Файл: Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие.pdf

вариантности простых отношений трех точек для всех прямо­

только дуги эллипсов, но и дуги гипербол и парабол. Линии 5 и с могут быть пространственными и симметричными от­

носительно плоскости ААгА'А’.

Рассмотрим другой способ конструирования поверхности с постоянными дискриминантами (рис. 262).

Зададимся ломаной AMNC и точкой В . Затем строим ду­ ги эллипсов AB и ВС , ааклю — ченные между сопряженными полудиаметрами 01A t О,В я 02 В ,

02 С Рассекая направляющие а , Ь , сс однопараметрическим

множеством плоскостей оС/__ по­ лучаем тройки точек А 1%В ' ,

С' ...» которые с исходными тремя точками А , В , С аире -

Рис. 262 деяжют мгновенные линейные преобразования Г ... В сиду со ­

хранения при мгновенных преобразованиях параллелизма пря­ мых можно в любой плоскости or' построить обвод, соответственный обводу АВС , составленный из дуг эллипсов, за —

ключедных между сопряженными подудиаметрами о]A 7, o'f В '

и 02 В \ 0 2 С'.

Рассмотренным способом можно строить поверхности с любым однолараметряческим множеством плоских сечений лри любой форме направляющих а , Ь , с , лишь бы эти на -

168

правляющпе не лежали в одной плоскости. Дискриминанты

В некоторых случаях обводы поверхностей можно констру­ ировать путем аппроксимации сложных по форме направляю - щих линий обводами дуг. Например, если меридиан A B по -

верхности вращения с осью г (рис. 263) заменить с хорошим приближением обводом дуг кривых второго порядка А С , СП , П В с общими касательными на стыках t с и tр . то поверх -

ность вращения меридиана AB будет с хорошим приближени -

ем сконструирована как обвод трех стыков поверхностей вра­ щения четвертого порядка с меридианами АС , СП и П В и об­

щей осью 2 .

Другим примером может служить аппроксимация коничес­ кой поверхности с вершиной S и направляющей *тг обводом

конических поверхностей второго порядка (рігс. 264). Для этого достаточно аппроксимировать направляющую «т, обво - дом дуг кривых второго порядка А С , СП , ПВ с общими ка —

сательными на стыках.

Рис. 264

Построение обводов линейчатых поверхностей можно ба­ зировать на следующих предложениях:

1. Касательные к параллельным сечениям косой линейча­ той поверхности в точках ее прямолинейной образующей обра­ зуют косую плоскость (гиперболический параболоид).

Справедливость этого предложения доказывается следую­ щим образом. Возьмем на линейчатой поверхности две обра­ зующие 1 и 2 и пересечем их параллельными плоскостями

169

В силу указанных выше свойств секущих заключаем,что они представляют собой семейство прямолинейных обрадую - пщх косой плоскости. При перемещении образующей 2 по по­ верхности к положению образующей 1 секущие все время бу­ дут определять поверхности косых плоскостей. Верно это бу­ дет и в пределе, когда секущие перейдут в касательные к параллельным сечениям косой линейчатой поверхности.

2.Две косые линейчатые поверхности второго порядка

Фf и Ф 2, имеющие две точки соприкосновения, расположен­ ные на общей их прямолинейной образующей, соприкасаются по этой прямой.

Доказывается это так. В силу наличия двух точек сопри-

косяовения поверхности Ф и Ф пересекаются по двум кри — выы второго порядка. Общая образу юная является хордой то­ чек соприкосновения, а значит* она входит в состав обеих кривых пересечения. Поэтому, являясь двойной прямой, она будет прямой соприкосновения поверхностей.3

3. Две косые линейчатые поверхности Ф>' и Ф 2, имеющие две точки касания, расположенные на общей прямолинейной образующей, соприкасаются по этой прямой.

В соответствии с предложением 1 касательные в точке

общей образующей к параллельным сечениям поверхностей

Ф ти Ф 2 образуют две косые плоскости. Эти плоскости по условию имеют две точки соприкосновения. Следовательно, их общая образующая является для них прямой содрихосно — вения. По этой же прямой будут соприкасаться и линейча -

тые поверхности Ф 1 к Ф 2.

Пример. Построить гладкий обвод линейчатых по зерхно - стей, соприкасающийся с косой линейчатой поверхностью Ф 1

ж плоскостью ф до ограничивающим их прямым I и I (рис. 265).

170

Рассекаем поверхность Ф 1н плоскость Ф параллельными

плоскостями ос и . Получаем на поверхности Ф 1сечения

М І и М'\' , а на

плоскости ф ' —пря —

мне ZN и L'N', Стро­

им в концах 1, 1/ ли­

Рис. 266

каем с прямой NL д у ­

гой кривой второго порядка. Аналогичным образом гладко

замыкаем дугой кривой второго порядка линию М'\' и пря —

мую Ь 'N1. Некоторой плоскостью, параллельной плоскости

Ф , рассекаем дуги 1N и 1 N в точках 2 и 2 . Любая

косая линейчатая поверхность Ф , надстроенная над дуга —

косую линейчатую поверхность Ф 3 с плоскостью параллелизма . Поверхности Ф 2 д е р з будут соприкасаться по об­

разующей 2 2; , а поверхность Ф 3 с плоскостью Ф ^ - во

всех точках образующей N N ',

Некоторые технические поверхности целесообразно стро — ить как обводы, составленные из отсеков конических поверх­ ностей второго порядка.

Пример. Построить гладкий пространственный обвод по — верхности, опирающийся на ломаную пинию ABCBEFGHt верши­ ны которой поочередно расположены в двух параллельных плоскостях.

171

Проведем плоскость у , расположенную между плоскостя­ ми а: и ß и отстоящую от них на равных расстояниях. Пусть плоскость ^ пересекает от­

В г С , Л , Е , F ,G .

В силу гладкости обвода, построенного в плоскости # .смеж ­ ные конические поверхности BM N , CA/L , Е P Q , FQ R t Д £ Р и

& R S будут иметь общие касательные плоскости по их общим образующим. Таким образом, совокупность этих конических поверхностей определяет гладкий обвод поверхности, опираю­ щейся на заданную ломаную (исключением являются только вершины этой ломаной).

При построении обводов поверхностей может возникнуть необходимость, чтобы пространственный обвод не только проходил через наперед заданные точки и линии, но и сопри­ касался бы с наперед заданными плоскостями или поверхно­ стями.

Рассмотрим решение соответствующих задач, когда в об­ вод входят отсеки поверхностей второго порядка. Известно, что поверхность второго порядка определяется девятью усло­ виями. Поэтому, если задать в пространстве две плоскости ос и j2>и потребовать, чтобы поверхность второго порядка

рядка, удовлетворяющих этим требованиям. В качестве седь­ мого условия можно задать еще одну касательную плоскость $ . Однако задать в этой плоскости точку касания С нельзя,

\12