ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 112
Скачиваний: 0
32 |
ГЛАВА II |
спутнику |
(т. с. постоянно находящемуся над одноіі и |
той лее точкой поверхности Земли; такой спутник запус кается в плоскости экватора в сторону вращения Зем ли) соответствует расстояние от центра Земли до спут ника:
а = 42 160 км.
Следует отметить, что если плоскость орбиты такого спутника немного наклонена к плоскости экватора, то с
Земли |
будет |
казаться, что он |
совершает |
движение над |
||
одним |
и те ж е меридианом к северу |
и к |
югу от |
эквато |
||
ра. Добавим, что любое случайное |
отклонение |
орбиты |
||||
от круговой |
приведет"к тому, |
что |
скорость, |
согласно |
||
закону площадей ( I I закон Кеплера), будет изменяться вдоль траектории: такой спутник будет казаться дви гающимся по кривой, похожей на восьмерку. Форма этой кривой очень чувствительна к возмущениям, изме няющим орбиту. Эволюции ее представляют большой интерес: наблюдая за ними можно, в частности, устано вить эллиптичность экватора Земли .
При а = 384 400 км (среднее расстояние от Земли до Луны) период равен 27 сут 12 ч, что соответствует лун ному месяцу, если принять массу Лупы равной пулю; учитывая, что в действительности масса Луны ко нечна, получим
P = 2K(M@ + M(Lr'l:ahG-'l> |
(14) |
и легко найдем, что период равен 27 сут 7 |
ч 7 |
мин. Это |
|||||
очень |
близко к |
действительному |
значению |
27 |
сут |
||
7 ч 43 |
мин. |
|
|
|
|
|
|
Мы |
уже говорили, что низкие спутники |
(к |
ним |
от |
|||
носятся все широко известные спутники) движутся |
по |
||||||
почти |
круговым орбитам. На рис. 5 |
приведены |
значения |
||||
параметров строго |
круговых |
орбит |
низких |
спутников: |
|||
периода, круговой |
скорости, |
максимальной |
видимой |
уг |
|||
ловой скорости, — и величина и х а р , смысл которой бу дет выяснен ниже (стр. 69). Заметим, что видимая ско
рость |
спутника (например, |
в градусах в |
секунду време |
ни) |
убывает значительно |
быстрее, чем |
круговая ско |
рость. |
|
|
|
И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ |
КАК Н Е Б Е С Н Ы Е ТЕЛА |
33 |
4. Некруговые кеплеровские орбиты |
|
|
искусственных |
спутников |
|
Не приступая пока к изучению возмущении, состав ляющих основную цель исследования движения спутни
ков, обобщим полученные ранее |
результаты |
на случай |
||
некруговых орбит и |
найдем |
условия выведения |
спутни |
|
ка на орбиту. |
|
|
|
|
В общем случае орбиты искусственных спутников не |
||||
являются круговыми, |
хотя, |
как |
отмечалось |
выше, их |
Перигей |
Апогей |
Р и с. 6. Параметры, определяющие орбиту.
эксцентриситеты очень малы, так что они близки к кру
говым. Оставаясь |
в рамках кеплеровской задачи двух |
тел, предположим |
пока, что орбиты характеризуются |
лишь двумя параметрами: периодом и высотой перигея пли высотами перигея и апогея. В одной из точек этой орбиты происходит выведение спутника по окончании
полета |
ракеты-носителя. Величина и |
направление ско |
рости в |
этой точке полностью определяют орбиту. На |
|
чальную |
скорость и положение точки |
выведения можно |
принять в качестве исходных параметров |
(рис. 6). |
|
Напомним здесь ряд хорошо известных |
результатов |
|
теории кеплеровского движения. |
|
|
П р е ж д е всего, если точка выведения |
на |
орбиту ле |
жит на поверхности Земли и если в этой |
точке скорость |
|
не направлена строго горизонтально или по величине меньше круговой, то орбита обязательно пересечет по верхность Земли в другой точке (вследствие симметрии
2 Зак. 518
34 |
|
ГЛАВА II |
|
эллипса относительно |
большой осп), п |
дальнейший по |
|
лет будет невозможен; |
следовательно, |
точка выведения |
|
должна |
располагаться |
над земной поверхностью. Мы |
|
увидим |
дальше, что спутник выводится |
в точку выхода |
|
на орбиту по промежуточной «переходной» орбите с ис пользованием негравитационных сил.
