ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
7.3] |
ДИСКРЕТНЫ Е СИСТЕМЫ |
221 |
эту трудность можно преодолеть, тогда, если использо вать разложение в окрестности ф [х (kf), kf)], получим следующие выражения для а и ц:
а [х (kf), с, к,] = <р [х {к}), йг/] — Г [х (kf), kf] Vw (kf) |
X |
||||
|
|
5(ф_1)Т[х(А/), kf] |
|||
X Гт [х (kt), kf] |
|
дх (kf) |
(7.3.30) |
||
и |
|
|
|
|
|
Tt)lx(kf),c, kf] = |
|
|
|
|
|
_ 3(Ф~1)Т [х(Л,), Aj] |
ЭЬт [х~(А/ + |
1|/с/),А/ + |
1] |
||
dx (kf) |
|
dx (kf |
1 |kf) |
|
|
X Vy1(kf - f - 1) {z (kf + |
1) — |
h |x (kf -)- 1 1kf), kf -f- 1]} — |
|||
dhT [x (kf + |
1 |kf), |
A/ + l ] |
|
||
дх (к^ + 1 |kf) | |
dx (kf + 1 |kf) |
Vy1(kt 4- 1) X |
|||
|
|
||||
X {7,(kf 4- 1) — h [ x ( k f |
4- 1 1kf),kf 4- 1]}| |
X |
|||
X Г [x (kf), kf] Vw (kf) Гт [x (k,), kf] — |
■-T-i ^ (fcy)>/i:'] c, (7.3.31) |
||||
|
|
|
|
dx (kf) |
|
где |
|
|
|
|
|
x (kf 4- 1 1kf) = |
<p lx (k,), k/]. |
(7.3.32) |
|||
Для упрощения записи мы не будем перечислять все ар гументы в формулах (7.3.31) и (7.3.32). Из (7.3.31) и (7.3.32) легко можно получить все выражения, необходи мые для уравнений (7.3.24) и (7.3.25):
а [х (kf), 0, kf] = <р [х (kf), fy] = х (kf -f 1 1kf), (7.3.33)
да [х — Рс, с, kf] |
|
|
|
дс |
с=0 |
|
|
|
Эф Гх, к,] |
д (ф~1)т Гх, кА |
,(7.3.34) |
|
1 f - V ( k f ) - T \ WT^ — — J - Г |
||
|
дх |
дх |
|
|
Т1[X (kf), 0, kf] = М [X (kf + |
1 1kf), kf 4-1 ] |
(7.3.35) |
222 И Н ВАРИ АН ТН О Е ПОГРУЖ ЕНИЕ [ГЛ. 7
И |
|
|
|
|
|
|
Эц [х — Рс, с, к |
Э (ср_1)Т [х, kf] |
|
|
|||
ас |
с=о |
ах |
|
V(kf) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
ЭМ [х (kf + |
1 |kf), kf + |
11 |
Эф [х, kf| |
|
|
-f- |
|
|
dx |
P (*/) — |
||
|
дх (kf + 11kf) |
|
|
|
||
dM\i(kf - i - l]k f),kf + i] |
|
d ((p-!)T [x, kf] |
||||
|
|
r v wr T |
dx |
. (7.3.36) |
||
|
дх (к^ -f- 1 |к^) |
" |
|
|
||
Здесь матрица M [x (к/ |- 1 |kf), kf -)- 1] определяется как |
||||||
M] x( kf + |
l\kf), fe/ + |
l] = |
|
|
|
|
|
a 9hT fx (k, |
1 |к.), к, |
4- 1] . |
|
X |
|
|
= ------ |
f’ П |
■ V71 {kf + 1) |
|||
|
dx(kf-i-l\kf) |
|
w |
|
|
|
|
X {z (kf -f-1):— h [x {kf -J- 1 1kf), kf + |
1]}. (7.3.37) |
||||
Если теперь подставить эти выражения в уравнения
(7.3.24) и (7.3.25), получим
х (*/ + |
1) = q> [х (kf), kf] + |
|
у;1 {k} + 1} x |
||||
+ |
Р(А, + |
