Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 129
Скачиваний: 1
Система (31) определяет .множество точек пространства, расположенных
ниже плоскости г =4.ѵ-—у-Н и выше плоскости |
г= |
—х + у —2. Это есть мно- |
|||||
жество точек |
|
|
|
|
5 |
3 |
|
некоторого двугранного угла Прямая у= і^ х + |
'^'является про |
||||||
екцией |
па плоскость .ѵОу ребра этого |
двугранного |
угла, а |
полуплоскость |
|||
5 |
3 |
' |
|
|
|
|
|
у < ~2 |
+ ~2 |
ссть проекция на плоскость хОу рассматриваемого двугранного |
|||||
угла. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример Л. Решить систему неравенств |
|
|
|
|
|||
|
|
\ 4х — у — z + I < О, |
|
|
|||
|
|
1 X — у + z |
‘г 2 > 0. |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . Заданную систему перепишем так |
|
|
|
||||
|
|
( г > 4х - |
у + |
1, |
|
|
(32) |
|
|
U > — .у + У - |
2. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
Определим теперь, какое из выражении в правых частях |
неравенств (32) |
||||||
является большим. |
|
|
|
|
|
||
Неравенство 4х—у+ 1> —х+ у + 2 имеет месте, |
если |
|
|||||
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
У < ~2Х |
- Y ’ |
|
|
|
|
неравенство 4х—у + К —х + у —2 имеет место, если
53
у> і * + т -
Следовательно, г > 4.V—у + \, |
5 |
3 |
х -+ у — 2, если |
|||
если у < ту- х ~ ту 1 2 |
||||||
5 |
3 |
|
|
|
|
|
у > “2“ х -р ту >поэтому имеем две элементарные области: |
|
|||||
|
|
|
|
5 |
3 |
1 < г < -J- |
|
|
|
со < ÿ < J £ + 9 , 4х — у |
|||
|
, |
5 |
3 |
< у < + |
ОО, — Л- -І- у — 2 < г < -f со. |
|
— оо < .Ï < +- со, |
у |
.У— Л, |
||||
Таким образом, система (32) определяет двугранный угол, внутренние точ ки которого лежат выше каждой из плоскостей z = 4х — у+1 и z—— х+ у —2.
Подобно тому, как система (29) трех неравенств с двумя неизвестными определяет замкнутую область, если выполняются условия (30), то и система четырех неравенств с тремя неизвест ными
|
ацхг + |
« 13х> + а13х3 + Ь, > |
О, |
’ |
П"х\Х\ -|- |
ÜvnXn — CL»3X3 -)- Оо Y |
О, |
|
|
‘ |
(33) |
~Ь а з2л”а ~Ь я з:іА'з 4“ Ьз^> О,
а ііх і Y |
а і3х 3 + bi > О |
будет определять некоторую замкнутую область, если определи тель этой системы
« п |
«12 «13 |
Ьг |
|
«21 ^22 |
«23 |
Ь2 |
|
D = |
|
|
Ьз |
«31 |
«32 |
«33 |
|
«11 «42 |
«43 |
Ь> |
|
и алгебраические дополнения к |
элементам его последней вер |
||
тикали |
|
|
|
|
« л |
«22 |
«23 |
|
|
« и |
«12 |
«13 |
|
«31 |
«32 |
«33 |
- 0 , |
Д 24 = |
«31 |
«32 |
«33 |
|
«41 |
«42 |
«43 |
|
|
«41 £7-4о «43 |
||
|
«11 |
«12 |
«13 |
|
|
«11 |
|
«13 |
ЛШІ= |
«21 |
£7-оо |
«23 |
ф О . |
 » - |
«21 |
Cl 22 |
«2S |
|
«41 |
£?42 |
« 3 |
|
|
«31 |
«32 |
«33 |
=£0,
Ф о,
причем D и Л/4 (t= 1, 2. 3, 4) имеют одинаковые знаки.
Эти условия являются необходимыми и достаточными. Одно линейное неравенс :во с тремя переменными, как извест
но, определяет одно из двух полупространств, на которые плос кость, например, Оцд^ + о ^ г + аы-Хз-гôt= 0 разбивает все прост ранство. Следовательно, система (33) определяет общую часть четырех полупространств, определяемых каждым неравенством в отдельности. При указанных выше условиях эти четыре полу пространства образуют в пересечении тетраэдр.
Полученные результаты -обобщаются на случай системы (н-гі)-го неравенства с л неизвестными.
