Файл: Гришанин К.В. Устойчивость русел рек и каналов.pdf

числе местных, которые с точки зрения общей направленности процесса представляются случайными. В формирование рельефа дна случайность вносится турбулентностью. Развитие крупных форм, таких как морфологические пары плёс—перекат, извилины и разветвления русла, подвергается воздействию случайностей со стороны колебаний стока, состава аллювия, вариаций рельефа ме­ стности и растительного покрова и т. д. Вследствие этого и сами формы русел с характеризующими их параметрами носят случай­ ный характер. Размеры и скорости перемещения рифелей, гряд, побочней, перекатов, извилин представляют собой случайные ве­ личины и должны описываться в статистических терминах.

Статистический подход к описанию крупных русловых форм

те же 1—2 порядка различаются и длины мелкомасштабных и крупномасштабных волн. Различие в скоростях перемещения еще больше.

Изменяемость русловых форм всех масштабов обусловлена са­ мой природой руслового процесса. Быстрее меняются малые формы, медленнее — крупные.

Таким образом, устойчивость возрастает с ростом масштабов, но никогда не делается полной. Устойчивость, о которой заботится инженер, всегда относительна — она может сохраняться лишь на участках ограниченной длины и в течение ограниченного времени. Это время будет тем больше, чем лучше данный участок «защи­ щен» от случайных воздействий любой природы. Прямолинейная плёсовая лощина с формой, близкой к цилиндрической, и незатоп­ ляемыми берегами, как показывает опыт, может сохраняться почти

9

без изменений (не считая сезонных колебаний высоты дна) в те­ чение десятков и даже сотен лет. Ее «защищенность» от случай­ ных воздействий существенно связана с ее ограниченной длиной (редко более 10—15 ширин русла). Нельзя рассчитывать на то, что плёсовая лощина вдвое большей длины будет столь же устойчива, поскольку увеличение длины означает увеличение вероятности встретиться с местной неоднородностью грунта, с впадением оврага и т. д.

Недостаточная «защищенность» участка от случайных воз­ действий ведет к резкому снижению сроков устойчивости. Пока­ жем это на следующем примере. Пусть рассматривается прямоли­ нейный участок русла с развитой двусторонней поймой. Пока по­ ток находится в меженном русле, течение близко к равномерному

иучасток устойчив. Затопление поймы осложняет гидравлику по­ тока и делает судьбу участка менее определенной. Известно, что при сильных затоплениях поймы взаимодействие между русловым

ипойменным потоками часто приводит к крупным непредсказуе­ мым переформированиям. Пусть в нашем случае вероятность силь­ ного затопления поймы в период весеннего половодья равна 0,1 (средняя частота 1 раз в 10 лет). Связывая с этим событием на­ рушение устойчивости участка, мы должны считать, что вероят­

ность сохранения устойчивости в течение одного года равна 0,9. С помощью биномиального распределения легко найти, что для пя­ тилетнего периода эта вероятность составит 0,59, а для десятилет­ него— лишь 0,35.

Функция, выражающая вероятность того, что время сохранения

называется функцией надежности. Приведенные в нашем примере вероятности 0,9; 0,59; 0,35 есть значения функции F(t). Представ­ ление оценок устойчивости русла в виде функций надежности яв­ ляется тем решением задачи, к которому следует стремиться, хотя, по-видимому, это не всегда будет осуществимо.

§1.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ОТНОШЕНИЮ

КМАЛЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

Во многих гидравлических лабораториях наблюдалась следую­ щая картина. Если установившийся равномерный поток движется в лотке по ровному песчаному дну со скоростью, немного большей неразмывающей, влекомые потоком наносы вскоре после начала опыта начинают в некоторых местах накапливаться, образуя попе­ речные валики. С тыловой стороны валиков развивается эрозия дна. Валики быстро растут в высоту, столь же быстро углубляются их подвалья, и по прошествии короткого времени дно становится волнообразным. Можно искусственно вызвать этот процесс при ско­

10

ростях, меньших неразмывающеи, т. е. когда наносы еще не дви­ гаются, если положить на песчаное дно металлическую линейку.

