Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.07.2024

Просмотров: 110

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
К задаче 4.

Р Е Ш Е Н И Е

1-й с п о с о б . Движение конца нити С можно представить себе складывающимся из двух движений: движения вместе с осью катушки со скоростью ѵ0 (как если бы нитка была закреплена

в точке А, а катушка

скользила бы поступательно) и движения

с некоторой скоростью

в результате наматывания (или сматыва­

ния) нити на катушку, т. е. ѵ = ѵ0dz ѵг, где знак плюс соответ­ ствует сматыванию нити.

Заставим катушку сделать один полный оборот и определим величину, на которую переместится конец нитки С. Очевидно, что в данном случае катушка катится вправо. За один оборот ось

катушки переместится на

расстояние

2я R, причем на

катушку

намотается

нить длиной 2яг.

Таким образом,

 

ѵо’ ^ ѵ + ѵ ^ ѵ 1 + ѵі

 

 

( л .

2лг

 

= V

R

 

= Ѵ[ 1 ■

2nR — 2лг

 

 

\

R — r ’

7777777777/777777777777

2-й с п о с о б .

Качение катушки

без скольжения по плоскости в любой момент можно рассматривать как вра­ щение вокруг мгновенной оси В. Это следует из того, что точка В

катушки

неподвижна.

Таким образом,

известно, что ѵв .== О,

ѵа. = V.

Следовательно,

ѵ0 — vBI(R — г),

так как линейные ско­

рости точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям этих точек до оси вращения.

При R — г и к =т^=0 ответ теряет смысл. Поясним это. Пусть скорость центра катушки ѵ0 задана. Тогда скорость конца нитки определяется соотношением ѵ = [(і? — r)/R] ѵ0, и при R->-r н->0 при любом значении скорости ѵй. При R = г конец нитки „не за­ мечает“, катится ли катушка, или она неподвижна. Следовательно, при R = г скорость конца нитки может быть равной только нулю. Из формулы ѵ0 = vR/(R — г) при этом мы получаем, что ѵ0 = 0/0, т. е. ѵ0 не определена.

3 А Д А Ч А 5

Определить скорость оси катушки в условиях предыдущей задачи, если нить составляет угол а с горизонтом. Доказать, что при некотором значении а 0 угла а качение без проскальзывания невозможно, и найти это значение.

Р Е ШЕ Н И Е

Движение катушки представим как вращение вокруг мгновен­ ной оси В. Тогда, если ѵд есть скорость точки касания А нити и внутреннего цилиндра катушки, то ѵл J_ AB и vA = к/sin ß

14

(см. решение задачи 1). Величину угла ß (см. рисунок) легко опре­ делить по данным задачи:

_о

Л sin а

,

COS р = .. .. .

......

У R2+

г2 —2rR cos а

 

после чего скорость катушки можно рассчитать по формуле

R

vR

Ѵ° Ѵа AB

I г — R cos a I *

При условии, что cos cc0 = r/R, выражение для величины v0 теряет смысл. В этом случае нить направлена вдоль касательной к внутреннему цилиндру, проведенной из точки В. При таком направлении нити ка­ чание без проскальзывания при заданной величине ѵ не­ возможно (см. предыдущую задачу). Если а < а 0, ка­ тушка катится вправо, при

аа0 — влево.

Найти величину а 0 можно

 

и не определяя величины

К задаче 5.

скорости

катушки. Чтобы

 

заставить

неподвижную катушку катиться по столу, нужно воз­

действовать на нее силой так, чтобы момент этой силы относи­ тельно мгновенной оси вращения В был отличен от нуля. Следовательно, если линия действия силы проходит через ось вращения В, чистое качение невозможно.

3 А Д А Ч А 6

Автомобили А и В движутся равномерно с одинаковыми ско­ ростями по прямым, пересекающимся в точке О дорогам 1 и 2. Определить минимальное расстояние между автомобилями, если известны их начальные положения (АО = а и ВО — в), скорость V и угол а между дорогами (см. рис. а).

