Файл: Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.06.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

- 1 1

-

 

!Ь

1

ft

1

 

Пользуясь результатами эксперимента, ножно определять

только

в ы б о р о ч н ы е

к о э ф ф и ц и е н т ы

р е г р

е с

с и и

"6в « " 6 и »

,

которые яв ­

ляются лишь оценками для теоретических коэффициентов рег­

рессии. Уравнение регрессии, полученное на основании опы­

та,

залжется так

 

 

^ ••-

 

Ц-^а+ТЬгХь

+ ТЪ,;

X, - +Т_

0 . . Х 2

+ . . . ,

 

 

 

i

 

 

(В.2)

где

\j - значение

выхода, предсказанное

уравненвеы ( у -

выборочная

оценка для <j ).

 

 

 

 

Здесь

заметим,

что согласно

существующей в

математи­

ческой статистике традиции параметры генеральной совокуп­ ности обозначают греческими буквами, а их выборочные оцен­ ки - латинскими буквами. Например, выборочная дисперсия

обозначается

s 1 , генеральная

-

б 1 .

Иногда,

впрочем,

обо­

значения выборочных

значений снабжает

также

специальным

 

 

 

А

 

 

 

 

значком - крышечкой,

например

* 1

. Таким образом, под

т е ­

оретическими

коэффициентами регрессии

в формуле ( B . I )

с л е ­

дует понимать те коэффициенты регрессии, которые можно бы­ ло бы получать для некоторой генеральной совокупности, с о ­ стоящей иг всех мысленных опытов.

План эксперимента, позволяющий вычислить коэффициенты

 

 

 

-

м

~

 

 

линейного уравнения регрессии,

называют

п л а н о м

д е р в о г о

п о р я д к а .

 

 

 

П л а н

в т о р о г о

 

п о р я д к а

- это план

эксперимента, позволяющий вычислить коэффициенты полного

уравнения регресии второй

степени.

 

 

 

Теперь уже понятно, что план эксперимента,

позволяю­

щий вычислить

коэффициенты полного

уравнения регрессии

К -ой

степени,

будет п л а н о м

К - го

п о р я д к а .

Соответствие математической модели объекта эксперимен­

тальным данным называют

а д е к в а т н о с т ь ю .

Координатное пространство, на осях которого отклады­

вают

значения

исследуемых

факторов,

называют

ф а к т о р ­

н ы м

п р о с т р а н с т в о м .

Иногда

под

факторным

пространством погашается пространство, образованное осями факторов и осью параметра оптимизации.

 

Каждый фактор может принимать в опыте одно из

несколь­

ких

значений. Такие значения будем называть

у р

о в н я -

м и

. Может оказаться, что фактор способен

принимать бес ­

конечно много значений. Однако на практике точность, с ко­ торой устанавливается некоторое значение, не беспредельна.

Поэтому мы вправе считать, что всякий фактор имеет опреде­

ленное число дискретных уровней. Это соглашение существен­ но облегчает построение "черного ящика" и эксперимента и упрощает оценку их сложности.

Фиксированный набор уровней факторов определяет одно

из возможных с о с т о я н и й "черного ящика". Одновре-

- 12) -

мбнно это есть условия проведения одного из возможных опы­ тов. Если перебрать все возможные наборы состояний, то мы

получим полное множество различных состояний данного "ящи­ ка". Одновременно это букет число возможных различных опы­ тов.

Естественно считать, что число различных

состояний оп­

ределяет с л о ж н о с т ь

данной системы.

Чтобы узнать

возможное число различных состояний, достаточно число уров­ ней факторов (если оно для всех факторов одинаково) возвес­

ти в степень числа факторов Ч : р , где р - число уровней.

Если число уровней различных факторов различно, например,

р. - число

уровней

фактора

х ^ ,

то число различных состо

яний равно

произведению р,

р г . ; .

р ^ .

При планировании

эксперимента

не безразлично, какими

свойствами обладает объект исследования. Укажем два основ­ ных требования, с которыми приходится считаться. Прежде

всего

важна степень

в о с п р о и з в о д и м о с т и

 

р е з

у л ь т а т о в .

Если наблвдать объект в одном

и

том ке состоянии в различные моменты времени, то разница в наблюдениях не должна превышать некоторого заданного зна­ чения. В эхом случае объект удовлетворяет требованию вос­ производимости.

Различают эксперимент активный и

пассивный.

