Файл: Сейдж Э.П. Идентификация систем управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 131

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

226

 

ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖ ЕНИЕ

 

[ГЛ. 7

г (А +

1) =

2ЪТх (А) + f (А) -

10Td (к) г (к) +

12,57’ +

 

 

+ 2TV?Vn (к + 1) [г (А + 1) -

i

(А) - Гг (к)},

а (А +

1) = а (А) + 2TV?Vn(k + 1)[Z (к + 1 ) - £

(А) — Гг(А)1,

 

Рп (А + 1 1А) = Рп (к) + 2ГР21(к) + Г2Р22(А),

Рп ( к + 1

1А) = --2 5 Г P u (A) + [l-Ю Г a (A )-2 5 Г 2]P 21(A )-

- ЮГг (к) Р31 (к) + 11 - юга (А)] ГР 22 (к) -

ЮГ2г (А) Р32 (А),

 

 

Р31(A -j- 1 1А) =

7J31(А) -|- ТР32(А),

 

Р 22(А + 1

1А) = 625Г 2Р П (А) -

5071[1 - 10ГЗ (А)] Р 21(А) |-

+500TV (А) Р31 (к) + [1 - юга (А)]2Р22(А) -

—20Гг (А) [1 — ю г а (А)] Р32(А) +

+100Г2а (А) г (А) Р33(А) + V',, (А),

(А +

1 1А) =

- 25ГР31 (А) + [1 -

ЮГа (А)] Р32(А) -

 

 

Раз(А +

1 1А) — Рзз (А),

 

 

 

— ЮГг (А) Р33(А),

 

 

 

 

 

 

 

 

Рц (А +

1) =

Рп (А +

1 |A) Fo (А +

1)

 

 

 

 

 

Pn(A +

l|A) + KB(A + i)

 

 

 

 

 

Р 2i ( A + l ) =

Ря(А + 1|А) F„(A +

1)

 

 

 

 

 

Pu(A +

l| A )+ VB( k + 1)

’

 

 

 

 

Pn(k

 

1)

Р81(А + 1|А)7„(А +

1)

 

 

 

 

 

 

i'n (A +

1 I A) + Vv (A + 1)

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P22 (A +1) — P22 (A +

1 |A) --

 

^я(А + 1|А)

 

V ’ v ( k +

l ' n ( k

+ i

] k )

+

 

 

 

 

 

P32 (A +

1) — P32(A -f- 1 1A) —

P31 (A +

1 |А) Р

п (A +

1 I A)

’

 

 

 

 

 

Pn(A +

l|A) +

Vo(A +

l)

P зз (A +

1) =

P33(A -f- 1 1A) —

 

ph (A +

1 I k)

 

 

•

Pn(A4- l | A ) - l - K l)(A + l)

Отметим, что, воспользовавшись симметричностью мат­ рицы дисперсий ошибки, мы исключили три уравнения из девяти. Па рис. 7,3.1 представлены результаты

7.3] ДИСКРЕТНЫ Е СИСТЕМЫ 2 27

вычислений для случая,

когда

 

2

1

1

1

о

V x 0 = 1 2

1 . М х .=

о

1

1

2

0

и Vv = Vw = 20, Т — 0,002. Видно, что оценки вектора состояния и параметра d (к) сходятся к истинным зна­ чениям быстрее, чем за один период собственных ко­ лебаний.

Во многих практических задачах идентификации вход­ ной шум w и ошибка измерений v коррелированы. Часто

Р ис. 7.3 .1 . Совместное оцепивание траектории и параметров системы второго порядка с ш умами.

это связано со способом математического описания си­ стемы, а не с корреляцией реальных помех. Так бывает тогда, когда наблюдаются искаженные помехами входные сигналы или когда наблюдаемые величины содержат кор­ релированный шум.

Прямой метод решения задачи с коррелированными помехами состоит в преобразовании исходной задачи к задаче с некоррелированными шумами. Рассмотрим

228

ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖ ЕНИЕ

[ГЛ . 7

следующую

модель

формирования

входного

сигнала:

 

х (А +

1) =

ср [х (А), А] +

Г (к) w (к)

(7.3.46)

и модель наблюдений

 

 

 

 

z (к) =

h [х (к), к] +

v (к).

(7.3.47)

Простоты ради предполагается, что Г не является функ­ цией х (к). Как обычно, w(A) и v (к) — дискретные белые шумы с нулевым средним с ковариационными матрицами Vw (к) и Уу (к). Однако теперь уже не предполагается, что v (к) и w (к) независимы, а именно:

cov {w (к), V (;)} = Vwv (к) дК (к — /).

(7.3.48)

Для того чтобы устранить корреляцию входного шума и ошибки измерений, перепишем (7.3.46) в следующем виде:

х ( к -f 1) = ф[х(А),А] +

+ Г (к) w (к) -)- К ? (к) [z(к) — h [х (к), к] — v (А:)]. (7.3.49)

Теперь запишем (7.3.49) как

х (к 4-1) = ф* [х (к), А] 4- w* (к) 4- К р(к) z (к), (7.3.50)

где

Ф* [х (к), А] = ф [х (к), к] — К р(к) h [х (к), к] (7.3.51)

и

w* (к) = Г (Л) w (к) - Кр (к) V (к). (7.3.52)

По-прежнему w* (к) — белый шум с нулевым средним и матрицей ковариации

cov {W* (к), w* (])}= [Г (к) Уw (А:) Гт (к) - Г (к) Vwv (A:) K j (А) - - Кр (к) V L (к) Гт (А) + Кр (к) Vv (к) К рт(А)] 6К (к - /).