В другой разновидности опытов вода пускается по сделанной

вслое песка прямолинейной борозде. С какой бы аккуратностью не была проложена борозда, через несколько часов после пуска воды

вней появляются местные углубления и местные скопления нано­ сов, берега начинают искривляться. По прошествии 3—4 суток на месте прежней борозды можно наблюдать сделанную потоком мо­ дельную реку с извилистыми берегами, с перекатами и плёсовыми лощинами.

Аналогичный процесс, но в гораздо более крупных масштабах длины и времени развивается после ввода в эксплуатацию неук­ репленного канала. В начальный момент с возможной для прак­

тоичивости —^ - = 0. С помощью отстойников в голове канала пред­

отвращено поступление в канал наносов русловых фракций. Есть как будто все основания считать, что канал не будет деформиро­ ваться. Однако по прошествии короткого времени по дну канала начинают перемещаться гряды, затем обнаруживаются деформа­ ции крупного масштаба: обрушения берегов, местные размывы, формирование кос. Если крупные повреждения не исправить, они разрастаются еще больше, и канал приобретает формы, все более приближающиеся к формам естественных русел — с чередующимися сужениями и расширениями, плёсами и перекатами.

Все три рассмотренных примера говорят об одном и том же. Они показывают, что равномерный водный поток и сложенное из несвязного грунта прямолинейное, призматическое русло с ровным дном составляют неустойчивую механическую систему. Малые воз­ мущения, которые никогда нельзя предотвратить и вначале даже заметить, способны нарастать, необратимо переводя систему по­ ток—русло в существенно иное состояние. В таком виде задача об устойчивости русла входит в круг задач, рассматриваемых класси­ ческой теорией устойчивости движения.

Исследование вопроса об. устойчивости ведется в этой теории по следующей схеме: на движение, которое нас интересует (как правило, установившееся), накладывается в момент времени t= 0 некоторое малое возмущение. Далее ищется, как будет вести себя возмущенное движение во времени.

Применительно к движениям, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений (т. е. имеют одну не­ зависимую переменную — время), строгое определение устойчиво­ сти было дано А. М. Ляпуновым [28]. Формулируя определение Ляпунова в качественном виде, говорят, что исходное невозмущен­ ное движение устойчиво, если при достаточно малых начальных возмущениях возмущенное движение будет сколь угодно мало от­ личаться от невозмущенного. Если при f-»-oо возмущения затухают и движение возвращается к своему исходному состоянию, это ис­ ходное состояние называется устойчивым асимптотически. Если

11

с течением времени возмущенное движение отходит от невозмущен­ ного, как бы малы ни были начальные возмущения, исходное не­ возмущенное движение неустойчиво [32].

Для движений, описываемых уравнениями в частных производ­ ных, строгого определения устойчивости не имеется. Главным сред­ ством решения задач гидродинамической устойчивости служит ме­ тод малых колебаний, носящий приближенный характер. Основы метода малых колебаний составляет линеаризация уравнений воз­ мущенного движения и задание начальных возмущений в форме периодических функций координат пространства и времени. Каж­ дый, из элементов г/ь г/2........ Ук, ■■., Уп возмущенного движения (компоненту скорости, давление, высоту свободной поверхности и т. д.) можно представить в виде суммы значения ум этого эле­ мента в исходном невозмущенном движении и наложенного возму­ щения

У * = У ім+ У * , У * « У й о -

Отбрасывая в уравнениях возмущенного движения члены, со­ держащие произведения малых величин i/h (в частности, на самих

себя), получаем уравнения, линейные относительно возмущений. Поскольку любое возмущение может быть представлено разложе­ нием в ряд Фурье, периодическая форма возмущений не нарушает общности решения. Чтобы облегчить расчеты, величину возмуще­ ния считают комплексной.

Проследим за общим ходом решения в простейшем случае пло­ ского течения вдоль оси х. Величина возмущения напишется (под­ строчный индекс у обозначения у' опускаем) в виде

Из уравнения (1.5) следует, что вопрос об устойчивости исход­ ного невозмущенного движения решается знаком мнимой части комплексной фазовой скорости. Если сг> 0, возмущение будет сте­ чением времени экспоненциально нарастать — исходное движение окажется неустойчивым. Если щ <0, возмущение будет экспоненци­ ально затухать — исходное невозмущенное движение устойчиво. При сг- = 0 будем иметь нейтральные волны — не нарастающие и не затухающие.

12