Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 157

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

104

ГРАДИ ЕНТНЫ Е МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ

[ГЛ. 4

где R — положительно полуопределенная матрица весов, обращается в нуль только при и = А_1Ь. Таким образом, минимизация J эквивалентна решению системы Аи = = Ь. Используя уравнение (4.2.8), получаем

ui+1 = и* - A*ATR(Au1- b).

Ошибка вычислений связана с изменением / от итерации

китерации. Имеем

/‘ = 4 -|А п‘ - Ь |* „

= - А'*А\ТП (Аи* - Ъ) - Ь

1 { 2

=- 2 - l ^ U ^ l(I-K 1AATR)TR (I-K iA A TR) •

Для устойчивости вычислительной процедуры необхо­

димо, чтобы Ji+1 Р или чтобы матрица 21 — Я*АТИА была положительно определенной. Обозначим величину ошибки через е* = и — и1; имеем

ei+1= Q V , ||ei+1f = ||ei fQiTQi,

где

Q ^ I - A ^ R A .

Для того чтобы обеспечить выполнение |] ei+11|2 <[ |е1 f , необходимо потребовать положительной определенности

матрицы 21 — А*АША. Этим определяется верхнее огра­

ничение на К 1. К сожалению, для задач существенно более сложных выяснить условия сходимости гораздо труднее.

Выполнение (4.2.2) свидетельствует лишь о наличии у функции штрафа локального экстремума. Для того чтобы выяснить, является ли этот экстремум максимумом или минимумом функции штрафа, необходимо проанали­ зировать вторую производную или второй дифференциал этой функции. Однако в настоящей книге подобное ис­ следование не проводится (Сейдж [116]).

Значительно интереснее задача минимизации функции штрафа при наличии ограничений в форме равенств. Итак, требуется минимизировать по и

J = 6(х, и)

(4.2.9)

4.2] М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ СТАТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ Ю5

так, чтобы выполнялось следующее условие:

f(x ,u ) = 0,

(4.2.10)

где и — вектор размерности М, a f и х — iV-векторы. Этого можно достичь, определив функцию

Я (х , и, к) — 0(х, и) + ^Tf (х, и),

(4.2.11)

где к — множитель Лагранжа. Затем решается система нелинейных уравнений

или

9Я

9Я

9Я

 

du ~~

ds.

Sfk

 

 

 

*3

 

 

 

 

»

 

 

90

 

Н

 

 

Г

1I^

-k — o,

du

1

du

ae

f

afT

- k -

0,

dx

r

9x

 

0.

 

f (x,

u) =

(4.2.12)

(4.2.13)

(4.2.14)

(4.2.15)

Часто решение этой системы оказывается затруднительным и его пытаются заменить итеративной процедурой. Если выбрано ш, можно решить уравнение (4.2.10), определив такое х1, что f (х*, и1') = 0. Разлагая Я в ряд в окрест­ ности этого решения, получим

Н (х, и, к) = 0 (х*, и*) +

- xi) +

!® !^ > ]T(u - u*) + ^

[ ^ ] Т(х -

х<) +

+

д\ Ц<)-]Т(ц -

“ *)• (4.2.16)

Для того, чтобы упростить это выражение, воспользуемся

(4.2.14):

ДЯ 1 = Я (х, и, к) - Я (х*, и\ к*) =

= ! » < & £

+ kiT Г»|Т<*;Д<)Т } тДи* =

I 3u*

L 9u* J J

 

(4.2.17)

где

 

Au* u u1, Ax1 = x — x1.

(4.2.18)

106 ГРАДИ ЕНТНЫ Е М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ . 4

Метод наискорейшего спуска получается, когда отрица­

тельное АН1 (или AJ1)

выбирается максимальным по мо­

дулю. Таким образом, полагаем

 

Аи’ = -

К 1

дН (х\ и4,

(4.2.19)

9и4

 

 

 

где К4 — положительное число, которое выбирается из соображений, связанных со сходимостью и скоростью сходимости итеративного процесса.

