Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

пренебрежимо малы. При этом мы сталкиваемся с задачей оценки постоянного сигнала

Rwz (х) = Rwhii)

в присутствии гауссовского шума с нулевым средним и дис­ персией

M y) = M i W u (?)•

Тогда легко показать (Сейдж и Мелса [1271), что оптималь­

ная оценка равна

<

*а(0 =

О

Математическое ожидание выхода фильтра при этом равно Rwh (т). Если выход сглаживающего фильтра разделить на R w, его среднее значение будет h (т), т. е. та самая ве­ совая функция, которую мы пытаемся определить. Дис­ персия ошибки идентификации при этом равна

var {h(т)} = (1jRl) var (ха (t)} = Rv(0)/tRw,

По заданной дисперсии ошибки можно найти требуемую минимальную продолжительность процесса идентифи­ кации

^min > R V(0)/i?a, var ОДт)}.

Пример 2.3.1. Продемонстрируем различные источни­ ки ошибок, возникающих при идентификации, для слу­ чая h (т) = е~а^. Точное выражение для корреляционной функции выходного шума мультипликатора (2.3.17) при­ мет вид

Re (Т) = Rv (Т) RvfiD (Т) + ЛшЗ (Т, т) + Rlfiu (т) е-ау12а,

где

J е-*", — t < T < t ,

[О в противном случае.

Ясно, что второй член в этом выражении меньше осталь­ ных, так что хорошим приближением может служить

Дисперсия ошибки идентификации убывает с ростом ин­ тервала наблюдений t. Учет «собственного шума», вноси­ мого пробным сигналом, не приводит к существенным ус­ ложнениям. Снова можно использовать достаточно боль­ шое время наблюдений, выбирая R w достаточно малым, чтобы шум не влиял на нормальную работу системы.

Как уже отмечалось, периодические псевдослучайные тройные воздействия часто оказываются предпочтитель­ нее гауссовского шума, так как они легче генерируются, легче осуществляются задержка с помощью простых циф­ ровых цепей задержки и умножение с помощью простых переключательных схем двоичной логики, а также благо­ даря тому, что двоичные сигналы имеют наиболее благо­ приятное отношение среднего квадрата входного сигнала к максимальной амплитуде на входе.

Литература по идентификации содержит многочислен­ ные исследования корреляционных методов идентифика­ ции. Многие из них упомянуты в нашем библиографичес­ ком указателе. Среди наиболее содержательных — рабо­ ты Эйкхоффа [37, 38], Левина [90], Лихтенбергера [91], Линденлауба и Купера [92] и Турина [143].

2.4. ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ ПО ОТКЛИКУ НА СИНУСОИДАЛЬНЫЙ СИГНАЛ

В одном из простейших методов идентификации ли­ нейных стационарных объектов используется измерение от­ клика на синусоидальные входные воздействия. Если линейный стационарный объект с передаточной функцией

A R ( со) sin [at +cp (со)]. Здесьi? (а) — отношение амплитуды синусоидальной составляющей частоты со на выходе к амплитуде на входе, а ф (со) — сдвиг фаз между входом и

Поэтому, измеряя отклик на синусоидальный сигнал, а именно R (со) и ф (со) для ряда значений со, удается по­

30 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ и \ д . 2

лучить графики амплитуды и фазы передаточной функции (так называемые графики Боде). Наличия этих графиков достаточно для некоторых целей, например для исследо­ вания устойчивости и компенсации. При необходимости получить аналитическое выражение передаточной функ­ ции можно воспользоваться кусочно-линейной аппрокси­ мацией экспериментальной кривой (Мелса и Шульц [102]). Нередко форму передаточной функции удается опреде­ лить из общих соображений о свойствах объекта. При этом указанным методом можно легко найти ее параметры. Детали этого подхода содержатся в упомянутой работе Мелсы и Шульца [102].

Метод отклика на синусоидальный сигнал можно рас­ пространить на линейные нестационарные системы, хотя при этом он оказывается значительно сложнее простой процедуры, рассмотренной выше. Для построения соот­ ветствующего алгоритма необходимо рассмотреть «пре­ образовательный» метод для линейных нестационарных объектов. Двухстороннее преобразование Лапласа от переходной матрицы объекта, описываемого системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеет вид

ОО

Ф (s) =| § Ф (t — т) e~s(!-T)dt = (si — А)

— ОО

Фундаментальное свойство линейных стационарных объ­ ектов состоит в том, что их переходная матрица зависит только от «возраста системы» (2 — т). Для нестационар­ ных объектов эго неверно, так что переходная матрица должна быть записана в общей форме Ф (2, т). По анало­ гии с предыдущим равенством все же можно определить следующее преобразование:

(2.4.3)

— оо

Верхний предел интегрирования, можно заменить на t, поскольку

Удобно определить вектор г (t) — В (t)u (^.представляю­ щий свободные члены рассматриваемой системы

х (t) = А (t) х (t) + В (<) u (t).

Можно показать, что для вектора состояния справедливо выражение

являющееся обобщением известного матричного соотно­ шения для стационарных систем.

Важным свойством матрицы характеристик реакции системы на показательное возмущение Ф (t, /со) является то, что она удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению, решить которое проще, чем интегральное уравнение для передаточной функции системы. Кроме то­ го, она позволяет разработать перспективный подход к задаче идентификации нестационарных линейных объек­ тов. Можно показать, что эта матрица должна удовлетво­ рять линейному матричному дифференциальному урав­ нению

ф (*» Щ + I/®1 — A (t)) Ф (<, /со) = I, (2.4.5)

в котором /со рассматривается как фиксированный пара­ метр. Последнее уравнение представляет интерпретацию в терминах состояния уравнения Заде (Заде [149]) для зави­ сящих от времени частотных преобразований. Для стацио­ нарной системы

и, как уже указывалось выше,

Ф(£, /со) = [/col — А]-1.

Приведем теперь схему идентификации нестационар­ ных линейных систем, основанную на этом зависящем от времени преобразовании Заде. Воспользуемся тем фактом, что это преобразование удовлетворяет обыкновенному ли­ нейному дифференциальному уравнению, тесно связан­

82 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 1ГЛ. 2

ному с уравнением, описывающим динамику физической системы. Если рассматриваемое преобразование удается измерить, его можно подставить в это уравнение и опре­ делить его коэффициенты. С помощью алгебраических опе­ раций над этими коэффициентами можно получить выра­ жение характеристической матрицы дифференциального уравнения, описывающего неизвестную систему. Перио­ дическое повторение этой процедуры позволяет выявить изменения, происходящие в системе с течением времени (Сейдж и Чоат [119]).

Для математической формулировки задачи рассмотрим

Здесь х — /г-мерный вектор состояния, a z— скалярный выход, определяемый уравнением (2.4.8) через известные матрицы С и D. Предполагается, что по крайней мере пер­ вая компонента хг вектора х может быть определена одно­ временно с наблюдением *. m-мерный вектор входа и по­ лучается из скалярного входа и в соответствии с уравне­ нием

или ’могут быть приведены к такому виду невырожденным линейным преобразованием. Таким образом, задача иден­ тификации, сформулированная в терминах уравнения