Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

перпендикулярны, так как в’последнем случае а = 2 а cos 2 О,

поэтому об = 0.

По определению (3) скалярного произведения двух векторов, скалярное произведение основных ортов будет

іі = И — kk — I, ij = jk = ik — 0,

т. e. скалярное произведение одноименных ортов равно единице, а разноименных — разно нулю. Этим пользуемся для определе­ ния скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

Пусть задано два вектора а= (ах, ау, a j, b— (bx. by, Ьг),

T . e. скалярное произведение двух векторов в прямоугольной сис­ теме координат равно сумме произведений одноименных коорди­ нат.

Если векторы а и b перпендикулярны, то ab = 0 и из формулы

(6) имеем

ахЬх + ауЬѵ+ агЬ: = 0.

Это будет условие ортогональности двух векторов.

Наконец, если вектор b равен вектору а, То по формуле (6) находим

аа — аг = ах + а\ +• а \.

отсюда получим формулу (2) для определения модуля вектора а. Угол между двумя векторами находим из определения с'ка-

лярпого произведения по формуле (3). Имеем

ab

где скалярное произведение ab и модули векторов а и b необхо­ димо заменить их значениями соответственно по формулам (6) и (2). Таким образом, получим

Пример 1. При каком значении ш векторы

а = mi — 3/ + 2k, b = i + 2j — ink

взaимно перпендикулярны.

Р е ш е н и е Если векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение должно быть равно-нулю, поэтому на­ ходим скалярное произведение заданных векторов. Имеем

ab = т — 6 — 2т = — т —6,

отсюда по условию ортогональности получим —т—6= 0, т. е.

т = — 6.

Пример 2. Даны вершины треугольника: А (—1; —2; 4)-, В (—4; —2; 0) и С (3; —2; 1). Определить его внутренний угол при вершине В.

Р е ш е н и е . Искомый угол образован векторами ВА и ВС., начало которых находится в точке В и конечные точки будут со­

ответственно в вершинах А и с. Следовательно, вектор ВА будет

каждого из заданных векторов a, b п с на искомый вектор х будет

Таким образом, получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными, решив которую, находим: хл= 2, у\ = 3,

z t= —2. Следовательно, x = 2i + 3j—21г.

натными осями: а=45°, ß=60°, 7= 120°. Вычислить проекции вектора а на ко ордннатмые оси.

Orne. ах = У 2, ау = 1, аг = — 1.

3.Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:

7. Наііти вектор х, зная что он перпендикулярен^ к векторам а= (2; 3; —I) и Ь= (1; —2; 3). и удовлетворяет условию х (2і — j + k) = — 6.

Ore. x —(—3; 3; 3). 8. Даны вершины четырехугольника: /1(2; —3; 1), 5(4; 4; 0), С(—4; 1; 1) и D (—5; —5; 3). Доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендику­

лярны.

9. Вычислив внутренние углы треугольника А (1; 2; 1), В (3; —1; 7),

С(7; 4; —2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный.

§3. «-мерное векторное пространство

1.Известно, что положение всякой точки на плоскости при заданной системе координат определяется двумя ее координата­ ми (xQ, уо), т. е. упорядоченной системой двух действительных чисел. Всякий вектор на плоскости определяется также упорядо­ ченной системой двух действительных чисел, которые будут про­ екциями данного вектора на осях координат.

Аналогично положение всякой точки в пространстве опреде­ ляется тремя ее координатами (х0, уо, zQ), т. е. упорядоченной системой трех действительных чисел. Для определения произ­ вольного вектора в пространстве также необходима упорядочен­ ная система трех действительных чисел, которые будут его про­ екциями на осях координат.

Однако в геометрии, а особенно в технике, приходится изу­

чать такие объекты, для задания которых недостаточно трех действительных чисел. Например, рассматривая совокупность шаров в трехмерном пространстве, видим, что для того, чтобы шар был полностью определен, необходимо задать не только координаты его центра, но и радиус, т. е. иметь упорядоченную систему четырех действительных чисел. Различные положения твердого тела в пространстве характеризуются координатами его центра тяжести (три действительных числа), направлением

некоторой фиксированной оси, проходящей через центр тяжести (два из трех направляющих косинусов) и, наконец, углом пово­ рота вокруг этой оси. Следовательно, положение твердого тела в пространстве определяется упорядоченной системой из шести действительиых чисел.

Таким образом, целесообразно рассматривать совокупности всевозможных упорядоченных систем из п чисел, которые в дан­ ном курсе полагаем действительными, но в общей теории это требование не является обязательным. Эта совокупность после введения в нее операций сложения и умножения на число, что будет сделано далее по аналогии с соответствующими операция­ ми над векторами в трехмерном пространстве, называется л-мер- ным векторным пространством.

Следовательно, упорядоченная система п чисел [аи а.%.. ., ап>) т. е. система чисел, взятых в определенном порядке, называется п-мерным вектором, который записываем так

СЬ = (й^, С12, • • ■, U jI) •

Числа û|, а% . . ., ап. называются координатами /г-мерного век­ тора, а число п — его размерностью.

Совокупность л-мерных векторов называется п-мерным век­ торным пространством.

Вектор, у которого все координаты равны нулю, называется нулевым и обозначается нулем

тогда и только тогда, если их соответствующие координаты рав­ ны, т. е. а — Ь, если

Лі = bi, а2= Ь2, • ■■, ип = Ьп.

II.Суммой а+Ь двух п-мерных векторов

а= {ах, а2, . . . , ап), Ъ = (Ьь Ьг, . . . , Ьп) будет п-мерный вектор

Это определение суммы двух векторов непосредственно обобщается и на .несколько слагаемых. Отсюда также легко ви­ деть, что для суммы л-мерных векторов верны коммутативный и ассоциативный законы.

Из принятых определений равенства двух векторов и их сум­ мы следует, что о равенстве и сумме двух векторов можно гово-