ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 155
Скачиваний: 0
114 ГРАДИ ЕНТНЫ Е М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 4
вание градиентного метода первого порядка в много шаговых задачах сводится к следующей вычислительной
схеме: |
|
|
|
|
|
1) |
определить или задаться значением и* (к), |
|
|||
2) |
используя (4.3.2), вычислить х* (к) |
для к 0 |
к ^ kf, |
||
3) |
решить сопряженное уравнение (4.3.3) в «обратном» |
||||
времени для kf ;> к ;> |
к0 и |
определить |
№(к), |
|
|
4) |
определить |
|
|
|
|
д И |
= 3«Р [х4(к), ц* (к), |
к] |
W ( f t ) , u* (ft), к] % (к |
, . |
|
Эи* (к) |
Эи1' (к) |
' |
Эи1 (/с) |
1 |
' |
|
|
|
|
|
(4.3.11) |
5)получить приращение
Ли* (/с) = — К 1
дН
Эи1 (к) ’
6)вычислить новую итерацию управления
ui+1 (/с) = u1(/t) f Ли1(к), |
(4.3.12) |
7) вернуться к пункту 2) и повторять вычисления д тех пор, пока при переходе от итерации к итерации про исходят заметные изменения траектории и управления.
При идентификации реальных объектов встречается множество ситуаций, в которых применение описанного выше градиентного метода первого порядка становится затруднительным. Наиболее важным из них является случай, когда не задано начальное состояние и иденти фицируются некие постоянные параметры р (к). В этом случае функция штрафа приобретает вид
k/-i
./ = 0/ [х (,kf)] + 0О[х (К)] -j- 2 Ф [х (*), р (к), и (к), к], Л.‘=/£о
(4.3.13)
а уравнения объекта имеют вид
х (& + 1) = <р[х(&), р(к), и (к), к]. |
(4.3.14) |
Условие постоянства неизвестных параметров запишется как
Р (й + 1) = Р(*0- |
(4.3.15) |
4 -3] МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИ НАМ ИЧЕСКИ Х СИСТЕМ Ц 5
Можно, конечно, расширить описание состояния, вклю чив в него вектор параметров и избавившись тем самым от необходимости явного учета неизвестных параметров. Однако по причинам, которые станут ясны позднее, ка жущейся простоте обозначений будет предпочтен другой способ обобщения градиентного метода первого порядка, связанный с явной записью вектора параметров р(&).
Определим гамильтониан
Я = ф [х (к), р (к), и (к), к\ -|-
+ кт(к -|- 1) ф [х (к), р (А:), и (к), к] + Гт (к + 1) р (к). (4.3.16)
Добавив к функции штрафа уравнения движения, полу чим первый дифференциал функции J в виде
Л/ =
+
» Ц £ Ж . +.Ц 4 а)]ТЛХ(;.:„)-[-
■зедх(^)1 |
к (kf) Ах (к)) -ф- Г1 (к0) Ар (к0) |
|||
дх. <*/) |
||||
tc,-l |
|
|
||
|
Я ТТ |
-|Т |
||
■Гт (kf) Ар (kf) -ф- 2 |
||||
_ дх (к) |
— к (к) Ах (к) |
|||
|
fc=fC0 |
|
||
дН |
Ч*)]Т Ар (А) + |
Au (&)j . (4.3.17) |
||
+ . др (к) |
||||
Как и раньше, АТ упрощается путем введения сопряжен ных переменных. И, в частности, используются следую щие условия:
дН
к (к) = ’
~ дх(к)
Т (к )-
дН др(к) ’
Таким образом, первый преобразуется к виду
Лт |
Г 90о [х (к0)] |
пт |
+ к (к0) |
||
|
L дх (ко) |
|
+ Гт (Аг0)А р (£ 0) +
Ь (А/) = |
dQf [*(*/)] |
(4.3.18) |
дх (к.) |
||
Г (kf) = |
0. |
(4.3.19) |
|
|
штрафа |
kf- 1 |
Т |
|
" / |
|
|
2 [ о |
т ] * “ (*)• |
(4.3.20) |
к=к„ L w J
116 |
ГРАДИ ЕНТНЫ Е М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
1.ГЛ. 4 |
Выберем |
Ах (к0), Ар (к0) и Аи {к) так, чтобы |
получить |
наискорейший спуск к минимуму. Таким образом, по ложим
Ах (к0) = |
- К дх [ ЭУ (^ 0)] + М*о)] , |
(4.3.21) |
Ар {ко) = |
— /СдрГ (к0), |
(4.3.22) |
Аи(А) = |
- Х л и ^ . |
(4.3.23) |
Теперь на каждой итерации изменяется не только управ ление и (к), но изменяются и начальные условия х (/с0), р (/с0), в то время как раньше х (к0) было фиксировано и Ах (к0) равнялось нулю.
