Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

176 КВАЗИЛИНЕАРИЗАЦИЯ [ГЛ . 6

Видно, что процесс построения уг>1 (t) сводится к простым дифференциальным уравнениям с единственным началь­ ным условием yi+1 (t0).

Необходимо так выбрать yi+1 (f0), чтобы удовлетворить условиям (6.2.2). Подставив в (6.2.2) решение (6.2.5), по­

Используя эти m уравнений, можно в матричной форме получить одно линейное алгебраическое уравнение для

Yi+1 (*о)

Если условия (6.2.2) и уравнение (6.2.1) совместимы, то существует единственное решение yi+1 ((„) уравнения (6.2.12), т. е. ранг матрицы А совпадает с рангом расши­ ренной матрицы [А |Ь]. В этом случае

Значение yt+1 (t0) используется в (6.2.5) для отыскания но­ вого приближения yi+1 (t), t £Е U0>h 1. Эта траектория бу­ дет удовлетворять условиям (6.2.2), но в общем случае не является решением уравнения (6.2.1), так как получена из линеаризованного уравнения (6.2.4). Однако теперь можно

6.2] НЕПРЕРЫ ВНЫ Е СИСТЕМЫ 177

заменить у1(£) на yui (t) и повторить описанную выше про­ цедуру.

Используя эту итеративную процедуру, получаем по­ следовательность траекторий {у* (<)}, которая должна схо­ дится к решению МТКЗ. Факт сходимости может быть уста­ новлен проверкой скорости изменения у1(£„). Можно по­ казать (Веллман и Калаба [16]), что если эта процедура сходится, то сходимость является квадратической, т. е. чрезвычайно быстрой. С другой стороны, на примере легко показать, что для обеспечения сходимости обычно требу­ ется подобрать очень хорошее начальное приближение. Поэтому для формирования начального приближения в ал­ горитме квазилинеаризации часто используются градиент­ ные или аппроксимационные процедуры.

К сожалению, для любой сколько-нибудь нетривиаль­ ной практической задачи процедура квазилинеаризации предъявляет серьезные требования к объему машинной па­ мяти. Отметим, что для отыскания yi+1 (t) по yi+1 (г0) не­ обходимо найти и Qihl (!) и pi+1 (t). Допустим, что длина отрезка U0, tf] равна 10 секундам, а шаг разбиения сос­ тавляет 1/100 секунды. Тогда, если размерность у равна

существенно ослабить, воспользовавшись другой процеду­

в машинной памяти не сохраняются. Теперь все готово для того, чтобы повторить вычисления, используя улучшен­ ную оценку траектории. В этой процедуре необходимо за­ поминать только vi+1 (t), что требует хранения только 10 000 чисел. Конечно, за этот выигрыш приходится рас­ плачиваться двукратным решением уравнения (6.2.6) и

лщтельность временного интервала была равна 100 секуц*

было бы запомнить только часть этих значений (скажем, 1/10), а для заполнения пропусков использовать интерпо­ ляцию. Успешное применение подобного подхода означало бы, что первоначально было выбрано слишком мелкое раз­ биение, а проблему размерности можно было бы решить укрупнением шага. И в этом случае для решения задачи можно использовать квазилинеаризацию, хотя алгоритм должен быть несколько модифицирован.

Вместо того, чтобы искать (t), решая уравнение (6.2.5) , можно просто проинтегрировать уравнение (6.2.1) с начальным условием yi+1 (t0) из (6.2.12). В этом случае требования к объему памяти минимальны, а уравнения (6.2.6) и (6.2.8) на каждой итерации интегрируются только один раз, поэтому затраты машинного времени лишь не­ сколько превышают машинное время, необходимое для решения задачи прямыми методами.

Отсюда, казалось бы, вытекает, что этот подход пред­ почтительнее двух предыдущих. Однако это впечатление обманчиво, так как на практике построение приближений с помощью интегрирования уравнения (6.2.1) приводит к тому, что алгоритм расходится. Это легко объяснить. Если используется уравнение (6.2.5), то испытываемая траекто­ рия, удовлетворяя условиям (6.2.2), не удовлетворяет уравнению (6.2.1). Если же эта траектория получена как решение уравнения (6.2.1), то она не удовлетворяет усло­ виям (6.2.2). Если испытываемая траектория удовлетво­ ряет краевым условиям, то она совпадает в этих точках с точным решением задачи и, кроме того, в силу гладкости аппроксимирует это решение в окрестности точек задания условий. С другой стороны, если решение просто удовлет­ воряет уравнению (6.2.1), то нет никаких оснований пола­ гать, что оно совпадает с решением задачи (6.2.1), (6.2.2) хотя бы в одной точке. По этой причине обычно для вы­ числения приближений желательно пользоваться уравне­ нием (6.2.5), если объем машинной памяти это допускает.

Как уже отмечалось, одной из основных неприятностей при использовании квазилинеаризации является сильное сужение области сходимости. Поэтому для построения хорошего начального приближения часто требуется при­ менять градиентные алгоритмы или алгоритмы дифферен­ циальной аппроксимации.

Теперь ДТКЗ записана в форме уравнений (6.2.1), (6.2.2), и итеративный алгоритм ее решения можно полу­ чить, применяя квазилинеаризацию. Для этой задачи уравнения (6.2.6) и (6.2.8) приобретают вид

fii+1 (t) является 2N x 2iV-MaTpHpefi, a pi+1 (t) — 2iV-Mep- ным вектором. Представим решения этих уравнений в виде