Файл: Гусаров А.А. Балансировка гибких роторов с распределенной массой.pdf

реакции опор, снизить изгибающие моменты в роторе и обеспе­ чить сбалансированность последнего в некотором диапазоне ■скоростей.

Решение первой задачи опирается на решение второй и сво­ дится к обоснованию методики и системы измерений для практи­ ческого осуществления балансировки. Ниже рассматриваются только некоторые вопросы, касающиеся решения первой задачи. В основном же настоящая работа посвящена изложению иссле­ дований, связанных с решением второй задачи, содержащей, собственно, теорию балансировки гибких роторов.

Решение дифференциальных уравнений колебаний неуравновешенного гибкого ротора

Балансировка гибкого ротора должна проводиться с учетом формы его изгиба, вызванного силами инерции, меняющейся в за­ висимости от скорости. При этом следует учитывать близость рабочей скорости к критическим и формы упругой линии ротора при собственных колебаниях па этих скоростях. Для этого при­ ходится решать дифференциальные уравнения колебаний ротора с неуравновешенными массами, распределенными по его длине по тому или иному закону.

Важным обстоятельством, существенно облегчающим реше­ ние задачи балапсировки гибких роторов, является свойство ортогональности собственных форм колебаний, отмеченное еще А. Мельдалем [6]. В математической форме это условие запи­

где Z,. (s) — упругая линия ротора при критической скорости сог; Zn (s) — то же, при критической скорости со„.

Физически это условие означает, что работа сил инерции, распределенных по ?-й форме собственных колебаний на пере­ мещениях, соответствующих п-тк форме, равна нулю.

Отсюда следует, что любую распределенную по длине неуравно­ вешенность можно разложить на составляющие, соответствую-' щие формам упругой линии при собственных колебаниях. Каждая из этих составляющих вследствие условия ортогональности вызы­ вает вынужденные колебания только по своей форме. Баланси­ ровку гибкого ротора поэтому можно проводить раздельно по каждой из составляющих последовательно на каждой критиче­ ской скорости, где данная составляющая имеет преобладающее. значение п изгиб ротора происходит в основном по соответствую­ щей форме упругой линии. Балансировка, выполненная таким образом с помощью распределенных по длине масс, должна при­ вести к уравновешенности ротора на всех скоростях. Теорети­

9

ческие положения, высказанные Мельдалем, послужили основой, многих последующих методов балансировки гибких роторов по формам собственных колебаний.

Рассмотрим общую методику решения уравнений колебаний двухопорного ротора постоянного сечения (рис. 1.3) с равномерно распределенной массой и с непрерывно распределенной по длиненеуравновешенностью. При этом будем предполагать, что трение отсутствует, так как в работе [7] было показано, что в реальных машинах при отсутствии специальных демпферов на скоростях, не близких к критическим, практически можно не учитывать влияние трения.

Р п с. 1.3. Гибкий ротор с распределенным дисбалансом

Дифференциальное уравнение колебаний ротора в комплекс­ ной форме может быть получено на основании известного соотно­ шения ElzІѴ = q.

Функцию распределения неуравновешенных масс можно раз­ ложить в ряды по формам колебаний ротора, которые для случая жестких шарнирных опор выражаются функциями синуса раз­ личной кратности

Фаза каждой гармоники определяется фазой соответствую­ щего комплексного множителя.

С учетом разложения (1.5) дифференциальное уравнение коле­

10

Это уравнение решается. с помощью подстановки

оо

подставляя которые в выражение (1.6) получаем

ОО^2

Здесь А, В, С, D — произвольные постоянные, определяемые из ■соответствующих граничных условий; 5 (/cs), Т (ks), U {ks), V {ks) — функции А. Н. Крылова, представляющие линейные ■комбинации тригонометрических и гиперболических функций:

11

Функции А. Н. Крылова обладают следующими свойствами:

комплексной величиной к = р А іа и а мало, функции А. Іі. Кры­ лова с точностью до величин первого порядка малости можно вы­ разить через функции от действительного параметра в виде

Функция Ф (s) в выражении (1.12) представляет частное реше­ ние при нулевых начальных условиях, равное

S

Ф(а)

о

где q (s) — внешняя возмущающая сила, равная в рассматривае­ мом случае

q (s) = k4p(s) exp i ¥ (s).

Подставив в выражение (1.12) значения найденных с учетом гра­ нитных условий произвольных постоянных и умножив получен­ ное выражение на временную функцию ехр (іш£), получим иско­ мое решение (1.9) дифференциального уравнения колебаний ро­ тора.

Рассмотренное уравнение (1.4) и его решение применимы для однопролетного ротора постоянного сечения с непрерывно распре­ деленной нагрузкой при отсутствии в пролете сосредоточенных сил.

Для ротора с изменяющимися по длине величинами попереч­ ных сечений или нагрузки, а также для многоопорных роторов не­ обходимо ротор разбивать на несколько участков. Границами' участков служат сечения, в которых либо меняется размер попе­ речного сечения гп (момента инерции І пи погонной массы тп), либо' расположена опора, либо приложена сосредоточенная сила или изменяется нагрузка. В пределах каждого участка величины поперечного сечения, погонной массы, момента инерции и нагруз­ ки полагаем неизменными. Длину »-го участка обозначаем Іп.

Для каждого участка составляем уравнения типа (1.4), причем начало координат каждый раз переносится на границу участка. Записывая в форме (1.12) решения уравнений (1.4) для каждого участка, получим п уравнений упругой линии ротора по участкам.

где К = mn(a2/EIn.

Произвольные постоянные A n, Bn, Cn, D n определяются из: условий сопряжения на границах участков и на опорах.

12