Во многих задачах х (к0) является заданным. Если это так, то х (к0) используется как начальная точка для ре шения уравнений, описывающих движение объекта. Может также оказаться, что отсутствует управление и(А;). Вэтом случае из алгоритма исключается процедура пересчета и {к) (и, разумеется, дН/ди). Общая блок-схема вычислений такова:
1)определить или задаться значениями х* (/с0), р* (к0),
ш{к),
2) |
найти решение х* (к), к0 |
к ^ |
kf, разностных урав |
|||||
нений |
(4.3.14), (4.3.15) |
с |
заданными х* (/с0) |
и р* (к0), |
||||
3) |
определить |
Я,* |
(/с) |
и |
Г1{к), |
kf |
к > |
к0, решив со |
пряженную систему |
уравнений |
(4.3.18), (4.3.19), |
||||||
4) |
определить |
приращения |
|
|
|
|||
|
Ах1 (к0) = |
— К\х |
(/со) |
J |
(4.3.24) |
|||
|
|
|
|
|
ах1 |
v ' |
||
|
АР‘ (*о) = |
-«дрГ *(А о), |
|
|
(4.3.25) |
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
(4Л26) |
5) |
вычислить |
следующую |
итерацию |
начальных усло |
||||
вий и управления: |
|
|
|
|
|
|
||
|
xi+1 (k0) = |
х1 (k0) -j- Ах* (/c0), |
(4.3.27) |
|||||
|
P{+1 {ко) = |
P* (Ао) -J- Ар1 {к0), |
(4.3.28) |
|||||
|
ui+1 (к) = |
|
и1(к) -f- Au1 (к), |
(4.3.29) |
||||
4.3] МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМ ИЧЕСКИХ СИСТЕМ Ц 7
6) Вернуться к пункту 2) и повторять вычисления до тех пор, пока изменения в х (к), р (к) и и (к) при переходе от итерации к итерации не станут пренебрежимо малы.
Распространение этих алгоритмов на непрерывный случай получается непосредственно. Градиентный алгоритм первого порядка для минимизации функции штрафа
Ч
/ = 0/ [X (tf)] + е0 [х (£„)] + $ Ф [х (£), р ((), и (£), t] dt, (4.3.30) to
когда координаты состояния системы х (if), неизвестные постоянные параметры р (t) и управление u (t) удовлетво ряют системе дифференциальных уравнений
х (/) = |
f [х (£), р (£), u (£), t], |
(4.3.31) |
р (0 = |
0, |
(4.3.32) |
состоит в том, чтобы:
1)определить гамильтониан
Н= ф [х (t), р (г), и (г), t] + kT(£) f [х (г), р (t), и (г), t],
(4.3.33)
2)задаться начальными приближениями u1(t), х» (£0)
ИР*(*о).
