Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

С, В . Ащеулов,

В . Л . Ъ арыш ев

ЗАДАЧИ

ПО

элементарной

-I

/.

) ■

l

^ rs.-

л

■ 4

ПРЕДИСЛОВИЕ

В современной высшей школе наблюдается заметное усиление роли фундаментальных наук в процессе подготовки специалистов всех профилей. Эта тенденция должна опираться, конечно, как на рост качества школьной подготовки учащихся, так и на допол­ нительную, внеклассную работу будущих студентов. Повышение уровня преподавания в школах, новые программы и учебники, создание специализированных школ и классов, традиционные олимпиады для школьников, лекции по телевидению и в лекто­ риях способствуют решению этой задачи. И тем не менее глу­ бина и прочность знаний по физике у выпускников средних школ часто оставляют желать лучшего, что особенно заметно на фоне значительного роста математической подготовки школь­ ников.

Полезно указать на характерные недостатки физического обра­ зования многих абитуриентов.

Приходится сталкиваться с нечеткими, а нередко и ошибоч­ ными представлениями о своеобразии построения физики в целом как науки, о ее логике. Любое физическое утверждение является для одних справедливым исключительно на основе опытных дан­ ных, для других — следствием только математических выкладок. То, что часть физических законов является индуктивным обобще­ нием человеческой практики (и что эти законы в принципе не могут быть доказаны так, как доказывается, допустим, теорема Пифагора), какие именно это законы или гипотезы, то, что осталь­ ные законы логически вытекают из первых, часто неизвестно. Эти заблуждения в большой мере связаны с непониманием роли опыта в процессе познания природы.

Законы, определения и понятия нередко усваиваются формально, без твердого понимания того, где, когда, в каких условиях они справедливы. В результате — ошибочное использование законов и правил, неумелое их применение в конкретных физических усло­ виях: при решении количественных задач, при качественном ана­ лизе процессов и явлений (что особенно проявляется в ответах на простые, но непривычные вопросы).

В связи с этим следует заметить, что в ряде руководств и посо­ бий стремление упростить законы и определения приводит к появ­ лению как заведомо неверных формулировок (например, для век­ тора, центра тяжести, центробежной силы), так и неполных опре­ делений, что исключает четкое их понимание (для результирующей силы, сил трения, взаимной емкости, материальной точки ц т. д.).

Плохо развитое физическое воображение метает наглядно представить динамику физического процесса, то, каким законам и правилам он подчиняется на различных этапах своего развития. Отсюда, в частности, следует неумение физически проанализиро­ вать полученный в задаче ответ, сопоставить его с действительной ролью учтенных и неучтенных факторов, проверить на тех про­ стейших случаях, где ход событий очевиден без выкладок.

Встречается нечеткое представление о физических идеализа­ циях и моделях (точечном заряде, идеальном газе, гибких и нера­ стяжимых нитях и многом другом). Какова в них надобность, на чем основано наше право их вводить, где можно, а где нельзя их использовать — эти вопросы зачастую уходят из поля зрения школьника.

Недоумение и удивление вызывает упорное нежелание школь­ ников использовать в физике арсенал своих математических зна­ ний. При этом мы имеем в виду отнюдь не полную формализацию ответа по физике на экзамене: оснащение его производными и интегралами, скалярными и векторными произведениями векторов и т. п. (чем грешат некоторые книги по физике для школьников) — чего от абитуриента никто и никогда не требует. Однако использо­ вать математические навыки и приемы в необходимых случаях, в том числе, конечно, и в физике, школьник, стремящийся в вуз, обязан. К сожалению, часто оказывается, что для поступающих физика — сама по себе, математика — сама по себе: например, не всегда проводится исследование решения. Тем более не прихо­ дится говорить о физическом анализе причин, вызвавших потерю смысла соответствующих математических выражений, или об ис­

следовании результата решения задачи в зависимости от значений исходных параметров.

Как перечисленные, так и некоторые другие, менее серьезные недостатки связаны, в частности, с еще встречающимися излиш­ ними упрощениями физики в процессе школьного ее изучения, с отказом от строгих доказательств и формулировок там, где они вполне возможны и допустимы, с отсутствием развернутого ана­ лиза явлений и процессов там, где такой анализ поучителен. Незначительное сравнительно с математикой количество задач­ ников и пособий по физике, невысокий уровень некоторых из них не способствуют исправлению создавшегося положения.

В настоящем задачнике авторы делают попытку хотя бы ча­ стично восполнить указанные пробелы. С этой целью было отоб­ рано 160 задач повышенной трудности, однако не требующих знаний, выходящих за рамки школьных программ. При отборе задач авторы стремились к тому, чтобы каждая из них представ­

4

МЕХАНИКА

ЗА Д А Ч А 1

Ктележке прикреплена веревка, перекинутая через непод­ вижный блок В. Конец веревки вытягивают со скоростью ѵ.

