Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

Сопоставление этих результатов дает возможность судить о точности метода. Отметим, что в этом примере потребова­ лась большая априорная информация об объекте. Кроме того, переменные коэффициенты должны были удовлетво­ рять простым дифференциальным уравнениям.

Теперь будут исследованы более общие способы иден­ тификации нестационарных систем. Система описывается уравнением вида

х = f [x(f),u(<),p(0,<],

которое для небольших интервалов времени можно аппрок­ симировать уравнением

y = g [y (0 .u (0 .b>*]•

Затем на каждом из этих небольших интервалов вре­ мени идентифицируется постоянный вектор параметров Ь. Объем вычислений можно уменьшить, используя ре­ зультаты вычислений для определения текущего значе­ ния Ь.

Система, изображенная на рис. 6.2.1, была идентифи­ цирована с использованием такого «следящего» метода. Система описывается следующими уравнениями:

•^1 ~ $2i

х2 — — 4^! — ах2 + sin (0,8 nt).

Параметр а предполагается неизменяющимся для времен­ ных интервалов продолжительностью 0,1 сек. Соответству­ ющее дифференциальное уравнение

а = 0

добавляется к основным уравнениям модели, полученная система третьего порядка линеаризуется относительно траектории (xN, aN), что приводит к дифференциальному уравнению для следующего, (N + 1)-го приближения к истинной траектории

z (0 = B(t)z{t) + г (t),

188 КВАЗИ ЛИН ЕАРИ ЗАЦИЯ [ГЛ . 6

Алгоритм квазилинеаризации применяется к этой системе на временных промежутках вида (тДт Д- 0, 1), где г — 0; 0,1; 0,2; ... ; 10. Результаты идентификации сравниваются

Время

Рис. 6.2.2. Оценивание параметра a (t) (-------- истинное значение,

— о — о — квазилинеаризованная оценка).

с истинным значением параметра a(t) на графике, изобра­ женном на рис. 6.2.2. На графиках рис. 6.2.3 сопоставля­ ются отклики модели и системы.

Для широкого класса систем параметры обычно ста­ ционарной природы подвержены внешним случайным возмущениям вроде порывов ветра, колебаний нагрузки и т. п. Для того чтобы учесть эти возмущения, можно вос­ пользоваться квазилинеаризацией. Рассмотрим линейную систему второго порядка, у которой один параметр чувст­ вителен к внешним возмущениям. Возмущение появляется

вмомент времени t0. Запись процесса изображена на рис.

6.2.4.С помощью изложенного выше метода слежения по записям реализаций определяются изменения параметра.

Получены прекрасные результаты, которые отражены на рис. 6.2.5. Интересно оценить предельные возможности по детектированию резких изменений параметров. Рассмат­ риваемая система подвержена влиянию резко меняющихся

возмущений и соответствующие изменения параметра опи­ сываются последовательностью прямоугольных импульсов переменной ширины, изображенных на рис. 6.2.6. Из ри­ сунка видно, что возмущения, длительность которых сос­ тавляет около 2 сек., вызывают хорошо заметные измене­ ния параметра.

сначальным условием рш (к0) = 0.

Иснова мы видим, что задача построения yi+1 (к) сведе­ на к решению двух простых разностных уравнений с за­ данными начальными условиями. Единственный параметр

задачи у1+1 (к0). Необходимо выбрать (к0) таким, что­ бы удовлетворить условиям (6.3.2). Для этого подставим в условия (6.3.2) выражение (6.3.5)

Последнее выражение можно переписать в форме системы то линейных алгебраических уравнений

Отметим, что выражения для А и b аналогичны выраже­ ниям предыдущего раздела с заменой непрерывного вре­ мени на дискретное.

Решая уравнение (6.3.9), находим начальное условие Yi+1 (*0), по которому можно определить новое приближе­ ние к истинной траектории движения. Таким образом,

6.3] ДИСКРЕТНЫ Е СИСТЕМЫ 193

имеем итеративную процедуру для решения МТКЗ в дис­ кретной форме (6.3.1), (6.3.2). Обсуждение вопросов схо­ димости, а также блок-схему алгоритма читатель может найти в предыдущем разделе.

Применение дискретного алгоритма квазилинеаризации к решению ДТКЗ, связанной с задачей идентификации сис­ тем, не рассматривается, так как практически совпадает со схемой решения, рассмотренной для непрерывных сис­ тем в предыдущем разделе, так же, как и непосредственное применение алгоритма квазилинеаризации к идентифика­ ции систем при отсутствии входного шума. В дискретном варианте задачи вместо непрерывных моментов времени tj в уравнениях (6.2.35)—(6.2.37) следует использовать дис­ кретные моменты.

К сожалению, в дискретном случае возникают те же проблемы сходимости, что и в непрерывном. Если алго­ ритм сходится, сходимость является квадратической и до­ статочно быстрой. Однако обеспечить сходимость можно только выбором хорошего начального приближения. Один из подходов к выбору начального приближения состоит е использовании градиентных методов главы 4, так как гра­ диентные методы позволяют при умеренном расходе ма­ шинного времени и плохом начальном приближении выхо­ дить в близкую окрестность истинной траектории. Другой подход, который сводится к использованию дифференци­ альной или разностной аппроксимации, будет рассматри­ ваться в следующем раздела.

Пример 6.3.1. В этом примере алгоритм квазилинеари­ зации будет использован для оценки дискретной переда­ точной функции линейной системы по данным нормальной эксплуатации (Шульц, (1351). Рассмотрим задачу иденти­ фикации системы, изображенной на рис. 6.3.1. Ошибка

Необходимо идентифицировать постоянные параметры at, bj. Предполагается, что порядок системы известен, т. е. известны m a n , причем т ^ п. Удобно считать начальные

7 Э. п. Сейдж, Дж. Л. Мелса