Файл: Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие.pdf

то количество различных переключательных функций от п пере­

Вбулевой алгебре функции от двух переменных играют очень важную роль, так как используя принцип суперпозиции, из них можно построить любую булеву функцию (переключательную функцию). Выше приведены все 16 булевых функций от двух переменных

(табл. 4-2).

Втабл. 4-1 был приведен пример задания полностью определен­ ной трехместной булевой функции. Если значение функции не оп­ ределено хотя бы на одном наборе значений аргументов, то говорят, что функция задана (определена) не полностью, что она является частичной булевой функцией, а ее таблица соответствия — непол­ ной. Табл. 4-3 является неполной таблицей соответствия, ибо бу­ лева функция не определена на наборах (010) и (101), что обозна­ чено символом Ф.

Если частичная булева функция описывает работу какой-то

релейной схемы, то ее неопределенность в некоторых точках может являться следствием наличия не используемых или безразличных состояний выхода схемы. Неиспользуемые или безразличные со­ стояния принято называть «условными состояниями».

Условные состояния дают возможность соответствующим обра­ зом распределить функцию. Положив по тем или иным соображе­ ниям Ф = 0 или Ф = 1, тем самым распределим функцию, т. е. превратим ее из частной в полностью определенную.

Таблица соответствия дает возможность получить формулу функции. Формула — это другой способ задания функции. Выра­ жения вида:

78

или

являются формулами. Вместо формы записи формулы (4.2), часто

применяют следующую: хгх0 -f х 2х3. При этом учитывают следую­ щий порядок выполнения операций: 1) операция инверсии; 2) опе­ рация конъюнкции; 3) операция дизъюнкции. Такой очередности необходимо придерживаться в формулах, представленных с по­ мощью операций конъюнкции, дизъюнкции и инверсии.

Формулы булевой алгебры называются равносильными, если они задают одну и ту же булеву функцию, т. е, если функции, за­ даваемые этими формулами, принимают одинаковые значения на всех возможных наборах значений их аргументов. Представление булевой функции формулой легко дает возможность вычислить значение ее в определенной точке.

[ ( О - М )^ !] V (1_AJ) = 1. 1

1

1

§ 3. ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗИ

Из одного или нескольких высказываний, принимаемых за про­ стые, можно составить сложные высказывания. Объединение про­ стых высказываний в сложные производится без учета смысла этих высказываний. Для объединения простых высказываний в сложные применяются логические связи. В качестве основных связей в логической алгебре применяются следующие:

Логическое отрицание

Для определения смысла любых логических связей здесь и в дальнейшем будем составлять таблицы истинности, полагая «ис­

79

0 = 1 = 0 ,

T = o = i.

Логический элемент, реализующий отрицание (инверсию), назы­ вается элементом «не» или инвертором (рис. 10). '

Логическое произведение (конъюнкция)

Логической конъюнкцией называется такая логическая связь двух или нескольких простых высказываний, при которой сложное событие истинно лишь тогда, когда все простые высказывания ис­ тинны, и ложно всегда, когда хотя бы одно из входящих в конъюнк­ цию высказываний ложно.

Конъюнкция обозначается символом Д, - , &, х .

Л Д В = Л Х В = Л - В = Л & В .

Читается эта запись как «А и В», а сами знаки — «и». Таблица ис­

подставляя в различные комбинации значение Л и В (0 и 1).

4 x 0 = 0,

А х 1 = Л,

Лх Л = Л,

Лх А = 0.

Логическое произведение подчиняется переместительному и со­ четательному законам:

ется «и» — схема совпадения, или вентиль. Условно логический элемент обозначается (рис. 11).

8 0

Логическая сумма высказываний (дизъюнкция)

Дизъюнкцией высказываний называется такая логическая связь (сложное высказывание), которая истинна всегда, если истинно хотя бы одно из простых высказываний, составляющих дизъюнк­

Из определения дизъюнкции и таблицы истинности вытекает справедливость следующих соотношений:

Л + 0 = Л, Л + 1 = 1,

Л + Л = Л, Л + Л = 1.

Дизъюнкция подчиняется переместительному и сочетательному законам (т. е. обладает свойством коммутативности и ассоциатив­ ности):

Л\! В = В V Л,

лV (В V С)= (А V в) V С.

Логический элемент, реализующий дизъюнкцию, называется «или» (собирательная схема) и обозначается как на рис. 12.

Равнозначность двух высказываний

Равнозначностью двух высказываний н а'зывается сложное вы­ сказывание, истинное тогда, когда значения истинности составляю­ щих высказываний одинаковы, и ложно в противном случае.