Таким образом, вычислительная процедура гради­ ентного метода первого порядка сводится к следующим этапам:

1)определить и*,

2)найти х1 из уравнения f (х4, и4) = 0,

3)оценить К1 из соотношения

К= — ^ 9fT (х\ и4) -1 90 (хг, иг)

 

 

9х4

 

 

 

 

4)

определить

 

 

 

 

 

 

дН (хг, и4, к1) _

.

 

,,i

0fT(x4, иг)

. {

 

99 (х4,

иг) j

 

9ul

9u

i

1

ъ i

’

 

 

 

9u

 

5)

вычислить

 

9Я (x4, u\ X1)

 

 

ui+1 = U* -

К

 

 

 

9u4

 

 

 

 

 

 

 

 

6)повторять процедуру до тех пор, пока управление

ине перестанет изменяться.

Отметим, что существует много способов синтеза гра­

диентных процедур. Так,

можно записать

А /1

90 (х4, и4)

Au4 = 0.

dvf .

(4.2.20)

Если разложить f (х, и) в ряд Тейлора в окрестности точки (х4, и4), то, ограничиваясь членами первого порядка малости, получим

Г 1

[ « £ ■ * ] * , + [. 9fT (х4, и4)

Au4 = 0. (4.2.21)

9u

4.2] МЕТОДЫ

ИДЕНТИФИКАЦИИ СТАТИ ЧЕСКИ Х

СИСТЕМ

Ю7

Подстановка

(4.2.21) в (4.2.20) приводит к

формуле

 

A J

ф

р

L дх1

т ’ д( (х\ и * ) ' -3

' a f т (х\ и {) '1Т

J L

дх1

L

Э и 4

J +

 

эе (х\ и1)

(4.2.22)

 

+

du1

 

 

 

 

 

Выражение в фигурных скобках не что иное, как [дН/ди]т; таким образом, эквивалентность двух процедур установ­ лена, а для того чтобы получить метод наискорейшего спуска, снова выбираем Ли4 в соответствии с (4.4.19).

Естественно, можно спросить, имеет ли какой-нибудь смысл использование членов второго порядка малости при синтезе градиентных алгоритмов. Сохраняя члены первого и второго порядков малости в разложении функ­ ции штрафа и учитывая, что J - II, если f (х, и) = О, получим

ЭН (х*, u1',

АГ =

дх1

-— lAxiTAuiT]

к1) Т

Ах1

ЭЯ (х\ и\ к{)

т

 

 

 

Эи4

 

Ли* -ф-

 

 

 

 

 

 

 

am (хг, иг, V)

а

а н (х\ и*, %})

 

 

(дх*)*

 

ди*

 

Эх*

Дх1

а а п (Х\ и1, к)

т

am (х\ и\ к}) -Ли*. ‘

Эи*

ах1

 

 

 

Кг

 

 

 

 

(Риг)

 

(4.2.23)

Подберем такое Кг, чтобы удовлетворить уравнению (4.2.14) или условию дН/дтс. = 0. Потребуем также, чтобы выпол­ нялось соотношение (4.4.21). Используя (4.2.14) и (4.2.21), из (4.2.23) получим

АУг = a tf(x \ u U V jTAut +

Эи*

 

1 . гт г

 

Г 9 а н пт Г а ан

 

 

 

 

 

1 Г Аи

L—

 

Эи

 

Эх

LГ']

х

 

 

 

 

 

 

 

 

дк

дк

 

 

 

 

 

a m

 

а

ап

 

а

ан

а

 

ан

 

х

дх*

 

Эи

Эх

 

дх дк

11Эи

дк

Аиг,

а

а н

 

 

a m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эи

дх

 

 

 

Эиа

-

 

 

 

 

 

 

(4.2.24)

108

ГРАДИ ЕНТНЫ Е МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ

[ГЛ . 4

где оценки Н, х, и и X относятся к i-й итерации вычисли­ тельного процесса. Очевидна возможность минимизации A/ 4 путем соответствующего выбора Аи4. Используя стандартную технику теории матриц, получим

Аи4

 

 

ЭЯ тг ■ э

ЭЯ -|Т ■ дЧ1 1 " Э ЭЯ -]

г а

ЭЯ 1

 

