Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.07.2024

Просмотров: 109

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рассмотрим случайную величину ц,'0(- \ Она равна

= -тг->

если только в момент времени, равный i\, ЦВМ( выдала

ложный

символ.

 

Допустим, что гипотеза Я 0 (t[) верна. Все ЦВМ{, показываю­ щие символ 0, объединим в одно множество, обозначим это мно­

жество через R0(t{).

Зададим р-процентный

уровень значимости

гипотезы # 0 (t'\),

например

5-процентный.

 

Вычислим значение

ЛОГ1, обозначим это значение

через х2 . т.' е.

 

 

Xs

= 7-.

•

(VI.22)

Статистика (VT.22) имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы. Используя таблицы распределения хи-квад­

рат

(см., например, [6]), определим значение

%р такое, что,

если

%2 >

/Ср. тогда гипотеза Hq

(t\) отвергается,

а это означает,

что

ложным символом является

1; если %~ •< %р> тогда гипотеза Яо (t{)

принимается, а это означает, что ложным-символом является 1. Указанная процедура проводится для всех ЦВМ, входящих в множество ,R0 (t[). Затем рассматриваются все ЦВМ, не вошед­

шие в множество R 0 (t{), для них проверяется гипотеза Нх (t{). Условия проверки гипотезы Нх (t{) аналогичны условиям проверки гипотезы Я о (t[).

Для получения окончательного решения D (t[) применим пра­ вило, названное правилом большинства составных решающих

правил.

 

 

 

 

 

 

Для проверки двоичных символов в точке

Г2 для каждой ЦВМ£

следует учесть, имелась ли ошибка в ЦВМ,

в момент времени,

равный t[. Если ошибки в момент времени t[ в ЦВМс

не наблюда­

лось, то

условия проверки

гипотез Я 0

(%>), Н\ (&)

аналогичны

условиям

проверки гипотез

Я 0

(ft), Нх

(Ц).

Если же в РУ опре­

делено, что в момент времени,

равный

t[, в

IIBMi

был ложный

символ, то при проверке ложности символа в ЦВМ в момент вре­

мени, равный tz, следует составить величину

(иг—их)

Э - 1 ,

имеющую распределение хи-квадрат с двумя

степенями

сво­

боды, т. е.

 

 

 

g = = " а - " !

=

 

(VI.23)

0!

0, •

V

'

Проверка гипотез Я 0 (to), Нх (t[) с помощью статистики (VI.23) проводится аналогично проверке гипотез Я 0 (t{), Я\ (t{) при использовании статистики (VI.22).

Таким образом, проводится идентификация двоичных символов в каждой точке последовательности (VI.20).

Приложение

ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛОВ

Пусть V (х) — некоторый функционал, зависящий от /г-мерного вектора х = (хи . . ., хп). Обозначим через Г = jx} множество векторов размерности п. Требуется определить минимум функ­ ционала

 

 

 

 

minV(x),

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

хб Q

•

 

 

 

 

 

где

Q — область допустимого значения

для

векторов

х.

Введение вспомогательного параметра. Для отыскания мини­

мума

функционала

(1)

воспользуемся

 

методом,

содержащимся

в [13].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть вектор х зависит от некоторого вспомогательного па­

раметра t£ [О, ool,

т.

е.

х =

х (t)

=

[хг

(t),

. . ., хп

(t)].

Рассмотрим систему

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

dxt

 

dV

,.

—

ч

 

 

, m

 

1Г

= -

Ж

( 1 = 1

' л

) .

