Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 114
Скачиваний: 1
где iSJ > О, S2> 0, т. e.
■ ■ , . , |
, ( Ьъ T «2 , / Ьх - , a |
хі + Уі = {х0і + у 0] ) + 8 Л - ~ - і — - £ ■ } } + sa\ — - £ i + д !) |
|
Приравнивая коэффициенты при единичных ортах i, j, получим формулы (23). Следовательно, множество решении системы (21) представляет множество точек, находящихся внутри угла между
векторами а, Ь, что было непосредственно установлено выше.
Пример 5. Решить систему неравенств
С у — * + 1 > О, |
|
|
|
|
\ 2л- - у - |
3 > 0. |
|
|
|
Р е ш е н » е. Решая неравенства относительно у, получим |
|
|
|
|
|
у > А' — 1, у < 2а — 3, |
|||
|
о т к у д а |
|
|
|
|
а' — 1 < 2х — 3, X > 2. |
|||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
2 < X |
< + |
к ., |
|
|
X— 1 < у < 2а' —3 |
|||
|
(черт. 38). |
|
|
|
|
Если решить неравенства от |
|||
|
носителыю а, |
то получим |
||
|
X < у+1, |
|
|
у - 3 |
|
X |
> —g— ’ |
||
|
откуда |
|
|
|
|
JL+A < у + 1, |
у > 1, |
||
|
поэтому |
|
|
|
|
1 < у < -ь |
«г, |
||
|
у 4- 3 < X < |
у -г |
||
Пример 6. Решить систему неравенств |
|
|
|
|
j 2х —у |
1 < О, |
|
|
|
1 9х - ?у—2 < 0. |
|
|
|
|
Р е щ е н и е. Решая неравенства относительно у, имеем |
|
................ : |
||
у > 2а -j- 1, |
2 |
|
|
|
у > З.г — -g-. |
|
|
|
|
Решение относительно а также приводит к неравенствам одинакового смыс-
|
|
|
|
2 |
> |
2х • |
I, откуда |
5 |
, |
|
|
|
|
З.ѵ—-3 |
д: > - j |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
2.ѵ ■+ 1>откуда |
5 |
|
||
|
|
|
Зх — -g- |
|
х < - j . |
|||||
Таким образом, решение системы неравенств будет |
|
|||||||||
2 |
если |
.V> |
5 |
|
|
|
|
|
||
у > З.ѵ — -g-, |
-g- ; |
|
|
|
|
|||||
у > 2.ѵ + |
1, |
если X < -у |
|
|
|
|
|
|||
(черт. 39). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7. Решить систему |
|
|
|
|
|
|||||
( 2.ѵ — 3у + 6 Г- О, |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
л- - |
3 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е и и е. |
Система |
определяет |
|
|
|
|||||
часть плоскости, лежашую левее пря |
|
|
|
|||||||
мой -V—3—0 и |
ниже прямой 2.ѵ—3у + |
|
|
|
||||||
+ 6—0, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■V' . |
3, |
у ■ |
2.ѵ у 6 |
|
|
|
|
|
||
Решение можно представить в дру |
|
|
|
|||||||
гом пнде, имеем |
|
3// — 6 |
|
|
|
|
|
|
||
X ■ 3, |
д |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
> |
|
|
|
|
|
|||
Зи — 6 |
< |
3, |
т. |
е. |
у < 4 |
и |
|
|
|
|
откуда —^2---- |
|
|
|
|||||||
окончательно |
|
Зу — 6 |
|
|
|
|
|
|
||
< у < 4, |
л- < 3. |
|
|
|
|
|||||
Пример 8. Система неравенств |
|
|
|
3_ |
||||||
|
( 2.ѵ -f 2у + |
3 > 0, |
|
|
|
|||||
|
НЛП |
|
|
' 2 ’ |
||||||
|
{ |
|
X + у + |
1 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
У |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
определяет верхнюю полуплоскость относительно прямой .ѵ+у—й=0. |
||||||||||
Система неравенств |
|
/ 2а + |
2у + 3 |
.. 0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
не имеет решений. |
|
|
|
{ |
X |
і - у — 1 |
> |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 9. Решить систему неравенств |
|
|
(24) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
•V— ï y -P 1 |
< |
0, |
||
|
|
|
|
|
|
2.ѵ — у — 1 |
< |
0, |
(25) |
|
|
|
|
|
|
|
X — у + 1 |
> 0 . |
(26) |
||
185
Р е ш е н и е . Если обозначим левые части заданных неравенств соответст венно через Lb L2, LB. то заданная система геометрически определяет мно жество точек, расположенных выше прямых Lt = 0 и L2=ü, но ниже прямой Lz = 0. Решая совместно неравенства (24) и (25), получим
х "Ь 1 |
1 ес,'ЦІ |
. , |
у > — 2— |
-ѵ' - i; |
|
у > 2х — 1, |
если |
Ï > I. |
Из неравенства (26) имеем
У < X 4- 1.
