к) |
обозначен обобщенный вектор состояния |
||||||
в к-й точке |
фиксации х (tk) |
или х (кТк). |
В дискретных |
||||
моделях оценивания w (к) и v (к) предполагаются незави симыми марковскими последовательностями гауссовских независимых случайных величин с нулевыми средними значениями и такими, что
<g |
{w (к) wT (/)} = |
Vw (к) 6К (к — /), |
(3.2.3) |
8 |
{V (к) ут (/')} = |
Vv (к) бк (А - /), |
(3.2.4) |
где 6к (А — Д — символ Кронекера, a Vw (к) и Vv (к) — симметричные неотрицательно определенные ковариа ционные матрицы размерности М X М и R х R сооответственно.
*) Точная постановка задачи идентификации в такой форме будет дана ниже в этом разделе.
60 ФУНКЦИИ Ш ТРАФ А В ЗА Д А Ч А Х ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 3
Непрерывную модель оценивания часто выводят с по мощью не вполне строгого предельного перехода, так что
она |
получается |
непосредственно из |
дискретной |
модели |
||||
по |
мере |
сгущения точек фиксации, |
т. |
е. |
когда |
tk+1 |
— |
|
— tk = |
Тк (шаг |
фиксации) стремится |
к |
нулю, |
tk |
1. |
||
Эта непрерывная модель оценивания задается уравне ниями
X(0 = |
f [х (t), |
t] + G [х (t), t\w (0, |
(3.2.5) |
z{t) = |
h[x(t), |
t] + v(0> |
(3.2.6) |
в которых w (t) и v (t) считаются белыми гауссовскими шумами с нулевыми математическими ожиданиями, так что
ё М О wT (Т)} = |
(Оби (t - |
т), |
(3.2.7) |
Ш{V (0 vt (т)} = |
lFv (0 6D (t - |
т). |
(3.2.8) |
Связь дискретной и непрерывной моделей устанавлива ется следующими нестрогими предельными соотношениями:
f [X (0, 0 |
= |
lim -i- (<p [x (A), k] — x (A)}, |
(3.2.9) |
|
|
|
Tfe—0 |
1 к |
|
|
|
t f t |
|
|
G [x (0, 0 |
= |
Hm |
— (Г [x (k), A]}, |
(3.2.10) |
|
|
t*-*о |
k |
|
|
|
tk-^t |
|
|
h [x (0, 0 |
= |
lim |
h [x (A), A], |
(3.2.11) |
|
|
'rfr*0 |
|
|
(0 = |
lim |
Tk\y, (A), |
(3.2.12) |
|
|
|
tf* |
|
|
V,v (0 = |
lim7,*Vv (A). |
(3.2.13) |
||
|
|
tk-*t |
|
|
Отметим, что определяющее непрерывную модель диф ференциальное уравнение (3.2.5) записано в не вполне корректной форме и должно быть заменено стохастическим дифференциальным уравнением
dx(0 == f [ x(0, 0 & |
О [х (0> 0 du (О» |
(3.2.14) |