РЕ ШЕ Н И Е

Взадачах на максимум и минимум всегда полезно с самого на­ чала убедиться, если это возможно, что искомый результат сущест­ вует. Обычно это подсказывает и основную идею решения. Следует, конечно, помнить, что всякое предположение нуждается в доказа­ тельстве. При решении задач мы будем иногда опускать наши ин­ туитивные соображения, полагаясь на сообразительность читателя.

1-й с п о с о б . Искомое

кратчайшее

расстояние

можно

определить расчетным путем.

Расстояние

между автомобилями

в момент времени t определим по теореме косинусов

 

R*AB — (a — vt)2+ (b — I’i f + 2 (a — vt) (Ъ — vt) cos a.

( 1)

15

Необходимо найти минимум величины R \ b как функции вре­ мени. Для этого воспользуемся следующим приемом: рассмотрим соотношение (1) как квадратное уравнение относительно величи­ ны t. Корни этого уравнения определяются соотношением t lі2 = = (а + b)/2u ± D 1!'1, в котором D есть дискриминант уравнения, равный

(а — 6)2 ( c o s a - l ) + 2i?^s

іѵ 2 (cos а -f-1)

Физический смысл корней следующий: если дискриминант неотрицателен, расстояние между автомобилями принимает одно и то же значение в два различных момента времени. Таким обра­ зом, искомое минимальное расстояние R 0, на котором автомобили

К задаче 6.

находятся только один раз (в момент времени t0 = (а + Ь)/2ѵ), достигается при D — 0. Тогда і?о = (а — Ъ)2 (1 — cos а)/2. Пред­ ставив выражение (1) в виде

R \ b = Щ + 2ѵ2(1 -f cos а) ^ t —

,

убеждаемся, что R ab За і?о-

движутся с одина­

2-й с п о с о б .

Поскольку автомобили

ковыми скоростями,

то в момент времени t'

— {а + Ъ) ѵ автомо­

били „поменяются“ местами, т. е. автомобиль А окажется на рас­ стоянии Ь от точки пересечения дорог, а автомобиль R — на рас­ стоянии а. Таким образом, в рамках поставленной задачи автомобй'ли равноправны, и можно догадаться, что в искомый момент времени автомобили должны быть симметричны относительно точки О, т. е. находиться от нее на одинаковых расстояниях. По­ пробуем проверить это предположение.

.Обратимся к рис. б и выясним, справедливо ли неравенство А 2В ^^~ -АхВі , если АуО =■ ВхО и А ХА 2 = ВХВ2. Построим парал-

1S

лелограмм А1В1В2С. Так как / \ С А гА 2 — равнобедренный,

то от­

резок А 2С параллелен

биссектрисе /_ А1ОВ1, т. е. А 2С

В2С.

Отрезки А 2В2 и СВ2 =

А1В1 являются, соответственно, гипотену­

зой и катетом прямоугольного треугольника СА2В2, что и доказы­ вает справедливость исходного неравенства, а значит, и нашего предположения. После этого нетрудно найти и величину кратчай­ шего расстояния между автомобилями.

3-й с п о с о б . Два предыдущих метода не лишены недо: статков: первый требует сравнительно громоздких выкладок, во втором нужно заранее угадать результат, что не удалось бы, если бы скорости автомобилей были различны. Предлагаемый дальше способ свободен от этих недостатков и позволяет без вычислений построить искомый отрезок и соответствующие положения авто­ мобилей.

Рассмотрим движение автомобиля В с точки зрения наблюда­ теля, находящегося в автомобиле А. Скорость такого движения равна, как известно, разности \ в — ѵа и постоянна по величине

инаправлению. Это значит, что относительно автомобиля А автомобиль В движется по прямой линии 3. На рис. в прямая 3 изображена пунктиром для того, чтобы подчеркнуть, что она нарисована в системе отсчета, связанной с автомобилем А. Сле­ довательно, автомобили находятся ближе всего друг к другу, когда автомобиль В проходит через точку В', являющуюся осно­ ванием перпендикуляра, опущенного из точки А на .прямую 3. Отрезок AB' равен искомому кратчайшему расстоянию между автомобилями.