(7.3.53)

Б общем случае w* (к) коррелировано с v (к). Однако корреляцию между w* (к) и у (к) можно устранить соот­ ветствующим выбором К р (А). Чтобы показать это, необ­ ходимо рассмотреть ковариацию между w* (А) и v (А):

cov {w* (А), у (А)} = Г (A) Vvw (А) — К р(A) Vv (А).

7.3]

ДИСКРЕТНЫ Е СИСТЕМЫ

229

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

 

 

Д искретны е алгоритм ы

ин вари ан тн ого

п огруж ения

 

для коррелированны х

входны х ш ум ов и ош ибок измерений

М одель

входного сигнала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (ft - f - 1) == cp [x (ft),

ft]

+

Г w

(ft)

 

 

(7.3.46)

М одель

наблюдений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z (ft) =

h

[x

(ft),

ft]

+

v

(ft)

 

 

 

(7.3.47)

Априорная статистика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цх (*о) = И'х0>

 

 

 

V x (/co)=VXo,

 

 

 

 

Hw (к) —°>

cov ( wW ' w (/)} = V w (ft) 6К (к — /),

pv (/с) =

°>

cov (v (к)> v (/)} =

v v

6к (fc — /);

co v { w { к ) , x { к о ) } =

o ,

cov {v ( к ) , w

( / ) } =

V v (v (ft) 8K (ft —

/')

 

Алгоритм фильтрации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(ft +

l ) = x ( f t

+ l|ft)

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

К (ft +

1) {z

(ft +

1) —

h

[ x (ft +

1 |ft),

ft +

1]}

Однош аговое

предсказание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (ft +

1 1 ft) =

 

 

 

 

 

 

 

= cp [ £ (ft),

ft] + Г V wv

(ft) V '1 (ft) {z (ft) -

h [£ (ft),

ft]}

 

Уравнение для

коэффициента усиления

 

 

 

 

 

К (ft +

1) = P (ft +1)

dh г

[ х

(ft +

1

I ft),

ft + 1]

v ; 1(ft +

11 ft)

—

dx (ft

i , Tl,

 

 

-v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 |ft)

 

 

 

 

 

 

Уравнение для

априорной дисперсии ош ибки

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (ft -f-1 |ft) =

 

 

 

 

 

 

 

: <p * (ft) P (ft) q>*T (ft) Г +

г v w (ft) r T -

Vwv (ft) v ; 1 (ft) v vw (ft) r T

Уравнение для

дисперсии ош ибки

 

 

 

 

 

 

 

 

P(ft + l) = P(ft+l|ft)_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— Р (ft + 1 |ft) Нт (ft +

1) [H (ft +

1) P (ft +

11ft) HT (ft +

1) +

 

 

 

 

+

v v (ft + 11 ft)Г

H (ft +

1) p (ft +

1 1ft)

2 3 0 ИНВАРИАНТНОЕ ПОГРУЖ ЕНИЕ [ГЛ. 7

 

 

Т а б л и ц а

 

7.3.2

(продолженыг)

Матричные уравнения ддк передаточной функции и наблю-

депий

!кр [х (к), к]

 

 

 

 

 

<Р* ( * ) -

г v„v m V №|*-.>8|Ч г <‘ >; 4 ,

я- '

 

дх (к)

 

 

 

 

д х (/с)

 

нт (к + 1) V-1{к + 1 |к) Н (к + 1) =

 

 

д

3hT [х(/с +

1 U),

к +

1]

 

дх (к + 1 |к)

Зх(/с +

1|/г)

А

X v ; 1 (к + 1 |к) {г (к p i ) - h [ £ ( A

+

l|fc),

А + 1]}

Начальные условия

 

 

 

 

 

 

х (0) =

цХп, Vx ( 0 ) = V Xo

 

 

Если положить

 

 

 

 

 

 

Кр (к) =

Г (к) Vvw (к) V '1 (к),

 

(7.3.54)

то видно, что cov ("w* (к), v (к)} = 0 и получается экви­ валентная исходной задача с некоррелированными шу­ мами, для решения которой можно воспользоваться ал­ горитмом из табл. 7.3.1. В результате получаются алгорит­ мы решения задач с коррелированными шумами, которые сведены в табл. 7.3.2. Заметим, что при известном входном сигнале z (к) в уравнении (7.3.50) одношаговый прогноз имеет вид

х (к + 1 j к) = <р* [х (к), к\ + Кр(к) z (к). -(7.3.55)

Полученный результат можно распространить на слу­ чай, когда средние значения или дисперсии неизвестны (Сейдж и Гуса [122]; Сейдж [117]; Сейдж и Уэйкфилд [129]). Существует практически неограниченное множе­ ство вариантов и комбинаций различных моделей и соот­ ветствующих им алгоритмов. Рассмотрим простые при­ меры применения этих идей к решению задач идентифи­ кации.

Пример 7.3.2. Рассмотрим задачу идентификации объ­ екта, когда наблюдение входного сигнала искажено поме­ хой. Модель входного сигнала

х (к + 1) = <р [х (к), к) + Г (к) w (к),

Смотрите также файлы