Определить скорость ѵ0 движения тележки по горизонтальному столу в тот момент, когда конец веревки, привязанный к тележке, составляет угол а с горизонтом (см. рис. а).

Р Е ШЕ Н И Е

Приведем сначала ошибочное рассуждение, с которым часто приходится встречаться: так как веревка нерастяжима, то неза­ висимо от наклона части веревки, расположенной справа от блока точка А тележки движется со скоростью ѵ. Проекция этой ско­ рости на горизонтальное направление равна величине ѵ cos а

а тележка движется по горизонтали. Следовательно, скорость те­ лежки ѵ0 равна величине ѵ cos а.

В действительности вывод „следовательно“ не только необосно­ ван, но и неверен. Приведем несколько возражений, каждого из которых достаточно для того, чтобы убедиться в ошибочности

6

вдоль AB, имеет какой-то другой физический смысл.

2. Заметим, что при заданной скорости вытягивания веревки скорость тележки растет с ростом угла а ( 0 < а < л /2). Дейст­ вительно, представьте себе, что тележка находится почти под блоком. Нетрудно догадаться, что при этом значительные переме­ щения тележки вправо или влево вызовут лишь сравнительно небольшие перемещения нити справа от блока. Следовательно, ответ не может быть вида ѵ0 = ѵ cos а.

3. Поскольку А движется горизонтально, вертикальная проек­

равномерно движущихся со скоростями ѵх и ѵ2 тел, совершенные за один и тот же промежуток времени, то ASX/AS2 = ѵ1/ѵ2.

Рассмотрим положения тележки и нити в два момента времени, разделенных интервалом At. Тележка переместилась из положения

а, интервал времени At следует выбрать настолько малым, чтобы угол а не успел заметно измениться, и скорость тележки можно

Разложим вектор ѵ0 на две взаимно перпендикулярные состав­ ляющие такие, что одна из них направлена вдоль AB. Тогда можно считать, что точка А участвует в двух движениях со скоростями V и ѵх. Если бы точка А двигалась только со скоростью ѵх, то рас­ стояние AB не менялось бы; следовательно, скорость приближе­ ния А к В есть проекция скорости ѵ0 на направление AB.

Вернемся к исходной задаче. Скорость ѵ, направленная вдоль AB, есть, очевидно, скорость приближения А к В. Скорость же точки А ѵ 0 по условию направлена горизонтально. Следовательно, скорость V есть проекция скорости ѵ 0 на направление AB, т. е.

ѵ0 = v/cos a.

7

Полезно обратить внимание на то, что движение точки А можно представить как сумму двух движений, одно из которых проис­ ходит в направлении к блоку. Какой вид имеет другое движение? Теперь ясно, что это — движение со скоростью ід = ѵ tg а, vx _j_ AB, T. e. вращение вокруг точки В. Из рис. б хороню видно, что точка А, приближаясь к блоку, одновременно вращается во­ круг него против часовой стрелки.

П р и м е ч а н и е I. Здесь и в дальнейшем мы часто пользуемся следующими выражениями: „сумма движений“, „сложение движений“, „точка участвует в двух движениях“. Очевидно, что в заданной системе отсчета точка, если она движется, совершает вполне определенное, единственное движение; поэтому необ­ ходимо разъяснить смысл указанных выражений. При решении задач часто бывает удобно перейти к новой системе отсчета, которая движется относительно исход­ ной. Характеристики движения (скорость, ускорение, вид траектории и т. д.) в новой системе отсчета могут отличаться от их значений в исходной системе. При таком переходе движение в исходной системе отсчета условно разбивается на два движения: движение точки в новой системе отсчета (т. н. относительное движение) плюс движение новой системы относительно исходной (переносное движение). Тогда кратко говорят, что движение точки относительно исходной системы отсчета „есть сумма двух движений“. Ясно, что такое „разбие­ ние“ движения неоднозначно: например, любое движе­ ние можно представить как сумму двух, трех или пяти­ десяти движений. Однако именно эта неоднозначность и является достоинством метода: мы имеем возможность произвольно выбрать наиболее удобную в данной задаче систему отсчета. В следующих задачах мы будем поль­ зоваться приведенными выражениями уже без ка­ вычек.

П р и м е ч а н и е II. При изучении курса физики приходится часто встречаться с величинами, называе­ мыми скалярными и векторными. К сожалению, в ряде учебников даются неточные — и тем самым неверные — определения этих величин, что ведет к многочисленным недоразумениям и ошибкам. Поэтому ниже даются пра­ вильные определения и рассматриваются некоторые следствия из них.*

* Вообще говоря, определения не могут быть правильными или непра­

вильными, точными или неточными (запрещается только внутренняя противо­ речивость). Автор любой книги (лекции, диссертации) вправе, например, сказать: „Назовем треугольником многоугольник, содержащий четыре сто­ роны“ или „Договоримся считать равными числа, различающиеся не больше, чем на единицу“. Разумеется, после таких определений в рамках данной книги

8