А к т и в ­

н ы й

э к с п е р и м е н т

- это

эксперимент,

планиро­

вание и анализ которого основаны на математике-статистиче­ ских методах. Эксперимент, в котором математико-статисти-

;сскне aseroAa ясяользуют только для обработка результатов,

называет

п а с с и в н в м

э к с п е р и м е н т о м .

' При проведение активного эксперимента важной характе­

ристикой

объекта является

у п р а в л я е м о с т ь .

Управляемым будем называть такой объект, который экспери­ ментатор может по своему желанию перевести в любое из раз -

личимнх состояний и поддерживать в этом состоянии с задан­ ной точностью заданное время.

§ В--3. О с н о в н ы е

м е т о д о л о г и ч е ­

с к и е

к о н ц е п ц и и

Здесь мы дадим некоторое представление об основных

оощеметодологических концепциях, которые вневла математи­ ческая статистика в теорию эксперимента.

К о н ц е п ц и и

р а н д о м и з а ц и и

Математическая статистика внесла концепцию случая

(рандомизации) в

эксперимент, заставила исследователя

и с к у с с т в е

н н о

создавать случайную ситуацию в

эксперименте. Эта концепция послужила толчком к развитию работ по планированию выборок и позднее к развитию работ по планированию эксперимента. Программу эксперимент*, стали составлять так, чтобы равдомизировать ( т . е . сделать случайными) те систематически действующие факторы, кото­ рые трудно поддаются учету и контролю, с тем, чтобы мож­ но было рассматривать их как случайные величины и, следо­ вательно, учитывать их статистически.

Таким образом, рандомизация - это способ включения

- 1 5 -

неизвестных или не интересующих исследователя систематиче­

ских ошибок в число случайных ошибок, к которым применимы законы теории вероятностей и математической статистики.

Проводят рандомизацию, как правило, следующим образом:

все опыты нумеруют, а затем устанавливают очередность их экспериментальной реализации таким образом, чтобы она была случайной^

Полная рандомизация не всегда оказывается возможной.

Как,например, рандомизировать во времени эксперимент, если

исследователю нужно последовательно выполнить несколько циклов, состоящих из четырех опытов, а в день он может по­ ставить только по три опыта? Появилась потребность в созда­ нии рандошзированных экспериментальных планов с ограниче­ ниями, наложенными на рандомизацию. Так появились неполноблочные сбалансированные планы, латинские и греко-латинс­

кие квадраты. Подробнее

об этих планах будет сказано в

§ 8 - 5 .

 

 

К о н ц е п ц и я

о п т и м а л ь н о г о

и с ­

п о л ь з о в а н и я

ф а к т о р н о г о

п р о . -

с т р а н с т в а

Оптимальное использование факторного пространства одна

из тех принципиально новых идей, которые внесла математи­

ческая статистика в теорию эксперимента. Проиллюстрируем

эту идею совсем простым примером - задачей, о взвешивании

трех объектов А, 3 , С. Традиционно исследователь стал бы

взвешивать эти объекты по схеме, приведенной в табл.В.1.

И s i

 

A

 

 

 

 

i

,•

-

I

2

i

+

I

з

i

-

I

4 j

-

I

 

 

 

1 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица B . I

!

 

В

!

с

j

Результат

!

 

!

j

взвешивания

!

 

 

1

 

i

-

I

1

- 1

 

 

i

 

 

!

"

1

i•

- 1

l

*

i

+ 1

!

- 1

1

Ъс1

1

1

 

- 1

1

+ 1

i

Чг

 

•

Ь

 

 

 

i

 

 

 

В этой таблице

+ 1 указывает,

что объект взвешивания

поло­

жен ва весы, - I

указывает на

отсутствие объекта на

весах.

Вначале производится "холостое" взвешивание и тем самым

определяется нулевая точка весов, а затем по очереди взве­

шивается каждый из объектов. Это пример традиционно исполь­

зуемого о д н о ф а к т о р н о г о эксперимента. Гйесь

исследователь изучает поведение каждого фактора в отдель­ ности. Вес каждого объекта оценивается только по результа­ там двух опытов: того опыта, где на весы был положен изу­ чавши объект, ж холостого опыта.

Например, вес объекта А равен

А- ¥," % •

•Дисперсия результатов взвешивания запишется в виде

где (5 | ^ ^ошибки взвешивания.

- , Проведем теперь тот же эксперимент по несколько иной схеме, задаваемой теперь уже матрицей планирования, приведенной в табл.В.2. Здесь в первых трех опытах последова­

тельно взвешиваются объекты А, В, С, в последнем опыте

Смотрите также файлы