Файл: Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие.pdf

Скачать файл (6,14Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.07.2024

Просмотров: 96

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Равнозначность обозначается символом «—» например А ~ В читается как «Л равнозначно В». Пользуясь определением, соста вим таблицу истинности этой связи (табл. 4-7).

			Т а б л и ц а	4-7
	А	В	А ~ В
	0	0	1
	0	1	0
	1	0	0
	1	1	1
Из таблицы истинности непосредственно вытекает следующее
соотношение:	А ~ 1 = А .		Л ~ 0 = Л.
Отрицание равнозначности (сумма по модулю 2)
О т р и ц а н и е м		р а в н о з н а ч н о с т и		называется пе

реключательная функция, которая принимает значение, равное 1, тогда, когда з н а ч е н и я аргументов различные. Обозначается символом А — В или зн ак о м ь ; отрицание равнозначности может

Рис. 14

быть получено из р а в н о з н а ч н о с т и путем применения к ней

операции	инверсии
		А — В = Ат=^В или ( Л@В);
читается	«Л неравнозначно В».		Таблицей включений является
табл. 4-8.		Т а б л и ц а 4-8	Обозначение неравнознач
		Т а б л и ц а 4-8	Обозначение неравнознач
А	в	2— А ^ В	ности показано на рис. 13. Из
А	в	2— А ^ В	таблицы истинности вытекают
			следующие соотношения:
0	0	0	А ~ В = В ~ А ,
0	1	1	А ~ В = В ~ А ,
0	1	1	А ~
1	0	1	А ~	1 = Л,
1	1	0	Л ~ 0	= Л.
			Л ~ 0	= Л.

Путем непосредственной проверки по приведенной таблице ис тинности легко убедиться в справедливости зависимости

	Л ~ В = ( Л ~ В ) ~ 1.
В самом деле, 1 —	1	= 1;
( 1 ~ 1 ) ~ 1 =	1	или 1 ~ 0 = = 0 и ( 1 ~ 0 ) ~ 1 = 0 .

Равнозначность может быть реализована простейшей контактной

	схемой (рис. 14; табл. 4-9).
Т а б л и ц а 4-9	Условие — нажато А, В = 1,
________________________________	отжато А, В = 0.

Вход	А =	1	В =	1	Выход
					+ Е	(1)
				г =
Вход	А = 0		В = 0		Выход
					+ В	(1)
				2 =
Вход	А =	0	В =	1	Выход
						(0)
				г = 0
Вход	А =	1	в =	о	Выход
					г =	0

Импликация двух высказываний

Импликацией двух вы сказываний называется та кое сложное высказыва ние, которое ложно в том случае, когда А истинно, а В ложно.

	Т а б л и ц а 4-10
А	в	А^В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Импликация двух высказываний обозначается, например, А --> В; читается как «если А, то В». Импликация не имеет смысла связей между причиной и следствием, т. е. из истинности А не сле дует обязательная истинность В. Наоборот, для истинности импли кации достаточно ложности А.

Пользуясь определением, составим таблицу истинности импли кации 4-10.

Несовместимость двух высказываний (связь Шеффера)

Связью Шеффера называется такое сложное высказывание, ко

торое л о ж н о		в том и только в том случае, когда оба составляю
щих	высказывания			и с т и н н ы .	Связь	Шеффера	обозначается
А!В	и читается		как «Л не
совместно В».						Т а б л и ц а 4-11
Пользуясь		определением,

составим таблицу			истинности		А	в	А/С
4-11.
		связь Шеффе
Логическая					0	0	1
ра играет важную роль в тео
рии ЭЦВМ и в теории логи					0	1	1
					1	0	1
ческих схем.		Все		другие
					1	1	0
логические связи			могут быть

6 *

выражены через связь Шеффера, а схема, реализующая связь Шеффера, является универсальным функциональным элементом, при помощи которого могут быть построены любые функциональ ные схемы счетных и управляющих блоков машины. Это универ сальная операция, которая реализуется схемой «И — НЕ».

К	универсальной операции относится стрелка Пирса, А \| В
(Л ±	В). Эта операция реализуется схемой «ИЛИ — НЕ».

Эти операции универсальны потому, что любая из трех опера ций «И», «ИЛИ», «НЕ» может быть получена с помощью «И—НЕ»

и«ИЛИ—НЕ».

1.а-а — а

2. (a-b)-(a-b) = (a-b) = a-b по закону полноты

3. (a-a)-(b-b) — a-b = A ^ b —a ^ b по правилу де Моргана.

Логический элемент, выполняющий функцию «И—НЕ» или, «ИЛИ—НЕ», может выполнить новые элементарные функции «И», «ИЛИ», «НЕ».