Ясно, что при очень большой начальной скорости ап парат может выйти из гравитационного поля Земли и удалиться в «бесконечность» (т. е. в данном случае ока заться в поле тяготения Солнца) . Напротив, если на чальная скорость невелика, то аппарат вернется на Зем
лю, |
поскольку «перицентр» * эллиптического |
движения |
|
лежит «ниже поверхности», т. е. внутри |
Земли. |
|
|
|
Более того, отметим, что в этом случае |
(типичном |
|
для |
баллистики) можно вообще не |
пользоваться ре |
|
зультатами астрономической задачи двух тел, а считать
«поле тяготения» однородным в окрестности |
точки |
||||||||
старта. |
При таком |
предположении |
траектория |
оказы |
|||||
вается |
параболой. |
Точность этого |
приближения |
опре |
|||||
деляется точностью, с какой поверхность Земли |
можно |
||||||||
считать |
плоскостью. |
|
|
|
|
|
ѵ0 < |
|
|
Когда скорость |
недостаточна |
(Ѵ0 = |
я/2, |
у к р у Г ) |
|||||
или направлена |
негорпзонталыіо |
(Ѵо<.л/2), |
мы |
имеем |
|||||
дело с задачей |
баллистики, |
рассматривающей, например, |
|||||||
движение снарядов. Можно |
вычислить, |
на |
каком рас |
||||||
стоянии** от точки старта снаряд упадет на Землю . Вы
числения проще |
провести, |
используя |
законы |
Кеплера. |
||||
Из |
хорошо известного |
выражения |
|
(27), приведенного |
||||
ниже, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ffi0 = |
п |
, |
I — а г |
sin2 |
К 0 |
/ , г > |
|
|
2arccos |
- ( 2 - а 2 |
) а 2 sin* Ко |
(15) |
|||
|
|
™ |
|
V1 |
|
|||
где |
а |
определяется равенством |
|
|
|
|||
|
|
|
a = |
ü ( A W - |
|
|
(16) |
|
* В небесной механике термином «перигей» обозначают точку орбиты, ближайшую к центру Земли, а не к какой-либо точке ее поверхности. Поэтому более общий термин «перицентр» в данном случае эквивалентен термину «перигей». — Прим. ред.
** В данном |
случае имеется в виду угловое расстояние, т |
е. |
угол между направлениями из центра Земли в точки старта и |
па |
|
дения. — Прим. |
перев. |
|
|
И С К У С С Т В Е Н Н ЫЕ СПУТНИКИ КАК НЕБЕСНЫЕ ТЕЛА |
35 |
||||
Максимальное расстояние достигается при |
|
|||||
и его значение |
равно |
|
|
|
||
|
|
|
|
а2 |
|
|
|
|
|
Фо, ...к = = 2 |
a r e s i n - g ^ ö - . |
(18) |
|
Вернемся |
к |
кеплеровекпм орбитам |
спутников. |
Тип |
||
орбиты |
характеризуется |
значением |
постоянной |
энер |
||
гии Іѵ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = v \ - 2 G - £ - . |
|
(19) |
|
Если h |
^ 0 |
(гиперболические |
или параболические |
орби |
||
ты), то орбита аппарата незамкнута. Направление ско
рости на бесконечности зависит от направления |
началь |
|||||
ной |
скорости *, |
а величина ее |
зависит только |
от |
значе |
|
ния |
начальной |
скорости. |
Д л я |
параболической |
орбиты |
|
скорость на бесконечности |
