Файл: Гущо Ю.П. Фазовая рельефография.pdf

для описания движения в слое термопластика можно использовать модель Кельвина — Фонта, которая рабо­ тает тем точнее, чем ближе температура проявления записи к температуре стеклования.

Таким образом, модели вязкого, упругого и упруго­ вязкого движения сред описывают поведение широкого класса материалов, применяемых в носителях записи. Поскольку модели Ньютона и Гука представляют собой частные случаи модели Фойта, мы рассмотрим задачу для этой более общей модели

В классической механике сплошных сред рассматривают три простых идеальных тела: твердое тело Гука, жидкость Ньютона и пластическое тело Сен-Венана. Эти тела можно представить с по­ мощью следующих механических моделей [Л. 63].

1. Тело Гука моделируют с помощью спиральной пружины, изо­ браженной на апс. 3-5,а. Согласно закону Гука ее удлинение А/ про-

Р1\Р

Рис. 3-5. Модели тела Гука (а), тела Ньютона (б) и тела Сен-Венана (в).

порционально приложенной к ней силе Р. Коэффициент пропорцио­ нальности между А/ и Р называют модулем упругости. Для несжи­ маемых сред, применяемых в рельефографии, модуль упругости равен утроенной величине модуля сдвига G. Закон Гука положен

воснову классической теории упругости.

2.Жидкость Ньютона моделируют с помощью цилиндра, напол­

ненного вязким маслом, в который с некоторым зазором вставлен поршень (рис. 3-5,6). Согласно закону Ньютона скорость удлинения пропорциональна приложенной к цилиндру силе Р. Коэффициент пропорциональности между скоростью удлинения и Р называют коэффициентом вязкости pi. Закон Ныотоиа является основой клас­ сической гидродинамики.

3, Тело Сен-Венана можно представить в виде элемента сухого трения, состоящего из груза, расположенного на горизонтальной по-

1 В дальнейшем слои, движение в которых описывают модели Фойта, Ньютона и Гука, для краткости будем называть упруговязки­ ми, ньютоновскими (вязкими) и упругими соответственно.

69

верхние™ (рис. 3-5,е). Для того чтобы сдвинуть груз, к нему необхо­ димо приложить силу Р, равную силе трения. Частицы среды, опи­ сываемой моделью Сеп-Венана, будут перемещаться друг относи­ тельно друга (материал потечет) только при нагрузках, больших определенного напряжения, называемого пределом текучести мате­ риала.

При напряжениях ниже предела текучести тело Сен-Венапа ведет себя как упругое.

Комбинации этих трех простых тел позволяют представить моде­ ли любых других сложных тел. Так, интересующую нас модель Кель­ вина—Фонта изображают в виде параллельно соединенных моделей

ческом описании проявления и стирания поверхностного рельефа и определении его формы сводится к простран­ ственной задаче о деформации поверхности упруговяз­ кого несжимаемого плоского слоя конечной толщины

в начальный момент скорости частиц жидкости равны нулю, заданы поверхностная плотность сил ро(х, у, z, t), плотность объемных сил F0(x, у, z, I) и начальное искривление свободной поверхности £о(*, у)-

В декартовых координатах линеаризованные уравне­ ния движения упруговязкой среды, которые получены нами из более общих тензорных уравнений, приведен­ ных в [Л. 64], имеют вид:

dt Р

о

(3- 1)

Р

о

дуг

dt Р

о

70

Сформулируем граничные условия. Считая движе­ ние среды медленным, амплитуды деформации малыми и искривления поверхности пологими, получаем на сво­ бодной границе (г = 0 ) следующие уравнения:

Условия (3-3) отражают равенство касательных на­ пряжений на свободной поверхности:

~ Р»*’ Рцъ ~ РоУ

Для нормальных напряжений на поверхности будем иметь Рпп — Рйг- Или в развернутом виде

+ dt = Р ^

Вуравнениях (3-1) —(3-7) приняты следующие

тяжести; р = Рг+gpz\ рг— гидродинамическое давление; а — коэффициент поверхностного натяжения.

71

Чтобы сформулировать задачу для ньютоновской среды, достаточно всюду в уравнениях (3-1) —(3-7) по­ ложить G=0.

Используя двойное преобразование Фурье по коор­ динатам х, у и преобразование Лапласа по времени t, задачу можно свести к обыкновенным неоднородным уравнениям с неоднородными граничными условиями. Решение этих уравнений находим затем относительно изображения скорости частиц uz. Применяя обратное преобразование к vz с учетом уравнения (3-5), получаем точное выражение для уравнения поверхности дефор­ мируемой среды, которое приведено в приложении 4.

внешних сил на деформируемый слой, если модель слоя описывается уравнениями движения Ньютона, Гука или Фойта. Полученное фундаментальное решение довольно сложно. Однако эта сложность объясняется не недостат­ ком метода решения задачи, а многообразием физиче­ ских явлений и факторов, которые в ней учтены. По­ следнее обстоятельство позволяет использовать эти ре­ зультаты при решении широкого класса практических задач рельефографии, причем в зависимости от кон­ кретных условий можно вводить те или иные упро­ щения.

Пространственная задача (3-1) —(3-7) о деформа­ ции поверхности вязкой и упруговязкой сред конечной толщины решена или хотя бы поставлена ранее не была. Однако в литературе рассматривались ее различные ча­ стные случаи. В приложении к изучению волн на воде для модели идеальной и ньютоновской жидкостей эта задача изучалась Стоксом, Лэмбом, Сретенским, Оборотовым, Никитиным и др.

Применительно к целям рельефографии частные слу­ чаи ее рассматривались для модели упруговязкой среды в [Л. 50, 54, 55, 65—68, 82], а для вязкой в [Л. 70, 79, 80].

3-3. Стирание рельефной записи

Воспользуемся результатами предыдущего парагра­ фа для изучения стирания рельефа.

При этом рассмотрим только стирание первоначаль­ но заданного рельефа, когда внешние силы отсутствуют.

72

Это случай особенно характерен для стирания рельефа с рифленых носителей и для стирания рельефа, нанесен­ ного с помощью электрического поля.

При заданном начальном рельефе t${x, у) и при от­ сутствии внешних сил [ро{х, у, i)= F0{x, у, z, /) = 0] из выражения (П4-1) получим точное уравнение (П5-1), описывающее стирание рельефа. Выражение (П5-1) можно упростить, учитывая ограниченный диапазон из­ менения физических параметров в рельефографии. В приложении 5 метод вычисления расчетных формул показан на примере ньютоновского бесконечно толстого слоя (d— ноо). Из анализа характеристического уравне­ ния (П5-3), в частности, следует, что деформируемый слой при d— >-оо работает как система, поглощающая энергию, в которой колебания поверхности практически отсутствуют. В слоях конечной толщины из-за влияния жесткой основы колебания поверхности должны зату­ хать в еще большей степени. Характеристическое урав­ нение отражает вид процессов линейной системы неза­ висимо от рода внешнего воздействия. Поэтому сделан­ ный вывод является общим и существенно облегчает исследование проявления и стирания рельефной записи.

73