Файл: Гришанин К.В. Устойчивость русел рек и каналов.pdf

Знак величины С; определяется в результате подстановки ве­ личины

У — Уо~гУ — Уо-}-яеій(Л с J

в линеаризованное уравнение возмущенного движения. Решающее значение при этом имеет инвариантность показательной функции по отношению к операции дифференцирования. В силу этого свой­ ства величина exp [ik(x — с£)] оказывается общим множителем всех членов линеаризованного уравнения и сокращается. Остаю­ щееся выражение — дифференциальное или алгебраическое — дает возможность определить с, а значит и с*.

Будучи успешно применен в ряде задач гидродинамики, метод малых возмущений оказался плодотворным и в работах по началь-

пой устойчивости подвижного дна. Наряду с этим приходится пом­ нить о его приближенности и проверять результаты расчетов опыт­ ными данными. Критический анализ современного состояния тео­ рии гидродинамической устойчивости содержится в книге

Н.А. Картвелишвили [22].

Вбольшинстве случаев расчеты показывают, что неустойчивость

развивается лишь в определенном интервале длин волн Я, а вне этого интервала движение устойчиво. Поясним это на физическом

примере.

Пусть в результате неточности, допущенной при планировке откосов неукрепленного канала, один из берегов имеет выступ со стрелой a < ß (рис. 1.2). Для простоты положим, что очертания выступа плавные и он обтекается без отрыва. В зависимости от протяжения выступа вдоль потока возможны три случая.

13

1. Длина выступа Я имеет порядок а и, следовательно, также мала по сравнению с шириной канала В (рис. 1.2 а). В этом слу­ чае малыми (порядка а) будут и радиусы кривизны струй, обте­ кающих выступ. Поэтому возмущение, вносимое в поток выступом, локализуется в его непосредственной близости. Здесь произойдет местное увеличение скорости течения, выступ будет постепенно смыт, деформаций канала не произойдет.

2.Протяжение выступа по потоку Я имеет порядок ширины ка­ нала В (рис. 1.2 6). В этом случае будет наблюдаться общее ис­ кривление всего потока. Под действием центростремительного ускорения разовьется радиальное течение, начнется размыв проти­ воположного берега, вдоль выступа станут откладываться наносы. Эти деформации будут усиливать искривление струй, возмущение будет нарастать, и устойчивость канала окажется нарушенной.

3.Длина выступа вдоль потока велика по сравнению с ши­ риной канала. Кривизна берега будет при этом столь незначи­ тельна и в соответствии с ней структура потока изменится так мало, что деформация русла и нарастание возмущения будут идти медленно. Весьма вероятно, что это слабое возмущение, не успев развиться, будет подавлено каким-нибудь новым, более сильным возмущением.

Таким образом, «опасны» для устойчивости канала возмущения

сдлиной волны порядка ширины потока В. Возмущения со зна­ чительно меньшими и значительно большими длинами волн не угрожают устойчивости канала.

Первая работа, в которой метод малых возмущений был приме­ нен к задаче о начальной устойчивости подвижного дна, принадле­ жит Д. Картрайту [60]. В ней рассматривалось формирование гряд

на морском дне под действием ливных течений. Вслед за ней по­ явились работы, посвященные начальной устойчивости дна рус­ ловых потоков: Дж. Ф. Кеннеди [78], К. Ашида [55], А. Рейнольдса [90], Н. Б. Кереселидзе [23], М. Градовжика [70], Дж. Кеннеди [79], Р. Калландера [59], Т. Хаяши [73], Дж. Смита [93], Ф. Энгелунда [64], Ф.. Энгелунда и И. Фредсо [65], Ф. Энгелунда и

О.Сковгора [66].

Вработах Кеннеди, Хаяши, а также Энгелунда и Фредсо ис­ пользована модель потенциального течения идеальной жидкости, во всех остальных работах — модель течения с трением. Большин­ ство авторов ограничилось рассмотрением коротковолновых дву­ мерных возмущений поверхности дна, т. е. тех возмущений, кото­ рые кладут начало плоским грядам и антидюнам. Устойчивость дна относительно трехмерных коротковолновых возмущений в области больших чисел Фруда исследована в работе Энгелунда и Фредсо. Трехмерные донные формы рассматривал также Рейнольдс, однако эта часть его работы имеет целью классификацию развитых дон­ ных форм и лишь косвенно затрагивает вопрос об их возникно­

вении.

Устойчивость руслового потока в плане относительно возмуще­ ний с большими длинами волн исследовал Калландер, а также Эн-

14

гелунд и Сковгор. Эта задача актуальна в связи с процессами меандрировашія и ветвления русел. Н. Б. Кереселидзе отдельно рас­ смотрел двумерные возмущения дна и двумерные возмущения бе­ регов.

