Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

Вращение вокруг прямой, перпендикулярной плоскости проекций

Имеем, (рис. 45) две плоскости проекций чсх и чт2 ; плос­

кость уровня р2 ; ось вращения г и ее проекциюі ;вращае —

мую точку М и es проекцию Ait . Вращение фигуры вокруг

оси, перпендикулярной плоскости проекций, представляет со ­ бой плоскопараллельное перемещение относительно этой плос­ кости.

Таким образом, остается справедливой соответствующая теорема. Кроме того, при повороте фигуры на угол ср гори — зонтальные проекции ее точек тоже поворачиваются на угол

¥•

Пример 1. Определить вращением натуральную величину

отрезка AB (рис. 46).

ходящую через точку А (4^= / ) . Вращаем отрезок до поло - жения фронтали. Фронтальная проекция его дает натуральную

вместе с прямой Af , приводим в вертикальное положение р.

27

Прямая At B1 будет горизонтальной проекцией фроятапи А В. Пример 3. Построить фронтальную проекцию а ' тонки А ,

лежащей в плоскости Р , зная положение проекции а, ( рис. 48). (Задача и обозначения Казаря - на Р.А.) На чертеже не показа­ ны ось проекций и точки.

Сместим плоскость Р по н а ­ правлению горизонтального сле­ да, пока соответствующая точка а не попадет на фронтальный след плоскости нового положе - ния. Затем плоскость возвратим в прежнее положение. Это дает возможность построить фронталь­

ную проекцию а ' . После этого строится ось проекций х .

Вращение вокруг линии уровня

Методом вращения вокруг линии уровня решается задача определения натуральной величины плоской фигуры.

При вращении точки вокруг линии уровня одна из проек - тгстй окружности представляет собой эллипс (рис. 49).

Метод применяется для определения натуральной величины плоской фигуры, так как отпадает необходимость строить эллипсы. К решению остальных задач этот метод обычно не применяется из - за трудностей, возникающих при постро­ ении эллипсов.

Пример. Определить натуральную ве­

личину треугольника вращением его во - крут горизонтали (рйс. 30).

Решение задачи основано на рассмотрении родства полей АГВ} Cf в. Ät B}Cf. Для построения точки Cf предварительно стро­

ится натуральная величина радиуса вращения r Qточки О .

28

Осью родства служит прямая Ai Bf. Построение точки Е

эьшолняется, как построение точки, родственной точке Е ,

§ 2. АКСОНОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАТУРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

В пространстве задается натуральная система координат

(координатные отрезки дают координатную ломаную). Проекционноеизображение натуральной системы коорди­

нат называется аксонометрической системой координат. Про­ екции натуральных масштабов - аксонометрическими масшта­ бами.

Чертеж фигуры, отнесенной к натуральной системе коор­ динат вместе с аксонометрической системой координат;, н а —

29

В параллельной проекции положение осей и их масштабы выбираются произвольно, так как всегда найдется в пространстве натуральная система координат и такое направление проецирования, Что данные отрезки будут ее про­ екциями. В этом и состоит значе­ ние теоремы Польке. В теореме не говорится о длине натураль - ных масштабов, т.е. если попыта­ емся реконструировать чертеж, то получим фигуру, подобную данной.

Отсюда следует вывод: по задан­ ной аксонометрической системе

координат всегда можно найти тот натуральный масштаб ,

который изображен на данном чертеже. Эта единица окажет­ ся не.-ра&ной единице эпюра Монжа вп Ф ем , поэтому изобра­

жение предмета при произвольно выбранной аксонометричес­ кой системе получается с точностью до подобия. Коэффиди —

ем

Схема построения аксонометрического чертежа:

1.В пространстве задается (выбирается) натуральная си­ стема координат, связанная с изображаемым предметом.

2.Выбираются характерные точки предмета, определяю -

щие его форму.

3. Осуществляется координация характерных точек пред - мета.

4. Задается аксонометрическая система координат.

5. Натуральные координаты характерных точек переводят­ ся в аксонометрические.

6. По аксонометрическим координатам точек строятся их изображения.

7. По изображениям точек дорисовывается(с помощью ин­ струментов) изображение предмета.

Пример (рис. 54). Дан эпюр Монжа детали. Построить аксонометрию.

31

Задаемся прямоугольной системой координат (совершен - но произвольно) и произвольно - масштабами. Приучаем ак­ сонометрию детали (рис. 65).

Прямоугольная аксонометрия

Теорема. Польке для прямоугольной аксонометрии неверна. Это значит, что произвольно выбрать оси и масштабы нель­ зя.

Основные теоремы прямоугольной аксонометрии (рис. 56). Плоскость проекций выбирается так, чтобы она пересекла положительное направление осей. Треугольник АВС—тре — угольник следов.

Рис. 56

32

угол В00 >90 , так как угод В00 больше утла В 00 .

4. Рассмотрим угол 00 В . Он прямой, потому что речь идет о прямоугольном проецировании. Получаем, что в тре -

угольнике 0 ОБ сумма двух углов больше 180 . Точка 0 не может быть вне треугольника. Не может она находиться и

на границе, например, в положении 0**, так как тогда в

УX

треугольнике 0 0В имеется два прямых угла, что невозмож­ но. Значит, проекция точки 0 расположена внутри треуголъ — ника.

Вторая теорема. Аксонометрические оси в прямоугольной аксонометрии образуют тупые утлы.

Справедливость данной теоремы вытекает из формулы о

проецировании произвольного и прямого угла

л

cos х ' у ' = - igoi tg |Ь .

Третья теорема. Аксонометрические оси являются высо­ тами треугольника следов.

Эта теорема является следствием теоремы о трех перпен­

дикулярах: проекция на­

клонной, перпендикуляр -

ной к. прямой,, перпенди -

кулярна к этой прямой

(рис. 67):

tn JLtt —>- r n r 1 f t .

Четвертая теорема;

Треугольник следов -

Рис. 57

остроугольный треуголь­ ник.

33

34