§ 4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ

Практический интерес представляет вопрос, как из сложной логической формулы получить более простую, но обладающую та кими же свойствами (с точки зрения воздействий и результатов), что и сложная.

Как было сказано выше, аргументы и функции булевой алгебры являются двоичными величинами. Поэтому вместо любой ее буквы можно подставить как независимую переменную, аргумент, так и

переменную, являющуюся функцией других переменных:
х0 = (а ~ Ь)	с, x1 = ( a / \ c ) ~ ( d ^ « ) ,	(4.5)
x2 = q ^ e ,	xs = f \ J q .

Здесь х 0, х г, х 2, х3 рассматриваются как булевы функции аргу ментов а, Ь, с, d, е, /, q. Подставляя эти функции в уравнение вместо х 0, x lt х 2, х3, получим формулу

{[(а Д с ) ~ (d <- е)] -+ (a?^b) - с)) ~ [ ( q ~ ё) V (/ V Ф А !)•

(4-6)

Полученная формула (4.6) является результатом применения принципа суперпозиции, т. е. подстановки булевых функций вместо аргументов в другую булеву функцию. С помощью принципа супер позиции можно построить любую булеву функцию.

В математической логике разработаны приемы замены одних частей формулы другими, равноценными им по результатам. Пере чень таких взаимозамен называется «законом». Ниже будут рас смотрены эти законы в пределах алгебры логики, первого раздела математической логики. Будем пользоваться не формальными до

казательствами теорем, а рассмотрением наглядных дискретных контактных схем.

1.	Двойное отрицание
_		Двойное отрицание равносильно ут-
_	А	верждению:
А =	А	«Контакт не	замкнут» — значит				он замк
		нут. Или: если		1	==_0,	а 0 = 1.	Таким об
		разом 1 = 0	=	1;	0 =	1 = 0.

	2. Переместительный (коммутативный) закон
а) А / \ Б = Б / \ А
А - Б -		Б - А	Если, например, поменять в последо
			вательной цепи контакты местами, то все
			равно ток потечет лишь тогда, когда на
б)	А +	Б = Б 4- А	жаты обе кнопки. По этой же причине
			очевидно, что ток потечет по цепи при усло
А	V Б = Б ]/ А		вии, когда нажата хотя бы одна из кнопок.

3.	Закон	повторения (тавтологии)
а) А + А = А
А V А == А		Две	параллельно		включенные кнопки
		при их общем нажатии ведут себя точно
		так же,	как одна кнопка,			т. е. (рис. 14, б,
		в; схема б равноценна схеме в).
		Примечание. На всех рисунках для простоты
		одной и	той же буквой обозначены и кнопка
		и все связанные с ней контактные перемычки.
		Отливается		только тип	связи— утверждение,
		или отрицание, что проявляется в том, прижи
		мается ли контактная перемычка к контактам
б) А Л А — А		при нажатии ее кнопки или отходит от них.
		Последовательная цепь из двух кнопок,
		нажимаемых		и отпускаемых		одновременно, ве-

А -А =	А			дет себя так же, как цепь из одной кнопки (схема
				рис. 15, а. равноценна схеме рис. 15,	б).
4.	Законы нулевого			множества
а) А +		0	— А	Это логическая константа,	например,
А V		0	= А	навсегда разомкнутый (скажем, сломанный)

					контакт, независимый			элемент системы
					в состоянии «О». Тогда неважно, стоит он
					параллельно		А или	нет, на	результате
					это не скажется, и лампочка будет гореть
					или не гореть лишь в зависимости от со
	А -0 =				стояния контактной перемычки А (рис. 16,о)
б)	А -0 =		0		Это значит, что если в последовательной
					цепи есть постоянный разрыв «О», то неза-
	Л Д	0 =		0	висимо от нажатия или ненажатия кон
					такта	А ток	в цепи не течет (рис. 16, б).
	5. Законы				универсального	множества
а)	А +	1	=	1	Это тоже логическая константа, напри
	Л V	1	=	1	мер,	такой	контакт,	который	постоянно
								6)

			)Л=А	Л*1		I ЛшО
			)Л=А			I ЛшО
		Рис.	17	Рис. 18
			замкнут,	т. е. независимый элемент си
			стемы в состоянии «1». Тогда ток по цепи
			через этот контакт будет течь постоянно,
			независимо от состояния контактов пере
			мычки Л	(рис. 17, а).
б) Л • 1	=	Л	Если	в последовательной	цепи	один
Л Д	1	= Л	контакт	постоянно замкнут, то	ток	в ней