Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

6.2] НЕПРЕРЫ ВНЫ Е СИСТЕМЫ 181

Теперь можно получить начальное условие у (tQ), исполь­ зуя уравнение (6.2.12), а потом с помощью (6.2.1) или (6.2.5) в зависимости от ограничений на объем памяти по­ строить приближение к траектории. Во многих практиче­ ских задачах идентификации матрица дГ/ду содержит много нулевых элементов, поэтому алгоритмы решения уравне­ ний (6.2.22) и (6.2.23) можно существенно упростить. Су­ ществует много вариантов рассматриваемой задачи, в ко­ торых можно использовать специфику уравнений задачи. Вместо того, чтобы обсуждать эти варианты в рамках общей постановки задачи, рассмотрим один частный случай, в ко­ тором можно добиться значительного уменьшения объема вычислений.

Предложенный выше алгоритм приводит к серьезным вычислительным трудностям, если система описывается уравнениями высокого порядка. Если рассматривается модель iV-ro порядка, то для того, чтобы из (6.2.22) полу­ чить Oi+1 (/), необходимо решить 4N2 дифференциальных уравнений. Следует помнить о том, что каждый новый идентифицируемый параметр повышает порядок модели системы по меньшей мере на единицу. Например, систему пятого порядка с пятью неизвестными параметрами можно было бы описать моделью 10-го порядка так, что уравнение (6.2.22) свелось бы к системе 400 дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае трудоем­ кость процесса вычислений якобиана дТ!ду становится решающей.

Другая трудность состоит в необходимости запомина­ ния непрерывных наблюдений ъ (t), tf. Дискретные реализации получают с выхода объекта чаще, чем непре­ рывные. Можно сразу же поставить задачу идентификации как дискретную многоточечную краевую задачу, избежав использования принципа максимума и связанного с этим увеличения размерности. К сожалению, для того, чтобы такая аппроксимация была корректной, необходимо, чтобы входной шум w был пренебрежимо мал, впрочем, это огра­ ничение не является слишком серьезным и метод может быть достаточно эффективным.

Предположим, что система, как и раньше, описывается системой iVдифференциальных уравнений первого порядка

В эту систему по-прежнему входят уравнения для неизвест­ ных параметров. Сначала предположим, что имеется т ^> N линейных наблюдений с помехой:

нулевым средним и дисперсией var {v (г;-)} = Vv (tj). Ос­ новываясь на этих наблюдениях, желательно найти оценку траектории х (t), t0 -С t <' tj, которая минимизирует сум­ му средних квадратов невязок, т. е. показатель качества

Матрица весов Q может быть произвольной неотрицатель­ но определенной матрицей, хотя для того, чтобы получить оценку по методу максимума апостериорной вероятности, мы будем часто полагать Q (f;) = Vv (ti). Отметим, что из-за отсутствия входного шума оценка траектории х (t) определяется заданием начального условия х (tQ). Можно считать Q функцией номера итерации г, хотя в книге это не сделано.

Иснова допустим, что начальная оценка траектории х1 (t) известна, необходимо определить новую оценку xi+1(i), которой соответствовало бы меньшее значение функцио­ нала J. Используя изложенный выше метод с у (t) = х (t)

иf = Г, получим

с начальным условием pi+1 (t0) = 0. Отметим, что на этот раз Q (<) имеет порядок N X N, а не 2N X 2N. Задача

В результате уравнение (6.2.34) преобразуется к виду

и повторять вычисления, пока очередные приближения не перестанут сильно меняться.

Одна из вычислительных трудностей, связанных с этим методом, состоит в вырождеиности (или плохой обуслов­ ленности) матрицы Mi+1. Это чаще всего бывает на первых шагах алгоритма, когда очередное приближение к траек­ тории все еще не является хорошей оценкой решения.

к которой и применяется последний алгоритм квазилинеа­ ризации.

В этом разделе метод квазилинеаризации применяется для решения задач идентификации непрерывных систем. В дальнейшем те же методы распространяются на дискрет­ ные системы. С точки зрения практических приложений интересные задачи часто оказываются промежуточными

Рис. 6.2.1. Блок-схема системы; пример 6.2.1.

между дискретными и непрерывными. Во всяком случае обычно реализации наблюдаемых сигналов дискретны по времени, а модели систем чаще всего непрерывны.

Пример 6.2.1. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 6.2.1. Модель системы имеет вид

х = А (0 х - f u (t),

где из физической природы объекта известно, что

Необходимо выбрать такие значения параметров а и Ь, чтобы отклик модели был близок к отклику реальной ди­ намической системы. Для решения этой задачи восполь­ зуемся методом квазилинеаризации. Запишем расширенную

систему уравнений:

К= х 2 (О ,

х2 = — 4хх (О — х3 (<) х2 (О + sin (0,8 nt),

Х3 = Xi (г),

i 4 = x6 (0 — % (0,

h = 0.

Линеаризуя эту систему относительно траектории xN для (N -f- 1)-го приближения, получим следующую линейную систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:

Y(*) = B(f)Y(f) + r(f),

Интервал наблюдения был выбран равным 10 сек. Имеется 10 равноотстоящих измерений отклика реальной системы,

хь (0) = й = 3,999989, х4 (0) = £ = 2,000535.

На самом деле параметры объекта имеют следующие зна­ чения:

а = 4, 000000, Ъ = 2,000000.