Исходные положения и приемы анализа явления у указанных авторов во многом различны, однако в том, что касается развития коротких двумерных волн (плоских гряд и антидюн), в работах этих авторов намечаются контуры единой теории. Основную роль в создании этой теории сыграли работы Кеннеди, Рейнольдса и Энгелунда. Проблема устойчивости русла по отношению к длин­ новолновым возмущениям, представляющая непосредственный практический интерес, в связи с ее чрезвычайной трудностью раз­ работана пока очень мало.

С методологической точки зрения заслуживает внимания боль­ шой успех, который выпал в решении задачи о начальной устойчи­ вости дна на долю методов динамики идеальной жидкости. Полу­ ченные по этим методам основные результаты Кеннеди оказались в хорошем согласии с опытом и не были поколеблены теоретиче­ скими исследованиями более сложных моделей, учитывающих силы^ трения в жидкости.

§ 1.5. СОДЕРЖАНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Закончив обзор современного состояния проблемы устойчивости русла, попытаемся сформулировать содержание проблемы. Это необходимо потому, что иногда приходится встречаться с недоста­ точно ясным пониманием ее состава и границ.

Логически первой частью проблемы является вопрос о началь­ ной устойчивости плоского подвижного дна по отношению к ко­ ротковолновым двумерным и трехмерным возмущениям. Это во­ прос о происхождении рифелей, гряд и антидюн. Далее следует вопрос об устойчивости плоского подвижного дна и прямолиней­ ных деформируемых берегов относительно трехмерных возмущений с большими длинами волн, другими словами, вопрос об общей устойчивости призматического русла. Оба этих вопроса удобно объединить под названием задач о начальной устойчивости. Реше­ ние этих задач основывается на методе малых возмущений.

Следующую часть проблемы составляют вопросы устойчивости развитых, т. е. получивших естественные формы речных русел и эксплуатируемых каналов. Под устойчивостью здесь понимается недеформируемость ограниченного участка русла в течение ограни­ ченного времени. Это та устойчивость, которая чаще всего интере­ сует инженера. Задачи этого рода назовем задачами о врёменной устойчивости. К ним непосредственно примыкает вопрос о факто­ рах, определяющих интенсивность русловых деформаций. Можно спорить о принадлежности этого вопроса к проблеме устойчиво­ сти, но интересы практики требуют рассматривать его в связи с за­ дачами о врёменной устойчивости. Решение задач о врёменной устойчивости можно вести, применяя детерминистические методы

15

скорость в живом сечении; С — коэффициент Шези; Zs= z w—Н — средняя высота дна; Qs —-объемный расход наносов в плотном теле; S = Qs/Q — средняя концентрация транспортируемых нано­ сов; е — коэффициент пористости донных отложений. Члены урав­ нения движения (2.1) отнесены к единице веса жидкости.

Ширины естественных русел, а также больших и средних кана­ лов всегда велики по сравнению с их глубинами: В^>Н. Учтя это условие, а также приняв во внимание малость концентрации S, мо­

Если русло не деформируемое, движение потока полностью опи­ сывается уравнениями (2.1) и (2.2). Система (2.1) и (2.2) известна под названием уравнений Сен-Венана. При отсутствии колебаний стока уравнения Сен-Венана вырождаются в систему уравнений установившегося неравномерного движения:

UBH— Q =const.

Если русло деформируется, то со строгой точки зрения даже при неизменяющемся стоке движение воды в реке неустановив­ шееся. Однако вследствие того, что расход наносов Qs на несколько порядков меньше расхода воды Q, иестационарность движения, производимая деформациями русла, так слаба, что ею всегда мо­ жно пренебрегать.

Таким образом, если расход воды во входном сечении данного участка реки не меняется, уравнения установившегося движения (2.6) действительны как в жестком, так и в деформируемом русле.

Исходная общая система уравнений (2.1) — (2.3) содержит шесть неизвестных функций продольной координаты и времени: zw, U, Н, В, С и Qs (при желании, вместо zw, U, Н, Qs можно считать неизвестными Zs, Q, ы, S). Коэффициент пористости е, входящий в уравнение деформации, предполагается постоянным (для песков е~У з). В действительности, если грунт неоднородный, это не со­ всем так. При размыве дна за счет выноса мелких частиц вели­ чина е немного возрастает, при намыве, когда промежутки между крупными частицами заполняются мелкими, величина е снижа­ ется. Однако эти вариации значений е лежат, по-видимому, за пре­ делами точности расчетов.

18