1) |
|
ah [ х ^ + ц ^ |
. у - ц |
||
|
|
|
|
dx (kf + 1 | |
|
|
|
|
X |
{z {к} —{—1) — h [x (kf -|- 1 1kf), kf -j- 1]}, |
(7.3.38) |
||||
|
d (Ф-1) |
т |
aM |x (kf + |
1 |kf), kf + i] |
|
||
|
|
|
|
X |
|
||
P ( * / + l ) |
dx |
|
dx (kf + 1 |kf) |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
X rvwrT |
а (ф-i)T [x, kf |
Эф [x, к |
|
|||
|
dx |
Эх |
^ P (kf) |
|
|||
|
|
|
|
|
„_1\Т |
P (kf). |
(7.3.39) |
|
|
|
|
= TVwr T d(ff>A1) ■- f |
|||
|
|
|
|
|
Эх |
Эх |
|
Если умножить справа уравнение (7.3.39) на дц>т1дх и определить Р (kf + 1 Ify) как
Р (kf + 1 1kt) = Г [i (kf), к,] Vw (kf) Гт [x (A;), kf] + |
|
^ 1УЧ/ IA |
, (7.3.40) |
* ! » <*» ‘ /1 p w |
Эх (kf) |
dx (kf) |
7.3] |
ДИСКРЕТНЫ Е СИСТЕМЫ |
2 2 3 |
то уравнение (7.3.32) перепишется в виде Р ^ + 1) =
(7.3.41)
Комбинируя уравнения (7.3.32), (7.3.37), (7.3.38), (7.3.40), (7.3.41), получим алгоритм для последовательного оце нивания х (к), если kf интерпретировать как текущее вре мя к. Начальные условия для этого алгоритма опреде ляются из (7.3.28), (7.3.29) как
Р (* о )= |
VXo, |
(7.3.42) |
х (к0) = |
рХо. |
(7.3.43) |
Последний алгоритм часто можно представить в более удоб ной форме. Если факторизовать симметрическую матрицу М [х (kf l|fc,), kf -(- 1], то можно записать
PM [х (kf -f 1 |kf), kf + 1 ] |
|
1) Vv1(A + |
1) H (A 4- 1), |
||||||
|
|
— HT(k + |
|||||||
dx {kf + 1 |kf) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.3.44) |
|
где в |
общем |
случае |
Н (к -{- |
1) |
будет |
зависеть |
от |
||
х (к -f-1 |7с) и ъ |
(к -|- 1). |
Тогда, |
используя |
лемму |
об об |
||||
ращении |
матриц, можно переписать |
уравнение |
(7.3.41) |
||||||
в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
||
Р(А + 1) = Р(А + 1 | А ) - |
|
|
|
|
|
|
|
||
— Р ( А + |
1|/с)Нт (А + 1 ) [ Н ( А + l)P(A + |
l|A)HT(ft + |
1 )+ |
||||||
|
+ |
Vv (к + |
I)]"1Н (к + |
1) Р (к + |
1 1к). |
(7.3.45) |
|||
Преимущество этой формы записи состоит в том, что тре буется обращать матрицы более низкого порядка, так как размерность наблюдения обычно ниже размерности со стояния. Главный недостаток сводится к необходимости факторизации (7.3.44), что может оказаться трудной задачей. Конечно, когда наблюдение линейно ъ (к) = = Н (к)х (к) -f v (к), факторизация (7.3.44) получается совершенно естественно.
