Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 1
2. С и с т е м ы н е р а в е н с т в с н е с к о л ь к и м и и е и з- в е е т н ы м н. Рассмотрим линейную систему неравенств с дву мя неизвестными:
Ахх ВіУ -f- Ci |
О, |
А2х -р В2у Со Д О, |
|
|
(18) |
A hx + Впу-ф Сп > |
О, |
где вместо знака > можно взять во всех или в некоторых нера венствах знак противоположного смысла. Каждое неравенство, взятое в отдельности, определяет некоторую полуплоскость. Мно жество всех решений системы (18) изображается общей частью всех этих полуплоскостей. В частности это может быть много угольник или бесконечная область, ограниченная некоторой ло маной линией, или, наконец, пустое множество. В последнем случае полуплоскости, определяемые неравенствами (18), не имеют общей части и система (18) противоречива. Под решением системы неравенств (18) понимают установление неравенств, оп
ределяющих элементарные |
области (§ 3), из которых |
может |
||
быть составлена |
многоугольная |
область, определяемая |
систе |
|
мой (18). |
|
неравенств (18), предполагая, что |
||
Рассмотрим систему двух |
||||
прямые |
Вуу -j- Cj = |
0, |
А2х В2у -Р П2= 0 |
(19) |
Алх |
||||
не параллельны. Допустим, например, что решив каждое нера венство относительно у, имеем два неравенства противоположно го смысла
у < kxx + Ьъ у > lux -f b.,, ki Ф /г2.
Для того, чтобы оба последние неравенства могли иметь мес то, необходимо и достаточно, на основании закона транзитивнос ти ( § 1), выполнение условия
|
|
|
k2x + b2 < kxx -р bi |
|
|
|
|
||
т. е. (ko—k\)x<b\—bo, откуда |
|
|
|
|
|
||||
|
bi — b, |
если ki > k.2 и X < |
bi — b2 |
если k iC |
k2. |
||||
|
k-2 — k |
|
|
|
k2— ki |
|
|
|
|
|
Общее решение системы будет |
|
|
|
|
|
|||
|
< X < + |
со , ko_X -f- bo < у < |
kxx + |
bx, |
k i > |
ko, |
|||
и |
bi |
• |
b2 |
koX + b2< y < |
kxx + |
bi, |
ki < k2. |
||
|
|||||||||
|
— со < X < |
|
kl |
||||||
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Данная система, неравенств определяет на плоскости множест
во точек, лежащих выше прямой у = к2Х + Ь2, |
но шоке прямой |
г/== /с! Л' -і- öJ, т. е. внутренность некоторого угла |
(черт. 32). |
Допустим, что, решив относительно у каждое неравенство, получили два неравенства одинакового смысла, например
у• /е!А' -Ь V у > к2х 4- Ь.г.
Вэтом случае при всяком данном значении х значение у дол жно быть любым числом, большим, чем наибольшее из двух чи
сел к^х гЬ) и к2х + Ь-2. Определим, какое из |
этих двух чисел яв |
ляется большим. Пусть для определенности |
к\>к2\ имеем |
кіх
h\X
- f
-}-
by |
b'z |
при |
bn |
— by |
|
h ' |
k2 |
||||
|
|
x |
|||
b-\ |
: k2x - f ь2 |
при V- - |
^ |
- by |
|
|
|
|
• ky |
~kn ' |
Общее решение системы будет: |
|
|
|
|
' ‘ |
".г |
||||
у |
, |
|
, |
если |
X |
Ьс — Ьх |
|
|
|
|
\ ■/" 1а- + |
b|, |
g |
|
|
|
|
||||
у |
■к2X + |
«2, |
если |
X ■ |
------г- • |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
R>1-- Г\п |
|
|
|
|
Данная система |
неравенств |
определяет |
множество |
точек |
||||||
плоскости, лежащих |
выше |
каждой |
из |
прямых |
y = k]x + bi п |
|||||
y = k2X-\-b2 (черт. 33). |
|
решить |
|
каждое |
из |
неравенств |
||||
Аналогично |
можно |
|
||||||||
A j.v-f- В<у-г С1 -і 0 |
А2х + В2у+ С 2 ¥ 0 относительно х. |
|
|
|||||||
Этот способ неприменим, |
если |
одно из |
неравенств не содер |
|||||||
жит .г а другое не содержит у. В данном случае, решив первое неравенство относительно х, а второе относительно у, получим,
* > * , У>$- |
(20) |
Очевидно, что также могут получиться неравенства со знаками противоположного смысла. Первое из неравенств (20) определя ет правую полуплоскость относительно прямой л'= а, a второе верхнюю полуплоскость относительно прямой i/= ß. Система не равенств (20) определяет вну-
лельны. Решая каждое из неравенств, например относительно у, получим yj--kx+b, y4=kx + b\, где ЪфЪх. Видим (черт. 35). что в случае (а) и (д) общее решение системы может быть задано не равенством
y> kx + b,
а в случае (б) неравенством y<.kx + bt; в случае (е) неравенст
вами
ііх + b < у < kx 4- Ьъ
наконец, в случаях (г) и (е) система решений не имеет. Система трех неравенств с двумя неизвестными может опре
делять на плоскости треугольник, срезанный угол, угол и т. п. Некоторые из возможных случаев представлены (черт. 36).
Укажем также, что линейное неравенство (12) может быть заменено уравнением
& \х \ + a 2X 2 + • . - + a nX n — S l>
где Si— произвольный положительный параметр. Система линей-
йых неравенств может быть заменена системой линейных урав- , пений с положительными параметрами, к которой применима теории, изложенная выше (гл. II).
Черт. 35.
Рассмотрим, например, систему двух неравенств
J' агх + Ьгу + сх > О,
(21)
1а„х + Ь2у + с2> 0.
Эту систему неравенств можно заменить системой линейных уравнений
( аіх |
-Ь bill + |
Ci = Si, |
} a.2x |
+ b.2y + |
(22) |
c2 = s2, |
где Sj H s2 суть произвольные параметры, причем Si>0 и s2> 0 .
182
Решив систему (22), окончательно получим
X = |
Аі |
|
|
|
|
А* |
Clcy |
û i |
А |
|
|
|
|
д |
X |
Sl~ ~ Â S2’ |
|
где |
|
|
|
— Д Ьх |
|
|
Сіі |
с1 |
аг Ьг |
, |
Aj = |
, |
Л2 = |
||||
|
^2 |
— с2 Ьг |
Сіо |
— с. |
||||
Из (23) при произвольных системах положительных значе нии s, іі so определяется на плоскости множество точек заданной системы неравенств (21).
Рассмотренная задача имеет геометрическую интерпретацию.
Пусть на плоскости хиу |
|
Дг |
До |
|
задана точка .Ѵо=д-, |
t/o = -y >определя |
|||
емая вектором r0 = x0i+ yoj, и два вектора |
|
|||
- |
Ь, - |
а*, - |
А + A /• |
|
a = - f l - - L ~ h |
||||
Отложим от точки |
(л'о, |
i/o) эти два |
вектора (черт. 37). |
|
Множество решений системы (21) есть множество точек, рас положенных внутри утла, не большего я, который образован век
торами а и Ь. Действительно, произвольная точка М{х0, i/o), рас положенная в этом углу, имеет радиус-вектор, который равен
ОМ — Го + s-iCt + sji,