 

 

(2)

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

 

где значение частных

производных

непосредственно вычисля­

ется и представляет собой правые части системы уравнений. Функция х (t), определяемая системой уравнений (2), дает

наиболее быстрое убывание функционала V (х). Действительно, принимая во внимание систему уравнений (2), получаем

п

 

dxi

dt

j^j

\ dxi

)

 

=1

 

i = i

 

 

Вместе

с тем

 

 

 

 

Таким

образом, для того

чтобы

найти

минимум функцио­

нала V (х),

достаточно задать

некоторое начальное приближение

системы (2), проинтегрировать

систему

(2)

любым численным ме­

тодом. На r-м шаге решения системы (2) получим значение х (tr). Так как каждый шаг интегрирования уменьшает значение функ­ ционала V, то

UmV(x(tr))

= mmV(x),

(3)

0 0

х 6 Г,

 

171

где T j — часть подмножества множества Г, зависящего от

на­

чального приближения системы (2). •

 

Относительно численного использования данного метода

за­

метим следующее:

 

1)выбор начального приближения зависит от специфики задачи;

2)шаг интегрирования системы (2) выбирается так, чтобы вы­ полнялось единственное условие: от шага к шагу функционал V должен монотонно убывать.

Введение вспомогательного параметра для отыскания экстре­ мума функционала содержится и в других работах (см., например,

[361). Однако метод, данный в [13], обладает преимуществами: простотой введения параметра; простотой алгоритма; примени­ мостью к любым функционалам; простотой реализации с помощью ЦВМ.

Приложение метода минимизации функционалов к решению билинейной системы алгебраических уравнений. Рассмотрим били­ нейную систему алгебраических уравнений

 

Yiati»xixi

= b »

(4)

 

и - *

 

 

 

где ails, bs—известные

числа;

xt-'(t* = 1, п) — неизвестные

эле­

менты.

 

 

 

 

Переходя к матричной

форме

записи, представим систему

(4)

в виде

 

 

 

 

x A s x '

= bs

(s — ТГт),

(5)

где х — n-мерный вектор; штрих означает транспонирование эле­ мента х; As — матрица размера п X п.

Не ограничивая общности, будем считать, что все элементы, входящие в систему (5), вещественны. Составим форму

 

 

 

 

т

[х А, х ' - & , ] * •

(6)

 

 

 

 

V ( x ) = £

Тогда система (5) эквивалентна условию V (х) = 0.

 

Определение.

Вектор х назовем

решением системы (5),

если

 

 

 

 

V(x) =

minV(x)

 

Из

данного

определения

следует:

 

1.

Если

V (х) =

0, то система

(5) совместна и xAs x'

= bs.

2.

Если

V (х)

Ф

0, то система (5) несовместна и х дает наилуч­

шее приближение для системы (5) в смысле среднего квадратического значения.

Для отыскания минимального значения функционала У (х) применим метод введения вспомогательного параметра [13].

172

Величина минимума функционала (3) зависит от начального приближения х„, поэтому интересно рассмотреть случай, когда

этой

зависимости

нет.

 

 

 

Теорема.

Если для системы уравнений (5):

 

1)

для

всех

/

bi

4= 0;

 

 

 

2)

для

всех

х 6 Г

формы

 

 

 

 

 

 

 

Х ( £ - £ ) Х ' ^ 0

( / < / ) '

 

 

 

 

 

 

А/

 

 

 

 

 

 

 

' х р - х' ^ 0 (it j — 1, т)

 

положительно

полуопределенны;

 

 

 

3)

ранг

матрицы,

полученный

из системы уравнений

 

 

 

 

 

-

fy) х' = 0

(i, j =

Ь М < / ) ,

(7)

меньше « ;

4) вектор х является ненулевым решением системы (7) и не является решением системы

 

 

 

 

 

 

£ - х ' = 0.

 

 

(8)

то вектор с 1 / 2 х,

где с —

 

нормирующая постоянная,

дает глобаль­

ный

минимум

функционалу

 

V.

 

 

 

Для доказательства следует рассмотреть вспомогательную

си­

стему

уравнений

 

 

'

 

 

(<'/=ГЯ »</).

 

 

 

Х

 

Х

=

0

(9)

Показать, что( ¥ - ^ )

 

 

 

 

 

 

 

функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выпуклы. Затем

показать,

что множество решений

 

системы

(9)

совпадает с множеством

 

решений системы (7).

 

 

 

Смотрите также файлы