224 |
И НВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖ ЕНИЕ |
[ГЛ. 7 |
Та б л ица 7.3.1
Дис1ретные алгоритмы инвариантного погружения |
|
|||||||||
Модель |
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х (А + |
1) = |
<р [X (А), |
к] |
+ |
Г [х (к), к] w (к) |
(3.2.1) |
|||
Модель наблюдений |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z (к) = |
h[x (к), А] + v (к) |
|
(3.2.: |
|||||
Статистические характеристики |
|
|
|
|
||||||
|
Ч {х {ко)} = рХо, |
var {х (/с0)} = VXo, |
|
|
||||||
|
% {w (А)} = Ч {V {к)} = О, |
|
|
|
||||||
|
cov (w (/с), |
w (/')} = Vw (к) 8К {к — /), |
|
|
||||||
|
cov {у (к) , |
V (/')}= v v (к) бк {к — /) |
|
|
|
|||||
Одношаговое предсказание |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
х (к + 1 |к) |
= |
ср [х {к), /с] |
|
(7.3.32) |
||||
Алгоритм фильтрации |
|
|
|
ah1 [x(/c + |
i|/c), a + ij |
|
||||
х {к + 1) = |
£ {к + |
1 1к) + |
р {к + 1 ) |
X |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
дх {к + 1 |к) |
|
|
|
X |
V-1 (fc 4- 1) {z (Л + 1) ^ |
h [х (Л -Ь 1 I А:), |
А + 1]} |
(7.3.38) |
||||||
Уравнение для априорной дисперсии |
|
|
|
|||||||
Р (А + 1 |А) = Г [£ (А), к] Vw (к) Гт [X (к), к) + |
|
|
||||||||
|
Эф [х (/с), |
/с] |
Р (А) |
ЭФТ [х (к), |
к] |
(7.3.40) |
||||
|
+ |
Эх (А) |
|
Эх (А) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение для дисперсии ошибки |
|
|
|
|||||||
р [к 4- 1) = |
ЭМ [х(А + 1 |к), к 1] |
|
" х |
|
||||||
|
Э х (А + 1 |
|
Р (А + 1 |А) |
|
||||||
|
|
|
|А) |
|
|
|
||||
|
|
|
X Р (А + |
1 |А), |
|
(7.3.41) |
||||
М[х(А+1|А), А + 1 ] |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
ЭЬ^1[ х (А+ 1 |А), |
А 4-1] |
Vy1 (А + 1) {z (А + 1) — |
|
|
||||||
|
Эх (А + |
1 |А) |
|
|
|
|||||
|
|
|
— h [х (А + |
1 |А), |
А + |
1]} |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.3] |
ДИСКРЕТНЫ Е |
СИСТЕМЫ |
225 |
|
Таблица 7.3.1 (продолжение) |
||
Другие уравнения для дисперсии ошибки |
|
||
р (к + 1) = Р (к + 1 |к) — Р (к + 1 |к) Нт {к + 1) X |
|
||
X [Н (к + 1) Р (к + 1 |к) Нт (А + 1) + Vv (к + 1 )]- X |
|
||
|
Х Н (А + 1 )Р (А + 1|А), |
(7.3.45) |
|
Щ [х (А + 1 I к), А + 1] ■= Нт (к + 1) V ;1 (к + 1) Н (к + 1) |
|||
дх (к +1 |
] к) |
|
|
Начальные условия |
|
|
|
|
£(*<>>=и*.. |
P(*») = v Xo |
|
Для удобства все основанные на инвариантном погру жении алгоритмы идентификации дискретных систем по максимуму апостериорной вероятности сведены в табл. 7.3.1. Использование этих алгоритмов иллюстрируется следующим примером.
Пример 7.3.1. Рассмотрим дискретную аппроксима цию неидеального колебательного контура, характери зуемого отклонением x(t), скоростью г (t), декрементом затухания d, собственной частотой 5 рад!сек, положением равновесия 12,5 и аддитивным входным шумом w (t). Соответствующее непрерывное уравнение имеет вид
х -f- 10 с2ф -f- 25 х = 12,5 -|- w (t)
Дискретная аппроксимация приводит к нелинейной си стеме третьего порядка:
х (k -f-1) = х (к) + Тг (к),
г (к -(- 1) = —25 Тх (к) -}- [1—10 Td (А:)] г (к) -f- + 12,5 Т + T w (к),
d (к -f 1) = d {к),
z {к) = х (к) -f- v (к).
Используя табл. 7.3.1, приходим к алгоритмам последо вательного оценивания
* (к Н- 1) = х (к) + Тг (к) + 2TVfVn (к + 1 )[z (к + 1) -
— Цк) — Тг(к)],