Действительно, если уравнениеan-Cj-l-a12.v2+ а13.т3404=0 опре
деляет плоскость в трехмерном пространстве, |
то уравнение |
|
ап х х + а1ъх 2+ . . . + а1пх п + Ьг |
= 0 |
(34) |
определяет плоскость в /г-мерном пространстве, которая также называется гиперплоскостью. Гиперплоскость—это есть геометри ческое место всех точек (хд, хо. ., х„) «-мерного пространства, удовлетворяющих линейному уравнению (34). При Ь, = 0 гипер плоскость проходит через начало координат.
Поэтому одно линейное неравенство в /г-мерном пространстве
апХі + апх2+ ... + а1пх п + 6Х> 0
представляет /г-мермое полупространство, т. е. совокупность всех точек л-мерного пространства, расположенных по одну сторону гиперплоскости (34).
• Следовательно, система (« + 1)-го неравенства с п неизвест ными:
а 11Х 1 + |
С>12Х 2 + |
• • + |
« Д А + b1> |
0 |
, |
||
^2 1* ^ 1 |
+ |
^22-^2 |
• • + |
« 2 ПХ П +Ьф>0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(35) |
Й'ЛІХ 1 |
+ |
rt/l2X2 + |
• • • + |
а п п х п~Г- Ь п |
> |
0 |
, |
ft/i + U x l |
+ Ял +12 -і-'г Ч- • • ■+ а п + \ п х |
п |
“Ь Ь п + \ )> 0 |
||||
определяет общую часть (н-И)-го /і-мерных полупространств, которые определяются каждым из неравенств в отдельности.
Для того, чтобы указанная область была замкнутой, необхо димо и достаточно, чтобы определитель системы
" и |
ÛX8 |
• ■• а ь, |
bi |
1‘21 |
&22 |
■■(І2п |
ь г |
о„х |
а п2 |
• ■■ft'ап |
bn |
Ял+11 |
ЙЛЧ-12 • . . Clfl-r ] n |
bn-r |
|
и все алгебраические дополнения к элементам его последней вер
тикали Ліл-ч ф 0 {і= I, 2.......п, п + I ), |
причем знаки D и Л/я+і |
должны быть одинаковы. |
(35) имеет решение, пред |
При указанных условиях система |
ставляемое, как говорят, п-мерным тетраэдром, пли симплексом.
Если п = 3, то это определение дает трехмерный тетраэдр, при п = 2 имеем треугольник и при п = 1 отрезок. Эти случаи были рассмотрены выше.
§8. Смешанные системы
Вматематике и приложениях рассматривается также реше ние смешанных систем соотношений, из которых некоторые яв
ляются уравнениями, а некоторые неравенствами, содержащими неизвестные.
Решение системы соотношений:
fl (Xli X2>■■■> xn) —Fi (xb -V2, . . ■• A‘„)-
|
|
|
(36) |
/*(xl, |
-v2>• • ■. X,ï) = Fk{Xl’ -v2, . . • > Xn)’ |
||
'fl {Xl> X2>• |
• • > Xn) Ф ^ l ( xl> |
X2i ■• A‘J> |
|
|
|
|
(37) |
T l (Xl> |
X2>• |
•• > Xn) Ф <7 ) / (xl> |
Xl<■• • > Xn) |
можно толковать как решение системы уравнений (36) при до полнительных условиях (37).
Вообще, как было сказано |
выше (22), всякое |
неравенство |
||
f (ЛТ ’ |
' |
> Х п) |
О |
(38) |
может быть заменено уравнением |
|
|
||
ï(Xl, |
*з........-Ѵ„) = |
/г |
(39) |
|
•с положительным параметром /г. Множество всех решений не равенства (38) есть множество всех решений уравнения (39), ко торые могут быть получены при произвольных положительных значениях k.
Например, уравнение х—у —0 пли у = х определяет биссект рису .первого и третьего квадрантов, неравенство x > 0 опреде ляет правую полуплоскость, включая и ось Оу, а система соот ношений
X — t/ = О,
* > 0
определяет биссектрису первого квадранта координатной плос кости.
Таким образом, решая смешанную систему, неравенства бу дем рассматривать как дополнительные условия, при которых надо решить систему, составленную из уравнений, входящих в состав заданной смешанной системы. Ограничимся рассмотре нием примеров.
Пример 1. Решить систему
N
\
\
P e ш e и и e. Общее решение дается формулой
у = 2JC+I.