равна нулю, для |
гиперболи |
||||
ческой эта скорость равна квадратному корню из по стоянной энергии:
|
|
|
|
v „ = v J \ - 2 G ^ - f . |
|
|
(20) |
|||||
|
|
|
|
|
|
\ |
|
и ог о / |
|
|
|
|
При h |
< |
0 орбита |
является |
эллипсом, |
который |
опреде |
||||||
ляется |
величинами |
V0 , г0, |
ѵ0 |
(вывод этих хорошо |
извест |
|||||||
ных соотношений |
интересующийся читатель может най |
|||||||||||
ти в учебниках, где излагается теория конических сече |
||||||||||||
ний, пли |
в курсах |
механики). |
|
|
|
|
||||||
Большая |
полуось |
эллипса |
равна |
|
|
|
||||||
|
|
а |
= |
- |
С |
^ |
= Ш |
ѳ / ( |
2 ^ |
- 4 |
(21 |
|
а период |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = |
2л |
[GM®)'/j |
а% = |
2nGM® |
[—yf- |
- |
vö) |
. (22) |
||||
Эксцентриситет |
e |
находится |
из соотношения |
|
|
|||||||
* А |
также |
ее |
численного значения. — Прим. |
ред. |
|
|
||||||
2*
36 |
|
ГЛАВА II |
|
|
|
|
где |
С — постоянная |
площадей, входящая |
во |
второй за |
||
кон |
Кеплера: |
|
|
|
|
|
|
С = |
= |
const = |
r0 o0 sin V0. |
|
(24) |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
' - ' - |
О 9 |
' • ^ |
- • s j |
- |
<*> |
|
^ ( |
|||||
Концы большой осп находятся па следующих расстоя
ниях от фокуса: |
|
|
|
|
г„ип = |
а ( 1 — е), |
/-,„„ = а ( 1 + |
е) |
(26) |
и называются соответственно перигеем |
п апогеем |
ор |
||
биты. |
|
|
|
|
Теперь изучим |
движение |
спутника по |
эллиптической |
|
орбите. Положение спутника па орбите удобно описы
вать в |
полярных |
координатах |
г и |
ср |
(этот угол |
назы |
||||||
вается |
«истинной |
аномалией») |
*. |
Связь между |
этими |
|||||||
координатами |
задается |
соотношением |
|
|
|
|||||||
|
|
|
г = |
п |
( 1 |
~ е |
2 |
) |
. |
|
( 9 7 |
) |
|
|
|
|
I + |
е cos |
ф |
|
|
ѵ ~ |
' |
||
Величины /• и |
ср являются |
функциями |
времени, а |
вели |
||||||||
чина скорости |
и находится |
из |
равенства: |
|
|
|||||||
0 = |
( О у М е ) ' А ( | - - 1 ) , / а . |
(28) |
|||
Реальная эллиптическая |
орбита |
должна |
удовлетворять |
||
еще одному условию |
(первое |
условие h < |
0) : |
||
гтщ |
= |
а(1 - |
е ) > |
/?ф , |
(29) |
обеспечивающему движение спутника над поверхностью Земли.
Полагая |
заданным |
r0 = |
R$-\-Ha, |
где |
/ 7 0 — в ы с о т а |
|||||
точки |
выведения спутника, |
и считая переменными толь |
||||||||
ко ѵ0 |
и |
Ѵо, мы получим двухпараметрнческое |
семейство |
|||||||
кривых, |
достаточно |
просто |
описывающих |
возможные |
||||||
орбиты. |
г0 — |
R&, то |
|
|
|
|
|
|
||
Если |
из |
первого |
условия, |
которому |
||||||
должна |
удовлетворять |
орбита, следует: |
|
|
||||||
|
|
о 0 |
< |
V2GMq/R@ |
= 1 1 , 2 |
км/с = |
ѵр< о |
|
||
* Он отсчптывается от направления на перигеи. — Прим. перео.