Для того чтобы изобразить положение отрезка AB' в непод­ вижной системе отсчета, сместим его параллельно самому себе так, чтобы конец В' попал на дорогу 2. Таким образом, точки Ах

иВх являются искомыми положениями автомобилей.*

З А Д А Ч А 7

Вы находитесь на судне, которое идет с постоянной скоростью = 15 узлов ** (1 узел есть единица скорости, равная одной миле в час) прямолинейным курсом. Катер, идущий постоянным курсом со скоростью ѵ2 — 26 узлов, находится в шести милях южнее. Позднее он проходит точно у вас за кормой, причем в этот момент времени находится к вам ближе всего — на рас­

стоянии трех миль.

Найдите курс 'Судна. Какое время прошло между двумя мо­ ментами, указанными в задаче? Курсом судна называется направ­ ление его движения, отсчитываемое по часовой стрелке от направ­ ления на север.

*Вас не должно смущать, что на рис. б ив отрезки А 1В 1 имеют разную длину, так как чертеж б иллюстрирует решение отдельной вспомогательной

задачи.

**В морской практике скорость по традиции измеряется в узлах.

Р Е Ш Е Н И Е

Рассмотрим движение катера в системе отсчета, жестко свя­ занной с нашим кораблем и, следовательно, движущейся посту­

 

пательно со скоростью ѵх относительно

 

Земли. Скорость катера в этой системе

 

отсчета

'21

 

V , — V ,

постоянна

по

 

величине и

 

 

 

 

 

 

 

направлению, поэтому траек­

 

тория катера во введенной системе

 

отсчета является прямой (см. рисунок).

 

По условию наибольшее сближение

 

происходит в тот момент, когда катер

 

находится

 

у

нас

за

кормой,

т. е.

 

ѵ2і _[_ Ѵі - Поскольку АВу _|_ ВВ1,А Б 1 =

Н)

= AB 12, то

/,

АВВХ =

30°.

 

Л

Следовательно, курс нашего корабля

К задаче 7.

равен

300

 

или 60°.

Второму ответу

рисунке. Очевидно, что

соответствует

пунктирный чертеж

на

;21 = (ѵ\

— к!)1/2, поэтому искомый про-

межуток времени равен

 

 

 

 

 

 

 

 

Аг = ВВ1/ѵ21 — АВ/ѵ21cos 30°

20

мин.

 

З АД АЧ А 8

Из пункта А в пункты В, С и т. д. можно попасть одним из двух способов: 1) выйти сразу и идти пешком; 2) вызвать машину и, подождав ее определенное время, ехать на ней. В любом конкрет­ ном случае используется способ передвижения, требующий наи­ меньшего времени. При этом оказывается, что если конечный пункт отстоит от А на 1 км (пункт В), 2 км (пункт С), 3 км (пункт Д ), то требуется на дорогу не менее 10, 15, 17,5 мин соответственно. Скорости пешехода и машины, а также время ожидания машины неизменны.

Сколько времени потребуется, чтобы добраться до города Е , отстоящего от А на б км?

Р Е ШЕ Н И Е

Для рассуждений воспользуемся способом графического пред­ ставления движения. Возьмем прямоугольную систему координат и по оси абсцисс будем откладывать время, которое требуется на дорогу, а по оси ординат — расстояние от города А. Любое рав­ номерное движение изображается на такой диаграмме, как из­ вестно, отрезком прямой.

Нанесем на диаграмму данные задачи; им соответствуют три точки В, С и Д (см. рисунок). Можно проверить, что эти точки не лежат на одной прямой. Следовательно, использовались оба

18

Смотрите также файлы