Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.06.2024
Просмотров: 131
Скачиваний: 0
ИВ CCO POSCP
Томский ордена Трудового Красного"Знамени государственный университет имени В.В.Куйбышева
АЛ.К0РИК0В
М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Е |
М Е Т О Д Ы |
|
П Л А Н И Р О В А Н И Я |
Э К С П Е Р И М Е Н Т А |
|
Учебное |
пособие |
|
Издательство Томского университета
ТОА«СК - 1 9 7 3
чат. з ш ,
Под редакцией профессора доктора В.П.Тарасенко
C J Издательство Томского университета, 1973
-ь- 3
П Р Е Д И С Л О В И Е
Настоящее учебное поссче написано на освовь однои
менного курса лекций, прочитанногс автором студ.ятам спе
циальности 0647 - "пргкладная математика" Томского универ ситета в 1971 году и студентам специальности 0б4о - "авто
матизированные системы управления" Томского института ав томатизированных систем управления и радиоэлектроники в 1972 году. Из обширного круга вопросов, рассматриваемых теорией эксперимента, мы избрали те, которые могут ока- ?аться полезными как при разработке автоматизированных систем управления технологическими процессами: нахождение адекватных математических моделей технологических процес
сов и поиск оптимальных условий протекания процессов, так
и при разработке автоматизированных систем организацион ного управления.
Вопросы, рассмотренные в настоящем учебном пособии, могно н-Зтй в многочисленной специальной литературе (мо нографиях и статьях)..Однако до сих пор остро ощущается недостаток в учебной литературе. Это и послужило поводом для написания настоящей книги.
Учебное пособие состоит из введения и десяти глав, раздпенных на две части. В первой части (главы I - УП) излагаются методы планированияэксперимента, основанные
— А —
на оптимальном использовании пространства назавнсншх п е ременных. ?ти методы пригодны как для отыскания оптимальных условий протекания процесса, так и для получения его адекватного математического описания. Во второй части по собия (главы УШ - X) рассматриваются методы исследования, основанные на изучении рассеивания. Эти методы направлены на извлечение существенно интересной информации из просто го и, на первый взгляд, казалось бы, неприятного обстоя тельства, что результаты наблюдений оказываются рассеян ными.
Мы предполагаем, что читатель знаком с основами теории вероятностей и математической статистики и тлеет некоторое представление о линейной алгебре.
Искушенному в теории эксперимента исследователю можно
читать настоящую книгу выборочно, ориентируясь по оглавленга^. Если читатель решил изучить основы планирования экспе
риментов, руководствуясь данным учебным пособием, |
то мы с о |
||||||
ветуем |
ему изучать |
материал |
книги последовательно, начиная |
||||
с в в е д е н и я . |
Для экспериментатора, взявшего |
в руки |
|||||
настоящую книгу с целью привлечения методов планирования |
|||||||
для решения интересующей его |
задачи, последоватзльность |
||||||
чтения книги з а в и с и т |
от |
этой задачи. Так, |
н а п р и |
||||
м е р , |
если задача |
заключается в |
отыскании |
оптимальных р е |
|||
жимов протекания технологкческих |
процессов, |
то мы рекомен |
|||||
дуем чте:ше в следующем порядке: введение, глгвы 1,П,Ш; |
|||||||
если же задача заключается |
в нахождении адекватной матема- |
-5 -
•таческсй подели процесса, то рекомендуется следующая послеЛоватьльность чтения: введение, главы УП,У,1,П,Ш.
Пользуясь случаем, автор выражает благодарность кол
лективам отдела кибернетики 05ТИ и кафедры ОАСУ ТЙАСУРа и особенно доценту Ф.П.Тарасенко, профессору В.П.Тарасенко, доценту Л.И. Губану, доценту В.С.Трусову, советы и замеча ния которых не толы:о способствовали улучшению содержания, но вызшли появление самой книга.
В В Е Д Е Н И Е |
|
|
§ B - I . П р е д м е т |
к у р с а |
" М а т е м а т и |
ч е с к и е |
м е т о д ы |
п л а н и р о в а |
н и я |
э к с п е р и м е н т а |
|
Математические методы |
планирования |
эксперимента - это |
новый кибернетический подход к инженерным исследованиям,
имеющим экспериментальный характер, В Советском Союзе этот
подход интенсивно развивается с I 9 6 0 года.
Что нового вносят эти методы в 'практическую деятель
ность инженера»исследователя?
Внедрение математических методов планирования экспери
мента позволяет в значительной степени исключить слепой ха
отеческий поиск, так называемый метод "ползучего" эмпириз
ма}; заменить его научно обоснованной программой проведения
экспериментального исследования, включающей объективную
оценку результатов эксперимента на всех последовательных
. этапах исследования.
Трудно дать короткое определение планированию экспери
мента. Задачи поиска оптимальных условий протекания процес
сов оптимальных составов различных веществ, выявление наи
более влияющих факторов, отыскание механизма процессов -
вот "только начало того списка задач, которыми занимается
планирование эксперимента. Даже при неполном знании о меха
i
нязме процесса путем направленного эксперимента южно по
лучись его м а т е м а т и ч е с к у ю м о д е л ь ,
включающую наиболее влияющие факторы независимо от их физи
ческой природы. Такая математическая модель может быть с
успехом использована для управления процессом л нахождения
необходимых режимов работы.