На основании дополнительного усло вия
|
,V + |/ + 2 = .Ï + (2-г |
1) + 2 = |
||||
|
|
= |
Зл- ф- 3 > |
О, |
|
|
|
откуда х > — 1. |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, і/=2.г-Ы, где ,г> — 1. |
|||||
К |
Таким |
образом, |
множество |
решений |
||
|
смешанной |
системы |
(40) |
изображается |
||
Черт. -Н. |
точками прямой |
2.ѵ—г/+1 = 0', лежащими |
||||
в полуплоскости |
х+ у + 2>0. |
Это есть |
||||
|
луч AB (черт. 41). |
|
|
|
||
Пример 2. Решить систему |
л-- |
у |
+ 1= 0, |
|
|
||||
|
2.V — |
у |
! 2 > |
0, |
|
X — 2у — 4- > |
0. |
||
Р е ш е н и е .Общее решение уравнения будет1
У = х + 1.
Принимая во внимание дополнительные условия, имеем
2 х - -(-'•■+ 1) ~ 2 = л - - у 1 ; О,
откуда X > —1; кроме того,
л- - 2 (х + 1) + 4 = — X -)• 2 > О,
откуда х < 2. Следовательно,
і/= х -И ,
где —1< х < 2.
Таким образом, множество решений смешанной системы (41) изображается отрезком AB прямой х—(/+1=0, содержащимся внутри угла, который опре деляется двумя заданными неравенствами 2х—р + 2 > 0 и х—2р + 4>0 (черт. 42).
3Зэк.304
О Г Л А В Л Е Н И Е
Г л а в а |
I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Векторная алгебра. Понятие матрицы |
|
|
|
|
|
п |
||||||||||
§ 1. Основы векторной алгебры в пространстве трех измерений |
||||||||||||||||
О |
||||||||||||||||
§ 2. |
Скалярное |
произведение |
двух векторов |
|
. . . . |
8 |
||||||||||
§ |
3. |
Задами |
(1—9 |
) |
....................................................................... |
пространство |
. . . . . |
11 |
||||||||
/і мерное векторное |
12 |
|||||||||||||||
§ 4. |
Понятие |
о |
матрице |
и |
об определителе |
|
. . . . |
16 |
||||||||
Г л а в а |
II. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Основы теории определителей |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
§ 5. |
Определители второго |
п о р я д к а |
........................................... |
|
|
|
|
21 |
||||||||
|
|
Задачи |
(10—2 |
3 |
) ..................................................................... |
|
п о р я д к а |
|
|
|
|
|
23 |
|||
§ 6. Определители третьего |
.......................................... |
|
|
|
|
23 |
||||||||||
§ 7. |
Задачи |
(24—4 |
3 |
) ..................................................................... |
|
|
порядка . . . . |
27 |
||||||||
Свойства определителей |
28 |
|||||||||||||||
|
|
Задачи |
(44—4 |
8 |
) ..................................................................... |
|
|
. |
. |
. |
. |
. |
33 |
|||
§ 8. Умножение определителей |
33 |
|||||||||||||||
|
|
Задачи |
(49—5 |
1 |
) |
..................................................................... |
|
дополнения. |
Некоторые |
методы |
37 |
|||||
§ 9. Миноры. Алгебраические |
вы |
|||||||||||||||
|
|
числения определителей |
........................................... |
37 |
||||||||||||
§ |
|
Задачи |
(52—7 |
6 |
) ..................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|||
10. Правило |
К р а м е р а |
..................................................................... |
|
|
|
|
|
|
50 |
|||||||
§ |
|
Задачи |
(77—8 |
9 |
) |
..................................................................... |
|
|
|
|
|
|
57 |
|||
11. Ранг м а т р и ц ы |
..................................................................... |
|
|
|
|
|
|
58 |
||||||||
|
|
Задачи |
(90—9 |
9 |
) |
..................................................................... |
|
|
|
|
|
|
63 |
|||
§ |
12. Системы |
линейных |
у р а в н е н и й |
........................................... |
|
|
|
|
64 |
|||||||
|
|
Задачи |
(100—104) |
|
' |
|
|
|
|
|
|
71 |
||||
§ 13. Система линейных однородных уравнений |
|
|
72 |
|||||||||||||
|
|
Задачи |
(105—Ф08) |
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|||||
Г л а в а |
III. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Элементы теории матриц |
|
|
|
|
|
|
|
80 |
||||||||
§ |
14. Произведение |
матрицы |
Сложение |
матриц |
||||||||||||
§ |
15. Линейное |
преобразование. |
Умножение матриц |
|
83 |
|||||||||||
|
|
Задачи |
(169—125) |
|
. |
............................................ |
89 |
|||||||||
§ |
16. Обратная |
матрица |
|
|
|
|
|
|
|
91 |
||||||
|
|
Задачи |
|
(126—1 3 9 ) |
|
|
|
|
|
99 |
||||||
§ 17. Характеристические числа и собственные векторы матрицы |
100 |
|||||||||||||||
|
|
Задачи |
(140'—1 |
4 |
3 |
) .............................................................. |
|
|
|
|
|
105 |
||||