ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 0
26 ГЛАВА II
материальной точкой) не может находиться внутри зем ного шара (рис. 2).
Прежде чем приступить к изучению орбит, позвольте мне предупредить читателя: современная небесная ме ханика — весьма сложный предмет, и я собираюсь из ложить лишь некоторые ее положения, необходимые для
Р H с. 2. Возможные п невозможные эллиптические орбиты.
понимания методов космической астрономии. Итак, на чиная исследование орбит, мы должны вычислить потен циал сил тяготения н проверить основную гипотезу о том, что при подобных расчетах Землю можно считать притягивающей материальной точкой.
Мы знаем, что сила притяжения тела с массой М,
действующая на тело с массой т, представляется |
векто |
||||||
ром F, направленным от массы m к массе |
М. |
Величина |
|||||
этой |
силы равна GMin/r2-; |
поэтому можно |
написать |
||||
|
„ |
= |
GMm |
|
|
|
, , , |
|
b |
- 7 ? - u , |
|
|
|
(1) |
|
где |
u — единичный вектор |
направления от |
m |
к M, |
G — |
||
постоянная всемирного |
тяготения, |
г — расстояние между |
|||||
m и |
M. |
|
|
|
|
|
|
Известно, что сила |
тяготения |
обладает |
потенциалом, |
||||
т. е. в окрестности массы |
M эта сила зависит |
только от |
|||||
И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ |
СПУТНИКИ |
КАК НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА |
27 |
координат выбранной |
точки и |
равна |
|
F = — m grad V |
(2) |
||
(пли — m W , если использовать символ «набла» вместо grad), где V — скаляр, называемый гравитационным по тенциалом массы М, величина которого в любой точке определяется равенством
|
|
|
|
|
(3) |
Равенства |
(1) или (2) |
совместно |
с |
(3), в ы р а ж а ю т |
закон |
всемирного |
тяготения |
Ньютона. |
|
Д л я величины |
GM$ |
Международным астрономическим союзом в 1964 г.
принято значение 398,603 км3 /с |
( М ш обозначает |
массу |
|||
З е м л и ) . |
|
|
|
|
|
|
2. Потенциал |
сферического тела |
|
|
|
Потенциал нескольких притягивающих масс, распо |
|||||
ложенных |
в различных |
точках, |
находится |
скалярным |
|
слоокением |
потенциалов |
отдельных тел, тогда |
как |
соот |
|
ветствующие силы суммируются |
как векторы. |
Поэтому |
|||
если требуется вычислить потенциал в некоторой |
точке |
||||
или силу, действующую на тело |
с массой m в какой-ли |
||||
бо точке, |
удобнее использовать |
скалярный Потенциал, а |
|||
не векторные силы, поскольку сложение векторов — бо лее сложная операция, чем сложение скаляров.
Таким образом, |
для |
определения движения спутника |
|||
в поле |
тяготения Земли |
(не |
являющейся в |
действитель |
|
ности |
материальной |
точкой) |
нам следует |
просуммиро |
|
вать потенциалы бесконечно малых частей притягиваю
щего |
тела: |
|
(4) |
Д л я |
вычисления интеграла (4) распространенного по |
всему объему сферы, выберем элемент объема так, как
показано на рис. 3, разбивая сферу |
на концентрические |
|
слои. Элемент массы равен |
|
|
dm = |і (Я) Я 2 s i n e d0 |
dydR, |
(5) |
28 ГЛЛВЛ II
где u ( ^ ) |
— м а с с а единицы объема |
(плотность). |
Следо |
||
вательно, |
потенциал |
шарового слоя |
толщиной dR |
в точ |
|
ке Р равен |
|
|
|
|
|
|
|
л |
2л |
|
|
|
V = — G\dQ\dq\L{R)Rs^-dR. |
|
(6) |
||
|
о |
|
о |
|
|
Используя очевидное геометрическое соотношение
г2 = х2+ |
R*-2Rxcosd, |
(7) |
запишем |
|
|
rdr |
= xRs'mQdQ |
(8) |
и' выполним Интегрирование. Равенство (6) |
приводится |
|
к виду |
|
|
V = - o f |
f n (R)R ^ ^ d R . |
(9) |
При интегрировании x и R считаются постоянными; сле довательно, потенциал шарового слоя толщиной dR с центром в О равен
2л |
гь |
( Ѳ = л > 4 |
|
|
V = - G - J - n # ) { |
га |
\ |
drdydR. |
(10) |
0 |
(0=0) |
|
|
|
Выбор способа вычисления интеграла зависит от того, внутри или вне сферы радиуса R находится точка Р. В нашем «астрономическом» случае точка Р является внешней. Тогда
га = х— R,
rb = |
x+R |
и, следовательно,
V = - 4 л О ц ( Я ) - Ç - r f f l = - ô / n (/?)-§-. |
(11) |
Сравнивая это выражение с (3), мы видим, что получи лась такая формула, как если бы вся масса шарового слоя ô/?z была сосредоточена в центре О. Это выражение справедливо для всех шаровых слоев данной сферы, если предположить, что плотность зависит только от расстоя-
И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ КАК |
НЕБЕСНЫЕ |
ТЕЛЛ |
29 |
и и я от центра О (предположение не слишком |
грубое |
для |
|
Земли, по крайней мере в первом |
приближении) . |
|
|
Таким образом, в первом приближении мы можем рассматривать движение спутника Земли как движение
точки с малой массой |
под влиянием |
притяжения дру |
гой точечной массы М®, |
расположенной |
в центре Земли . |
Р и с . 3. Вычисление потенциала сферы на внешнюю точку.
