ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 0
п о ГРАДИЕНТНЫ Е М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ [ГЛ. 4
цедура, а в окрестности экстремальной точки для обес печения сходимости необходимо решить задачу о выборе начального приближения.
В методе сопряженного градиента (Флетчер и Пауэлл, [41]) сделана попытка соединить лучшие качества двух рассмотренных методов. Вместо того, чтобы вычислять
[d20 (u)/du2]-1, рассматривается |
последовательность |
век |
|||
торов v1, V2, . . ., |
ут, ортогональных к <РВ (u)/du2 |
так, |
что |
||
YiT |
^OJuV , |
О, |
i=j=j. |
(4.2.30) |
|
|
{duy J7 |
|
|
|
|
Затем проводится поиск в направлениях, определяемых каждым из векторов у1с тем, чтобы выбрать оптимальную
величину шага. Таким образом, |
|
|
ui+1 = |
U{ - к у , |
(4.2.31) |
где К1 — положительное |
число, которое |
обеспечивает |
min 0 (и* — К-У), |
(4.2.32) |
|
к 1 |
|
|
так что в результате получается оптимальный градиент
ный метод. |
показать, |
что |
формула |
|
|
|
Нетрудно |
|
|
||||
|
|
dQ У ) , |
|М8 (u W lP |
^ |
(4.2.33) |
|
|
|
du{ |
^ [| dQ (ui- 1)/dui_1 |р 7 |
|
||
|
|
|
|
|||
определяет |
набор |
положительных векторов — решений |
||||
уравнения (4.2.30). |
Вектор V1 выбирается из формулы у1 = |
|||||
= dQ (u^/du1. На |
практике |
определение |
оптимального |
|||
Кг, как правило, |
невозможно. Обычно |
ограничивают |
||||
ся проверкой нескольких возможных значений, выбран ных из близкой окрестности того значения, которое ис пользовалось на предыдущей итерации. Затем выбирает ся то Ю, которое обеспечивает наименьшее значение функции 0. Метод сводится к следующей процедуре:
1) |
выбрать ш, |
dQ (u»)/du{, |
|
2) |
определить |
у» = |
|
3) |
определить |
К», |
минимизирующее 9 (и1 — K'yi), |
4) |
вычислить |
uiHl = |
ш — К 1у'1, |
4.2] М ЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ |
СТАТИ ЧЕСКИ Х |
СИСТЕМ |
Щ |
||
5) определить |
|
|
|
|
|
„ h i |
= _ dQ(ui+1) |
|
1MB (uif l)/rfut+1|p |
, |
|
V |
tfui+1 |
'Г |
ИdQ (uydu1|p |
V ’ |
|
6) вернуться к пункту 3) и повторять вычисления до |
|||||
тех пор, пока и не перестанет заметно изменяться |
от |
||||
итерации к |
итерации. |
|
|
|
|
Пример 4.2.3. Рассмотрим снова решение системы |
|||||
линейных уравнений Аи = |
Ь. Вновь используется квадра- |
||||
тичная функция штрафа J — 0 (и) = у (Аи — b)T R (Аи — Ь).
Выберем и1, |
тогда |
у'1 — ATR (Аи1 — Ь). |
|||
Заметил!, |
что |
|
|
|
|
|
и2 = |
и1 — /c1ATR (Аи1 — Ь), |
|||
где к1 выбирается |
|
так, |
чтобы |
минимизировать |
|
/г = 0(u2) = - L (Аи1 - |
AA^RAuW + AATRb/H - Ь)т х |
||||
X R (Аи1 - |
AATRAu1/c1 |
AATRbк1— Ь) = |
|||
= [(I - AATR/P) (Аи1 - b)lTR [(I - AATRк1) (Аи1 — Ь)]. |
|||||
Легко получить |
|
|
|
|
|
/г1 |
_ |
(Au х- |
b)T R A A TR (Аи1 - Ь) |
||
|
_ (Аи1 — b)T R A A TR A A r R (A u l — b) |
||||
Таким образом, и2 определено. После этого вычисляются у2, /с2, и3, ... Можно показать, что если и — М-вектор, то процедура сходится к точнолгу решению за М шагов. Это утверждение можно отнести к любым линейным зада чам при использовании метода сопряженного градиента с квадратичной функцией штрафа. К сожалению, для нелинейных задач или произвольных функций штрафа это свойство утрачивается.