Задачи поиска оптимальных условие является одниги жа
наиболее распространенных научно-технических задач. Они
возникает в тот момент, когда установлена возможность про
ведения процесса и нужно найти наилучше (оптимальные в не
котором сдасле) условия его реализации. Пусть, например, у
химика возникла гипотеза о том, что при взаимодействии двух
веществ должен получаться некоторый интересуиций его про
дукт. Возможно, что ему повезло и он получил требуемый про
дукт. Однако выход продукта низок, пусть, например, 2 & Вот
тут-то и возникает задача выбора оптимальных условий. Тре
буется так подобрать концентрации реагирующих веществ,тем
пературу, давление, время реакции и другие факторы, чтобы
сделать выход близким к 1 0 0 % . В данном примере находятся
условия проведения процесса, оптимальные в смысле максими
зации выхода, требуемого продукта, но найденные условия ока
зались бы другими, если бы ставилась, например, задача ми
нимизации себестоимости продукта. Бужно всегда четко форму
лировать, в каком смысле условия должна быть оптимальными. -
Этим определяется выбор цели исследования.
Практически можно сказать, что там, где есть экспери
мент, имеет место и наука о его проведении - планирование
эксперимента. Как обработать априорную лнфорлащга, сколь
ко и каких опытов надо провести, как обработать результа
ты |- на эти и подобные вопросы планирование эксперимента дает ответ'. При планировании эксперимента используются ма- тематико-статистические методы для получения и исследова ния моделей процессов взамен интуитивных приемов экспери ментирования*
Таким образом,задача, которой занимается планирование
эксперимента, может быть сформулирована так: "Сколько и
каких опытов следует провести и как обработать их результа
ты, чтобы ответить на заранее заданный вопрос с |
заранее за |
||||
данной точностью при минимальном возможном числе |
опытов". |
||||
Эта вечная" для экспериментатора |
задача, |
которая |
решалась |
||
обычно чисто интуитивными методами, теперь поставлена |
на |
||||
научную |
основу* |
|
|
|
|
§ В-2. О с н о в н ы е |
о п р е д е л е н и я |
|
|||
Нам предстоит рассматривать |
терминологию на п,. |
• |
|||
нии всей книги, но некоторые наиболее |
общие термины собра |
||||
ны в этом параграфе. |
|
|
|
|
|
Под |
э к с п е р и м е н т о м ' м ы |
будем понимать |
сово |
купность действий, к которым приходится обращаться, чтобы
задавать природе интересующие нас вопросы. Эта совокупность может быть весьма сложной, но ее всегда можно разлЪжнть на отдельные элементы,, каждый из которых да называем о п ы -
Т 9 М.
Большинство исследований связано с экспериментом. Он
-9 -
проводится в лабораториях, на производстве, на опытных полях и участках, в клиниках и т . д . Эксперимент может быть физическим, психологическим или модельным. Он может непосредственно проводиться на объекте или на его модели.
Определим еще ряд важных понятий, первое* из которых -
" о б ъ е к т |
и с с л е д о в а н и я " . |
|
Для описания объекта исследования удобно пользоваться |
||
представлением о |
кибернетической системе, которая схемати |
|
чески изображена |
на рис.-B.I. |
черный
ящик
Рис.В.1
Иногда такую кибернетическую систему называют "черным
ящпком". Стрелки справа изображают численные характеристи
ки целей |
исследования. Мы обозначаем их через |
у. , j |
= 1,2, |
||
. . . , t n . |
, и на протяжении большей части книги |
будем |
назы |
||
вать |
п а р а м е т р а м и |
о п т и м и з а ц и и . |
Их |
||
называют |
также критерий оптимизации, целевая |
функция, вн- |
|||
осод "черного ящика" и т . д . |
|
|
|
||
Для проведения эксперимента необходимо иметь возмож |
|||||
ность |
воздействовать на поведение "черного ящика". |
Все |
|
- |
10 - |
|
|
|
способы |
такого воздействия ш |
обозначаем |
через |
х . , I = |
I » |
2 , . . . , |
К ж называем ф а к т о р а м и . |
Их называют |
так |
||
же независимыми переменшш и входами "черного |
ящика". |
|
|||
При решении задачи будем использовать |
математические |
модели объекта лсследования. Здесь под математической мо делью ш понимаем уравнение, связыващез параметр оптими зации с факторами. Это уравнение в общем виде можно запи сать так:
£ - Ч > |
(*, , эс 2 , ... , х £ ) . |
|
|
Такая функция называется |
ф у н к ц и е й |
о т к л и к а . |
|
Поверхность, являющуюся геометрическга образом функции |
|||
отклика, называют |
п о в е р х н о с т ь ю |
о т к л и к а , |
|
В самом общем случае, |
когда исследование |
ведется при |
|
неполном знании механизма |
изучаемых яглений, |
естественно |
считать аналитическое выражение е&ункции неизвестным. Поэ
тому приходится ограничиваться представлением ее полино-
^ - |
1 < J |
J |
^ - « ; |
( B . I ) |
||
с теоретическими |
|
к о э ф ф и ц и е н т а м и |
р е г |
|||
р е с с и и fro |
» |
' |
» |
J 4 i »••• |
Разложение |
функции |
в степенной ряд |
эквивалентно |
представлению ее рядом Тей- |