К сожалению (или к счастью) для высокоточных астрономических наблюдений этого приближения недо статочно. Следовательно, мы вынуждены изучать воз мущения такого движения . Это изучение даст нам цен ную информацию о возмущающих силах; поэтому иссле дование динамики движения спутника представляет большой интерес. Позднее мы вернемся к этой пробле ме (стр. 41).
Однако, перед тем как сформулировать задачи, с ко торыми на практике сталкиваются специалисты, изучаю щие движение спутников, полезно для оценки величин, с которыми приходится иметь дело, рассмотреть не сколько простых задач .
|
3. Численное исследование простого случая |
|
|
круговой |
орбиты |
Предыдущий анализ показывает, что в качестве пер |
||
вого |
приближения при исследовании движения спутни |
|
ков |
можно принять задачу |
о движении двух точечных |
масс. Круговые орбиты составляют семейство возможных
30 ГЛАВА ГI
орбит, и с их помощью можно оценить порядки неко торых величин. Следует отметить при этом, что боль шинство реальных орбит почти круговые: так как ра диус Земли ~7000 км, то у орбиты с высотой апогея
- Hl гоЭ)
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
ІдЛ(Лвкм) |
|
||
Р и с . |
4. |
Периоды обращения па околоземных |
круговых |
орбитах. |
||||||||
По оси |
ординат — логарифм |
периода |
(в |
часах), |
по |
осп |
абсцисс — |
|||||
|
|
логарифм расстояния |
от центра |
Земли |
(в км). |
|
|
|||||
700 |
км |
и |
перигея |
350 |
км |
эксцентриситет |
очень |
мал: |
||||
е = |
0,025. |
Поэтому |
во |
многих |
практических |
случаях |
||||||
круговая орбита является достаточно хорошим прибли
жением |
реальной |
орбиты. |
|
|
|
|
Период Р и большая |
полуось |
орбиты а (т. е. радиус |
||||
круговой |
орбиты) |
связаны |
I I I законом |
Кеплера: |
||
|
|
|
GM. |
® = c o n s t |
|
|
|
|
Р2 |
Ал2 |
|
||
или |
|
|
|
|
|
(12) |
|
|
Р = 2л (GM®)-'h |
а \ |
|||
И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ КАК НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА |
31 |
Р и с . |
5. Характеристики круговых орбит. |
П о оси |
абсцисс — |
высота |
|||||
над |
поверхностью |
Земли |
(в км), |
по |
оси |
ординат — характеристиче |
|||
ская |
и круговая |
скорости |
ѵ к |
а р |
и ѵ к |
ѵ у г |
(слева), |
видимая |
угловая |
|
скорость О В И Д ; |
на |
правой |
шкале — период Р. |
|
||||
На |
круговой орбите |
величина скорости |
ѵ (модуль |
век |
|||
тора |
скорости) постоянна |
и равна |
|
|
|
||
|
|
vKpyr |
= |
(GM&fa-4*. |
|
(13) |
|
На |
рис. 4 и 5 приведены зависимости периода и |
ско |
|||||
рости |
от расстояния. |
Заметим, |
что |
стационарному |
|||