Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

уравнение наблюдений

zx (к) = h [х (к), к] + vx (к).

Кроме того, также наблюдается

z2 (к) = Н (к) w (к) + v2 (к).

Здесь предполагается, что w (к), vx (к) и v2 (к) — взаимонезависнмые дискретные белые шумы с нулевыми средни­ ми и ковариационными матрицами Vw (fc), Vv, (к) и Vv, (к) соответственно. Два наблюдаемых сигнала можно описать как одно наблюдение

z (к) = h* [х (к), к] + V*(к),

где

Отметим, что теперь входной шум и ошибка измерений коррелированы. Использование алгоритмов табл. 7.3.2 приводит к следующим уравнениям для оценок:

+ г (к) Vw (к) Гт (к) - Г (к) Vw (к) Нт (к) [Н (к) Vw (к) Н? (к) +

232 ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖ ЕНИ Е [ГЛ . 7

причем

Нт (к ф- 1) Vvi (А ф- 1) Н (& ф- 1) =

__________ 9_____ Г dhT [х ( к ф - 1 | к ) , к ф- 1]

З х ( к ф - 1 I к ) _ д х ( к ф - 1 | к )

X V £ ( A + l ) { z i ( * + l ) - h [ x ( & + l | A ) , f t + l ] } .

Эти алгоритмы применяются для идентификации па­ раметров о и с линейной стохастической системы

х (к 1) = (1 ф- 0,01 а) х (к) ф- 0,015 w (к),

Ч (к) = сх (к) + пД/с),

z2 (к) = w (к) ф- v2(k).

Истинные значения параметров: а = —0,5, с = 0,8. Да­ но:

Алгоритмы табл. 7.3.2 применялись для трех разных зна­ чений var {н2}: 16, 49 и 400. Были получены отличные ре­ зультаты, показанные на рис. 7.3.2 и 7.3.3. Как и ожи­ далось, результаты идентификации «лучше» для низких значений VVl.

Пример 7.3.3. Задачу идентификации дисперсий ста­ ционарного входного шума одномерной линейной системы можно рассматривать как задачу идентификации пара­ метра а системы вида

х (к 1) = Фх (к) ф- Га1^ (&) w

z (к) = Нх (к) ф- v (к),

а (к ф- 1) = а (к),

где $ {w {к)} = 0, a var {w (к)} — 1. Величина а (к) соот­ ветствует неизвестной дисперсии w (к), а факт постоянства дисперсии описывается уравнением а(к ф -1) = а(к).

и, следовательно, алгоритм не сходится к истинному зна­ чению а. Однако если ввести обозначение

£Г‘/. (к) х (к) = у (к),

то уравнения модели перепишутся как

у (к + 1) == Фу (к) + Tw (/с),

z (к) = На1/г (к) у (к) + v (к),

а(к -J- 1) = а (к)

иалгоритмы для такой модели работают превосходно. Таким образом, мы приходим к важному выводу о том, что в задачах идентификации выбор модели имеет суще­ ственнейшее значение, особенно если конструирование алгоритмов идентификации связано с аппроксимацией.

7.4.ВЫВОДЫ

Вэтой главе рассмотрен метод инвариантного погру­ жения, который применен к решению двухточечных крае­ вых задач, возникающих в связи с идентификацией систем. Получен ряд последовательных алгоритмов оценивания состояний и параметров. Для того чтобы подчеркнуть раз­ нообразие рассмотренных вопросов и продемонстрировать применение теории, приведено несколько примеров.

Вэтой небольшой книге не нашло места упоминание о многих методах для идентификации систем как в реаль­ ном масштабе времени, так и вне контура регулирования.

Основное внимание было уделено тем методам, по которым авторами накоплен опыт их машинного использования и которые нашли широкое практическое применение. Ав­ торы приносят свои извинения тем многочисленным уче­ ным, работы которых здесь не обсуждались; многие, но, конечно, не все статьи по идентификации перечислены в

библиографии. Авторы надеются, что заинтересованный читатель найдет в библиографии полезный источник ин­ формации.

Идентификация систем представляет собой бурно раз­ вивающуюся область, в которой буквально ежедневно появляются новые частные и общие результаты и упоми­ нания о многочисленных приложениях. Вполне возможно, что ключ к решению проблемы идентификации содержится как раз в одной из неупомянутых или еще не опублико­ ванных работ. Однако авторы верят в то, что на сегодняш­ ний день в их книге представлены наиболее многообе­ щающие подходы к решению проблемы идентификации.

ЛИТЕРАТУРА

Полное перечисление библиографии потребовало бы книги по меньшей мере такого же объема. Авторы надеются, что работы, которые включены в приводимый ниже перечень, более других относятся к темам, затронутым в настоящей книге. Для того чтобы связать перечень литературы с содержанием книги, после наименования каждой статьи в квадратных скобках приводится номер главы или раздела, к которым относится цитируемый источ­ ник. Так, к первой главе отнесены все работы общего характера, ссылки на работы по классическим методам идентификации относят­ ся к различным разделам второй главы и т. д. Авторы приносят из­

7.B a l a k r i s h n a n A . V . (1968), A new computing technique in system identification, J. Comput. System Sci. 2, 102—116 [1].

8.B a l a k r i s h n a n A. Y. (1968a), Stochastic system identi­ fication techniques, Proc. Advanced Seminar Stochastic Opti­

mization and Control, 2—4 October, 1967, Madison, Wisconsin.

10.B a l a k r i s h n a n A. V., N e u s t a d t L. W., eds. (1964), Computing Methods in Optimization Problems, Academic

Press, New York [1, 4, 6, 7].

11.B a l a k r i s h a n a n A . V., P e t e r k a V., (1969), Identifi­ cation in automatic control systems; Automatica 5. 817—829 [1].

16.B e l l m a n R . E., K a l a b a R . E. (1965), Quasilinearization and Nonlinear Boundary Value Problems, Elsevier, Amsterdam

23.В г у s о n A. E., D e n h a m W. F. (1962), A steepest ascent method for solving optimum programming problems, J. Appl.

^xM ech . 29, 247-257 [4.3].

24. )B г у s о n A. E., H o Y. C. (1969), Applied Optimal Control,

order feedback method for optimal control computations, IEEE Trans. Automatic Control AC-12, 666—673 [4.3].

26.С о m e r J. P. (1964), Some stochastic approximation pro­ cedures for use in process control, Ann. Math. Statist. 35, 1136— 1146 [5].

27.С о x H. (1964), On the estimation of state variables and para­ meters for nonlinear dynamic systems, IEEE Trans. Automatic Control AC-9, 5—12 [7.4].

28.С u e n о d M., S a g e A. P. (1968), Comparison of some methods used for process identification, Automatica 4, 235—269 [1].