Относительно несложно показать, что задача мини
мизации при учете ограничения |
|
/ = 0 (х, u), f (х, и) = О |
(4.2.34) |
может быть решена точно так же, как и при отсутствии ограничений. Необходимо только заменить 0 (ш) функ
112 ГРАДИЕНТНЫ Е МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 1ГЛ. 4
цией Н (х», и», Я») и, конечно, добавить к системе уравне ний дополнительные соотношения
дИ (х*, и*, X1) |
дН (х\ и\ Х{) |
_ |
дк1 |
дх1 |
(4.2.35) |
~ |
решаемые на каждой итерации.
Мы начали с рассмотрения статического одношагового градиентного метода прежде всего из-за его простоты, а не только для того, чтобы подчеркнуть применение гра диентных процедур к идентификации статических объек тов. В дальнейшем мы увидим, что эти методы с минималь ными изменениями можно применять для решения много шаговых или непрерывных задач идентификации динами ческих объектов.
4.3. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Результаты предыдущего раздела могут быть легко распространены на дискретные по времени или многоша говые задачи. Сначала рассмотрим следующую функцию штрафа:
кГ 1
/ = О [X (Яу)] + 2 Ф [х (к), и (к), к]. (4.3.1)
к^=к0
Необходимо минимизировать функцию штрафа, удовлет ворив одновременно следующим ограничениям:
х ( к + 1) = ф [х(/с), и (к), А]. |
(4.3.2) |
Формально можно поставить двухточечную краевую за дачу п, определив гамильтониан
Н — <р [х (к), и (/с), Я] |
Ят(к + 1) ф [х(/с), и (А), А], |
(4.3.3) |
||||
найти оптимальное управление и (к) |
и траекторию х (к) |
|||||
с помощью следующих соотношений: |
|
|||||
дН |
— х (к |
1), |
х (ко) = х0, |
(4.3.4) |
||
ЭХ {к + 1) |
||||||
дН |
= |
М^), |
|
l ( k f) = |
дв [х (kf)] |
(4.3.5) |
дх (к) |
|
дх (к^) ’ |
||||
дН |
= |
0. |
|
|
|
(4.3.6) |
ди (к) |
|
|
|
|||
4.3] МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИ НАМ ИЧЕСКИ Х СИСТЕМ И З
Для того чтобы обойти трудности, связанные с необходи мостью аналитического решения двухточечной задачи, применим градиентный метод первого порядка. Добавим к функции штрафа (4.3.1) ограничения (4.3.2) с множи телями Лагранжа. Учитывая (4.3.3), получим
|
Д-1 |
|
|
|
|
/ |
= 0 [х (к,)] + Гтх (/с0) + |
2 |
[Н - |
Xr (k + 1) х (к + |
1)] = |
|
)£=*„ |
|
|
||
= |
0 [X (к,)] - 1 Г {к,) X (kf) + |
[Гт + |
Хт(/:0)] х (к0) + |
|
|
|
|
|
kf—i |
|
|
|
|
+ |
S [ И - Ь Т(к)х(к)}. |
(4.3.7) |
|
|
|
|
k=z=lic |
|
|
Взяв первую вариацию или первый дифференциал, по лучим
|
р е [х ( p i |
А / — [Г |
X (Л0)1 Ах (/с0) -(- . Зх(р — ^ (kf) Ах (к,) + |
-X ( к ) Ах (к) +
Положим Ах (к0) = 0, так как х (к0) ' задано. Ради про стоты выберем X и х так, чтобы
дН |
Цк,) |
дв (х (&,)] |
(4.3.8) |
Зх (к) = 4 * ), |
Зх (к^ |
В результате первый дифференциал функции J преобра зуется к виду
Д-1 |
(4.3.9) |
А / = 2 |
|
/с—л*о |
|
Для того чтобы обеспечить наискорейшее движение в на правлении минимума, выберем
<4 '3 -1 0 >
здесь К — число, которое выбирается из соображений, связанных со сходимостью. Таким образом, использо