3)используя эти и» (£), х* (£0) и р» (t0), найти х» (t) из
уравнения (4.3.31) и р* (t) из уравнения (4.3.32), 4) решить сопряженную систему уравнений
X1: |
дН |
^ " " |
дх (tf) |
(4.3.34) |
|
dxi (f) |
|||||
|
|
||||
Г* = - |
дН |
г 1 (ч) = 0, |
|
(4.3.35) |
|
ар4 (t) |
|
||||
|
|
|
|
5)определить приращения
Ли<(г) = |
— я диг аидН*(«) |
(4.3.36) |
Ах* (£0) |
K L дбо [х* (to)] ~1~ V(t0) |
(4.3.37) |
|
дхг (t0) |
|
Арг (£0) — — 7£дрГ ((0), |
(4.3.38) |
|
118 |
ГРАДИЕНТНЫ Е МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
[ГЛ. 4 |
|
|
6) вычислить новые значения искомых величин |
||
ui+1 (it) = u* (t) + Au* (t)\ |
(4.3.39) |
|
xi+J (t0) = x*(to) + |
Ax* (t0)-, |
(4.3.40) |
Pi+1 (to) = lji (to) + |
Api (t0), |
(4.3.41) |
7) вернуться к пункту 3) и повторять вычисления до тех пор, пока изменения параметров, управления и тра ектории при переходе от итерации и итерации не станут мало заметными.
В постановке задачи идентификации можно учесть любое число ограничений, задаваемых равенствами или
Рис. 4.3.1. Настраиваемая модель из примера 4.3.1.
неравенствами. Однако в этой книге подобные постановки задач не рассматриваются (см. Сейдж, [116]), так как ограничения в форме неравенств на состояние объекта и управления и ограничения-равенства на концах тра ектории встречаются в задачах идентификации не слиш ком часто. После краткого обсуждения двух примеров особое внимание будет обращено на изучение градиент ного метода второго порядка и метода сопряженного гра диента для решения задач идентификации динамических объектов.
Пример 4.3.1. Рассмотрим идентификацию одномер ного объекта по схеме с настраиваемой моделью, схема которой изображена на рис. 4.3.1. Предполагается, что неизвестный объект описывается передаточной функцией с неизвестными постоянными параметрами ат = [а0, а1,...
4.3] МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМ ИЧЕСКИХ СИСТЕМ Ц 9
. . fln-iF, |
ЬТ = |
[Ь0) |
|
|
Ъп.гР: |
|
|
|||
z |
(s) |
|
, Т , |
К _ |
A (s) |
_ |
ао + |
ais + |
, . . + |
fln-jS11-1 |
и |
W |
_ |
^ |
~ |
В (s) |
~~ |
60 + |
bis + |
. . . + |
Ъп_ jS71- 1 ' |
Вход |
объекта |
и (t) |
с преобразованием |
Лапласа U (s) |
||||||
и выход объекта z (t) с преобразованием Лапласа Z (s) считаются известными. В начальный момент времени объект находился в состоянии покоя.
Во временной области уравнения объекта можно за писать в виде
х= F(b)x(f) + g(a)u (t),
У(t) = hTx (t),
где |
Г - Ьп-! 1 о 0 . . ." |
|
|
“ 1 " |
|||
|
~ап-1 |
|
|||||
|
1 |
О |
0 . . . |
ап-г |
|
0 |
|
F (Ь) = |
1ез |
1 |
: . g(a) = |
, |
h = |
0 |
|
: |
о о |
||||||
|
|
0 0 |
. . |
0 |
«1 |
|
0 |
|
■Ьо |
яо |
|
||||
Подберем |
такое |
|
значение вектора параметров |
рт = |
|||
“= [ат, |
Ьт], чтобы |
минимизировать |
функцию |
штрафа |
|||
J = ^ lz W ~ y { t ) ? d t .
О
Отсюда видно, что эта задача является частным случаем задачи идентификации непрерывного объекта, которая была решена путем применения градиентного метода пер вого порядка. Полезно проследить алгоритм решения. Определим функцию
/ / = ^r [ z ( * ) - h Tx (0 ]2 +
+ |
(О [F (Ь) х (£) + g (а) и (£)] r j [0] -f- Г& [0]. |
Здесь и (£) — известный входной сигнал, не обеспечиваю щий оптимальных характеристик. Блок-схема вычисле ний такова:
