ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 192
Скачиваний: 0
где au и определены равенствами (4.19) и (4.20), а корреляцион ный момент Киѵ= М(и ѵ) =М [(6 ж—6 2) ( 6 y + 6 Z/)]= 4 4 ( 6 ^ + 6 x6 2 —
—ібѵб2—бг ) = К х у + К х г — К у г — |
где M(uü) — |
математическое- |
|
О |
О |
ожидание произведения центрированных величин и и ѵ [58], Кц — корреляционный момент между величинами б,- и бд а Dz — диспер сия величины б2. Таким образом,
К |
и о — г х у сГд.Оу -Г г хг a xa z |
r yz о yo z |
crz, |
(4.22> |
||
и в соответствии с (4.21), (4.22), |
(4.19) |
и (4.20) |
|
|
||
г = |
г х у |
“Ь r X Z |
Ол'Чг — r,JZ O y O z — |
Oz |
(4.23> |
|
|
|
|
|
|
||
V |
( a l — 2 r « |
° x ° z + |
ö z ) ( 4 |
+ 2 r y z O y C z + |
a z2 ) |
|
Наконец, математические ожидания au и av' величин u иѵ:
(4.24)
CIо — Оц
где ax, ay и az — математические ожидания величин бх, бѵ и öz. Если ввести замену
|
|
|
іх = u — au |
|
|
|
|
|
|
°u |
|
|
(4.25> |
|
|
|
v ~ a v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ty = |
|
|
|
то (4.18) |
придет к виду |
h --------- !--------( |
|
|
'u+i2) |
|
|
. |
1 |
<2 |
-2 r tx |
||
Рош = |
1 |
k |
і, |
|||
\/ 1 |
е 2(і —г1) \ |
* |
х |
У у! dtßty, (4.26) |
||
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
---- 00 |
----- CD |
|
|
|
где
h = P—a«
(4.27)
k = Ц —a„
Сто
Область интегрирования на плоскости f*/,,, (рис. 4.18й): представ ляет бесконечный квадрант АЕВ.
Введем еще замену
(4.28)
Ѵ ^ У
140
после чего (4.26) придет к виду
_ £f±£f |
|
Рош"= 1 " " і І ' Я е 2 dXdy' |
(4'29) |
Д |
|
где А — область интегрирования на плоскости ху (рис. 4.18 б), соответствующая области АЕВ на плоскости t j y. Так как область
АЕВ ограничена справа и сверху прямыми
tx = h, tff = k |
(4.30) |
и ничем не ограничена слева и снизу, то область А будет ограни чена лишь прямыми Е'А’ и Е'В', уравнения которых соответственно будут:
ѵЧ^-ѵѴ»-* (4.31)
(4.32)
На рис. 4.186 область А ограничена бесконечным углом А'Е'В'. Проведя через начало координат и точку Е' прямую QOE'P, раз делим ею область А на две: на область Аі внутри угла QOE'B' и на область Д2 внутри угла QOE'A'. Тогда
р™ = 1 - ( s r Я |
^ * * 0 |
■ <4-33) |
\ д, |
д |
/ |
В свою очередь,
£ Я - £ Я - £ Я - £ Я ^ Я -
Д і Д а А * Д 8 Д в
Здесь Аз — вся верхняя полуплоскость над прямой PQ, A4 — об-
141
ласть бесконечного срезанного угла PE'L\, Д5 — область первого квадранта gOri и Де — область прямоугольной полосы B'LOr\. Отдельно
**+У*
_ 1_ |
И |
2 dxdy = 0,5, |
(4.35) |
2л |
|||
|
е |
||
а |
у+4* |
|
|
|
d l d ^ = T{OL, mi). |
|
|
^ - f j e |
2 |
(4.36) |
Au
Здесь расстояние OL прямой Е'В' от начала координат, как это не трудно получить из (4.32),
OL = k, |
(4.37) |
а OTi= tg фь где ф4 — угол между прямыми ОЕ' |
и Og. В соответст |
вии с (4.32) уравнение прямой 0 | будет |
|
У =
Из (4.31) и (4.32) найдем координаты точки Е': k + h
Е |
/ 2 ( 1 + г ) |
k — h
Уе' / 2 ( 1 + г)
Отсюда следует уравнение прямой ОЕ': k — л
У = k + h V W , * -
Из (4.39) и (4.41) после упрощений получим
h — kr
тх
* / 1 — г2
Далее
£*+11*
|*+4*■ |
=0 к £*+р.* |
2л JJ е 2 |
2 d \ d т| = 0,5Ф (А). |
а ; |
о о |
Таким образом, согласно (4.34) — (4.37), (4.43) и (4.44)
*2+уг
2л Я '
е 2 dxdy — 0,25 + 0,5Ф (k) — Т (k, mi).
А,
(4.38)
(4.39)
(4.40)
(4.41)
(4.42)
(4.43)
(4.44)
(4.45)
142
Аналогично предыдущему доказывается, что |
|
|
||
|
*2+і/2 |
|
(4.46) |
|
Jj" е |
2 |
dxdy = 0,25 -|- 0,5Ф (h) — Т (h, m2), |
||
Ад |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.47) |
Окончательно согласно (4.31), (4.45) и (4.46) получим |
|
|||
Рош = 0,5 [1 — Ф (k) — Ф (/г)] -I- Т (k, mi) + |
Т (h, m2). |
(4.48) |
||
Пример. Учтем влияние погрешности фазирования на вероятность ошибки. |
||||
Пусть исправляющая |
способность приемника р = 0,40. |
Зададимся |
коэффи |
|
циентом корреляции гху между величинами 8Х и 6„, равным 0,45, и коэффициен тами корреляции rxz и r yz между б* и 6,; и случайным смещением бг момента регистрации, равными соответственно 0,45 и 0,20 (рис. 4.18). Далее принимаем, что средние квадратические отклонения ах, ау, az величин 8Х, 8У и бг соответ
ственно |
равны сг.т = сти = ст=0,1і2, |
о2=0,06, |
а |
математические ожидания величин |
|||||||
б*, 8Уи 62 равны нулю и, следовательно, |
аи = а*=0. |
что |
|
||||||||
Теперь, |
пользуясь |
(4.19) |
и |
(4.20), |
находим, |
|
|||||
|
ст^ = |
0,122 -(- 0 |
,Об2 — 2-0,45-0,12-0,06 = |
0,012 |
и |
о„ = |
0,107; |
||||
|
0 ц = |
0,122 + 0 |
,Об2 + 2-0,20-0,12-0,06 = |
0,021 |
и |
0 „ = |
О,145. |
||||
Из |
(4.27) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,40 |
|
3,724 и k = |
0,40 |
|
|
|
||
|
|
|
= |
- — = 2,768. |
|
||||||
|
|
|
0,107 |
|
|
|
0,145 |
|
|
|
|
Коэффициент корреляции г между величинами и и ѵ определяем из (4.23):
__ 0,45-0,122+ 0,45-0,12-0,06—0,20-0,12-0,06—0,062 _
Г ~ |
0,107-0,145 |
~ ’ |
Из |
(4.42) и (4.47) находим, что |
|
|
3,724-2,768-0,3 |
2 ,7 6 8 -3 ,7 2 4 -0 ,3 |
|
,09 и т 2 |
3,724 / 1 — 0 ,32 |
|
2,768 У 1 — 0,32 |
Пользуясь (4.48), определяем вероятность ошибки Р0ш с учетом погрешности фазирования:
|
Рош = 0,5 [1 — Ф (2,768 — Ф (3,724)] + |
7 (2,768; |
1,09) -+- |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ 7 (3,724; 0,46). |
|
|
|
|
|
|
' Так как Ш\> 1, а таблицы |
функции T(h, m) |
составлены только при значе |
|||||||||
ниях O ^ m ^ l, |
пользуемся |
вспомогательной ф-лой |
(3.35), откуда |
7 |
(2,768; |
||||||
1.09) =0,26—Ф,(12,768) Ф(3,03)—7(3,03; 0,91) |
или |
согласно |
таблицам |
7(2,768; |
|||||||
1.09) =61 ■10-5 и Рош=і141-10-5. |
|
62, тхг и ryz равны нулю, и |
|||||||||
Если не учитывать погрешности фазирования, то |
|||||||||||
тогда |
на основании |
(4.19), |
(4.20), (4.23), |
(4.27), |
(4.42) |
и (4.47) получим |
о и= |
||||
Ои — О, |
г = г ху, |
/і = й= |
|х/о = |
3,3 |
и т\ — тг — т — V |
И—0 /(1 +г) =0,62. |
|
|
|||
При этом (4.48), как и следовало ожидать, |
преобразуется к виду (3.30): Р 0ш = |
||||||||||
= 0,5—Ф (3,3) +27(3,3; 0,62) =95,2-ІО-5. Очевидно, что |
для |
заданных |
частных |
||||||||
данных вероятность ошибки при учете погрешности фазирования возрастает примерно в 1,5 раза
143
РЕГИСТРАЦИЯ И Н ТЕ ГР А Л Ь Н Ы М СПОСОБОМ
Если обозначить через б7і и 8z2 случайные смещения моментов
регистрации границ |
кодовой посылки (рис. 4.19), |
то условия |
пра |
|||
вильного приема взамен прежних |
(3.38), не учитывающих погреш |
|||||
he---:---------^-------------»h |
ности фазирования, будут: |
|
||||
__________1__________ |
— оо < дх — 6Zl< |
0,5 |
|
|||
T sri* |
|
f b |
r |
— оо < бу — öz <0,5 |
|
|
1Т$Л<____ |
1 |
|
|
— оо < 6 Х — 6Zi + |
6j, — SZj < |
0,5 |
—■ |
|
|
|
|
(4.49) |
|
Рис. 4.19. |
Графики |
случайных |
а с введением замены |
|||
смещений границ кодовых посылок |
|
|||||
и моментов |
регистрации |
(реги |
и ^ Ь х - 6 |
г ] |
(4.50) |
|
страция интегральным методом) |
|
|
||||
условия (4.49) примут вид
оо <С и < |
0,5 |
||
оо < |
V< 0,5 |
||
оо < |
и + V< 0,5 |
||
В новых переменных |
|
|
|
К = ‘ |
|
|
|
|
ѵ — аѵ |
||
t« = |
Оо |
||
|
|
||
где аи, aVj аѵи аѵ определены равенствами: |
|||
ol = ol + a \ — 2rxZiaxazo |
|||
|
II |
|
|
1 р |
Üy — Сіу |
|
CLZt j |
|
(4.51) запишутся в виде
—оо < tx < h
—оо < ty < k
—оо < a u^ + aolIi,<0,5(o’Ii/i + crl,£)— е
Здесь.
|
S' 1! |
0 сл |
|
а |
|
|
О |
|
|
|
1 |
|
|
Ои |
|
|
^ _ 0|5 |
йѵ |
||
|
|
Оо |
йо). |
е = 0,5 (яи |
|||
(4.51)
(4.52)
(4.53)
(4.54)
(4.55)
(4.56)
(4.57)
(4.58)
(4.59)
144
Область А правильной регистрации будет ограничена таким обра зом справа и сверху прямыми (рис. 4.20а)
tx = h, |
(4.60) |
ty = k, |
(4.61) |
°u tx + av ty = 0,5 (Оц h -j- avk) — e. |
(4.62) |
a)
Рис. 4.20. К учету погрешности фазирования при регистрации интегральным методом
Соответственно вероятность ошибки
Р о т — 1 |
|
і— - ( t 2 - 2r t x t y + f i ) |
(4.63) |
|
|
2.(1 |
dtxdty. |
||
2л /1 |
|
|
|
|
Здесь r = r u v = k Uvl(ouOv), |
(4.21) |
|
|
|
причем Kuv = M (и ѵ) =М [(бх—°6Zi) {öy — 6J] = М (бЛ°Ьу — |
|
|||
&х К |
^Z1 |
= ^xy ^xz- ^AZl |
^ZlZ! |
|
ИЛИ |
|
|
|
|
kuv = rxy <JxOy - |
rxZj a xa Zt - |
ryZi a yo Zi + |
aZj. |
(4.64) |
146
Таким образом, согласно (4.21), (4.55), (4.19) и (4.20)
Гху ОхОі, — r xZi ОхОZt - ryZt OyOZi + rZi2i gZi g2; |
|
г |
. .(4.65) |
] / ( < % - 2 r * z , a - ' % + < ) ( / |
- 2 r y Z, 0 y 0 2 s + a J2 |
Так как Р0ш в случае, когда областью правильного приема являет ся бесконечный прямоугольник ABECD (рис. 4.20а), уже определе на условиями (4.48), то (4.63) можно записать в виде
Р0ш= 0,5 [1 — Ф (k) — Ф (h)\ -Ь Т (/г, піі) + Т (/г, т 2) +
1 |
Г |
Г |
------------- ----------( |
(2 -2 Г ( |
і + і 2 ) |
(4.66) |
1 |
1 |
1 - |
2 (I — r=) V |
х |
х у У >, dtxdty, |
|
+ '2п У I — г- |
|
|
|
|
|
|
где А' — область прямоугольника СЕВ.
Заменой (4.28) выражение (4.66) приведем к виду
Рош — 0,5 [1 ■— Ф (As) — Ф (h)] -|- Т (k, піі) -Г Т (Л| nh) +
**+Уг
І)Т |
dxdy, |
(4.67) |
|
где А" — область треугольника С'Е'В', соответствующего обла сти А' на плоскости ху (рис. 4.206). Координаты вершин треуголь ника СЕВ: C{tI*, ^іу), E(t2x, t2y) и B(t3x, t3y) на плоскости txtv со гласно (4.60), (4.61) и (4.62) будут:
а„ h |
k |
|
|
|
2au |
— ,> t:Ч у : |
|
|
|
|
|
tlx = h, |
t2y -- k |
(4.68) |
|
t-Sx = h, |
t3y — |
0Vk—Ou |
e |
----------- |
ov |
||
|
|
2ov |
|
Координаты вершин треугольника С'Е'В' на плоскости ху выразят ся через найденные координаты (4.68) на основании (4.28) равен ствами:
|
1 |
|
|
|
X = |
/ 2(1 +г) Ух + |
ty) |
||
У |
1 |
Уу — |
tx) |
|
V 2(1 - г ) |
||||
|
|
|
||
Пользуясь теперь (4.68) и (4.69), найдем для точки С'
Ху = / 2 (1 + г) |
а„ Л + (2сгц — Оу) k |
||
2а,, |
|||
У1 |
1 |
(2а„ + a„) k — ои h |
|
/ 2( 1 - г) |
2а, |
||
|
|||
(4.69)
(4.70)
(4.71)
146