Эи

эх, J

- дх

—

. Эх2

J _ дх эх J

эх

- { [

L Эи

 

дЧ1

-

 

1

 

 

 

 

 

 

■ э ЭЯ ■ т г д дН Тг Г_Э_ ЭЯ 1

 

 

+[ Эи2

J — [„Эи

ЭЗэх

дх

ЭХ, J Uu Эх J

 

 

 

 

_

Г А дН ]" Э

дН ' ' д ЭЯ

 

(4'2'25>

 

 

 

 

[_Эи

Эх

Эх

ЭХ,

Эи ЭХ, • F - Я ”

откуда видно, что действительно получена процедура для вычисления изменений управления при переходе от ите­ рации к итерации. Так как минимизация А / проводилась при учете квадратичных членов относительно Аи и Ах, естественно ожидать, что использование градиентного метода второго порядка или метода вторых вариаций дает выигрыш в скорости сходимости по сравнению с градиент­ ным методом первого порядка. Однако ускорение сходи­ мости приобретается ценой значительного усложнения вычислительных процедур и возрастания трудностей, связанных с исследованием сходимости. Процедура вычи­ слений весьма напоминает соответствующую процедуру для градиентного метода первого порядка:

1) выбрать и1,

2) определить х4 из f (х4, и*) = 0,

3)определить Я (х1, и1, X,4) = 0(х4, и1) -f X,iTf (х4, и4),

4)оценить X4 с помощью соотношения

дН (х\ u1, X,1)

п

= _

Г 3fд! (х*1, и4) I-1 эе (х4, и4)

дх1

 

—

L

Эхд 4г J'

Эх

5) вычислить все производные, которые входят в со-

отношения (4.2.25),

и4 +

Ди4,

 

6) определить

u4+1 =

и4не пере­

7) повторять вычисления до

тех

пор, пока

станет заметно меняться от итерации к итерации.

Алгоритм существенно упрощается, если нет ограни­

чений в форме равенств и 0 (х,

и) = 0 (и). В этом случае

формула (4.2.25)

приобретает

вид

 

Аи4

d29 (и4) У 1

dO(и4)

(4.2.26)

(duVI4)2

J

Эи1

 

- [ ■

 

4.2] МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ СТАТИ ЧЕСКИ Х СИСТЕМ

Ю 9

Таким

образом, приходим

к алгоритму вида

 

 

 

 

 

 

-11 d9 (и)

(4.2.27)

 

 

 

L

(du*)2

-

du*

 

 

 

 

 

 

Пр имер 4.2.2. Рассмотрим

снова

решение

системы

Аи =

Ь как

задачу

минимизации

функции

штрафа

 

/ = 0 (и) =

(Аи — Ь)т R (Аи — Ь).

 

Из формулы (4.2.27)

получим

 

 

 

 

 

ui+1 =

u* — [ATRA]_1 At R (Au‘ _

Ь) = Л Ч).

Видно, что процедура сходится за один шаг независимо от выбора и*. Решение системы ui+1 = А~Чэ. Эта особен­ ность присуща всем линейным задачам. Однако обычная процедура вычислений содержала А-1, и в этом простом случае смысл использования итеративного метода состоял в том, чтобы избежать вычисления обратной матрицы. В общем случае градиентные методы особенно полезны для решения систем нелинейных уравнений, причем гра­ диентный метод второго порядка иногда имеет большие преимущества.

До сих пор функция / = 0 (и) минимизировалась путем применения градиентных методов первого или второго порядка. В первом случае имело место соотношение

Аи* = - К* du ,

(4.2.28)

тогда как для градиентного метода второго порядка

Аи* = —

' d29 (и*) 1~г d9 (и*)

(4.2.29)

- (du*)2 J

dul

 

Градиентный метод первого порядка в вычислительном отношении прост, но дает медленную сходимость в окрест­ ности экстремума, если только не используется оптималь­ ный градиентный метод (Сейдж, [116]), который в общем случае очень трудно реализовать. Метод вторых вариа­ ций дает быструю сходимость в окрестности экстремума, однако чрезвычайно усложняется вычислительная про­

Смотрите также файлы