Для того, чтобы найти решения заданной системы, необходимо решить сле дующие две системы неравенств:
, |
У > |
- V - h |
1 |
„ |
, |
при дополнительном условии, что .ѵ ѵ |
. X |
а) |
-----g---- |
|
’ 1/ < X -Ф- 1 |
|
1; |
||
б) у > 2.Ѵ + |
1, |
у < X -[- 1 |
при дополнительном условии, что -V> |
1. |
|||
|
|
|
|
|
|
л- 4- і |
|
|
f l . |
|
* > — 1■ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
X + |
1 |
и < |
х-г I. |
— 1 4 .V |
< |
1. |
|
|
|
|
(27) |
|||
|
|
|
|
|
- у — |
|
|
|
|
||||||||||
|
Решая систему б), получим |
2-ѵ—К .ѵ -И . т. е. .ѵ<2. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2д- - |
1 < { / ■ : |
X + 1, |
1 •; л |
|
: 2. |
|
|
|
|
(28) |
||||
|
Таким образом, решение заданной системы дают дне элементарные области |
||||||||||||||||||
(27) и |
(28), которые вместе представляют |
множество |
точек, расположенных |
||||||||||||||||
внутри треугольника АВС (черт. 40). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Непосредственно |
из чертежа |
видим, что прямые L1= 0, £2 = 0, £3 = О1де |
||||||||||||||||
лят плоскость на семь областей, |
причем в области |
(1) Lx < 0, |
І 2 < 0, |
L3 у- 0; |
|||||||||||||||
в |
области |
(II) |
£, |
> 0, |
І 2 7- 0. |
L3 > |
0; в |
области |
(III) |
L1 < |
0, |
Z3> 0, |
Z3>0: |
||||||
в |
области |
(IV) |
I j |
<; 0, |
Ц > 0, |
£» |
|
0; в |
области |
|
(V) |
Ц < |
0, |
JL2 -7 0, |
L3< 0; |
||||
в области (VI) |
£) |
> 0, |
1.., |
< 0, |
£3 <2 0 и, |
наконец, |
в |
области |
(VII) |
|
І.х > 0, |
||||||||
/•а < 0, |
L3 |
'0 . |
Таким |
образом, |
геометрически очевидно (черт. 40), |
что, на |
|||||||||||||
пример, |
система |
неравенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Ц |
О, |
Ц > |
0, |
I.з < |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
не имеет решении. В этом можно убедиться алгебраически.
Можно показать, что необходимым и достаточным условием того, чтобы система трех неравенств
аплу + |
а1гх.2-f bx > |
0, |
|
сил х г + |
а.12х., -f b, > |
0, |
(29) |
ЛзіЛТ ”Ь |
T ^S ^ O |
|
|
определяла конечную ооласть, которая в данном случае пред ставляет треугольник, является отличие от нуля определителя системы и всех алгебраических дополнений к элементам его треть ей вертикали, т. е.
аи |
^ 1 2 |
Ьі |
А13 |
а 21 а 22 J_j_ Q |
|
|
D — |
Сіпч ь 2 |
|
||||
&31 *7-32 I |
|
|||||
|
|
|
|
(30) |
||
Й 31 |
^ 3 2 |
ь 3 |
|
|
|
|
|
|
|
А 23 — |
а 11 |
^ 1 2 =r= 0 , Л 33 — |
G11 а12 ¥= 0, |
|
|
|
|
Л 31 |
Я 32 |
С1<*\ ^22 |
причем определитель D и Лі3, Л23, Л33 должны иметь одинаковые знаки.
Для того, чтобы применить эти условия к рассмотренной вышесистеме неравенств (пример 9), прежде всего'ее перепишем так
тогда
- 1
-2
1
—
— X + 2 у— 1 > О,
— 2х -г У + 1 > О,
( X — у -)- 1 ]> О,
|
2 — |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
— |
|
|
|
— |
3 , |
А 13 — |
1 |
__ |
||
— |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
— |
1 |
2 |
|
1, |
— |
1 2 |
|
|
1 — |
|
= |
= |
2 |
1 |
|
|
1 |
|
— |
||||
Видим, что сформулированные выше условия выполняются, так как D, .Дз, ,4 23, А33 отличны от пуля и все имеют одинаковые знаки, в данном случае— положительны. Следовательно, неравен ства (24), (г5). (26) определяют замкнутую область, т. е. тре угольник ЛВС (черт. 40), что и показано выше непосредствен ным вычислением.
Аналогично можно рассматривать системы неравенств с тре мя неизвестными. Каждое неравенство вида Ах-г By+Cz + D-J-Q определяет одно из двух полупространств, на которые плоскость A xJrBy + Cz + D ~0 разбивает все пространство. Система нера венств определяет общую часть полупространств, определенных каждым неравенством в отдельности.
Поимер 10. Рассмотрим систему неравенств
I 4х — у — 2 + 1 > 0,
( х — у + г + 2 > 0 .
Р е ш е н и е . Решая каждое из неравенств относительно г, имеем
J z < 4л- - у -і- 1,
(31)
[ г '■ — X ■у — 2.
Неравенства могут выполняться совместно, если
— X ~ у —2 < іх — у -f 1,
откуда
5 3
-■* + -
Общее решение системы будет |
5 |
3 |
|
— оо < X < + эо. |
|||
00 < У< ~2 X + Y • |
|||
— х + У — 2 < г < 4 х — у + h
