Файл: Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие.pdf

П я т ы й ш а г . Получаем следующее частное:

11. 10111. 00.011 = 11,10111 - 2 ‘ 011= — 101,11 = -------

54

Вопросы и задачи для самопроверки

1. Для чего в ЦЕШ применяют двоично-десятичные системы записи чисел?

з

2.Запишите числа 99, 137, — в двоичной и восьмеричной системе счисле­ ния.

3.Переведите двоичные числа 1101,0, 1101, 1111, 011 в десятичную систему счисления.

4.Как определить знак числа в случае использования модифицированного кода при переполнении?

5.Чем отличаются правила образования обратного и дополнительного ко­ дов?

6.Какими преимуществами и недостатками обладает двоичная система по сравнению с другими системами счисления с точки зрения использования ее в цифровых вычислительных машинах?

7.Для чего в цифровых вычислительных машинах применяют двоичноде­ сятичные системы записи чисел?

8.Почему для записи.программы используется восьмеричная система счис­ ления?

9.Запишите числа 139, 251, 4/5 в двоичной и восьмеричной системах счис­ ления.

10.Переведите двоичные числа 10101,0,1011, 1101,011 в десятичную систему счисления.

11.Переведите восьмеричные числа 71, ИЗ, 267 в десятичную систему счис­

ную часть переведите с точностью до З- 5 .

14.Переведите десятичное число х 10= 211,335 в двоичную систему. Дробную часть переведите с точностью до 2~5.

15.Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных?

16.Запишите десятичные числа в двоичной системе счисления в прямом, обратном и дополнительном кодах:

17.Для чего в ЦВМ используются обратные и дополнительные коды?

18.Чем отличаются правила образования обратного и дополнительного кода?

19.Для чего в ЦВМ применяются модифицированные коды?

20.Как определить знак числа в случае использования модифицированного кода при переполнении?

21. Какому числу соответствует [х]доп = s — 1,00 . . . 0? s — запись числа

вs-ичной системе.

22.Переведите число [х]доп = 3,40223 в обычную запись.

23.Для каких чисел дополнительный и обратный коды числа совпадают

с самим числом (х не предполагается удовлетворяющим условию \х\ < 1)?

24.В каком модифицированном коде необходимо сложить два числа, если

[*]“„ = 11 .0 0 1 , Ы “р = и д и ?

71

ЧАСТЬ II

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦВМ

Глава четвертая

М АТЕМ АТИЧЕС КАЯ ЛОГИКА

Логика — наука о формах и законах мышления. Математиче­ ская логика описывает результаты применения математических методов к проблемам формальной логики.

Часть математической логики, занимающаяся исчислением вы­ сказываний, называется алгеброй логики, или алгеброй Буля.1 Булева алгебра изучает связи между переменными, принимающими только два значения. Булеву алгебру называют также исчислением высказываний, ибо в формальной логике под высказыванием пони­ мается всякое предположение, о котором можно сказать, что оно ложно или истинно при данных обстоятельствах.

Нас будет интересовать возможность использования булевой алгебры для анализа и синтеза дискретных систем.

§ 1. ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

Под высказыванием понимают всякое утверждение, относительно которого можно судить о его истинности или ложности, например: Мир — материален, снег — белый, 7 — четное число. Здесь первые два высказывания истинны, а третье — ложно. Из определения высказывания вытекает, что любое высказывание может быть ис­ тинным или ложным. Одновременно истинным и ложным высказы­ вание быть не может.

В алгебре высказываний используются только утвердительные высказывания и при этом либо точно истинные, либо точно ложные.

Примеры высказываний, являющихся объектами булевой ал­ гебры:

А — «за понедельником всегда следует воскресенье». F — «семью три — двадцать один»,

В— «лебедь — хищная птица»,

С— «С. Михалков — советский писатель».

логических связей формальной логики.

73

В — 1. Высказывания оцениваются лишь по их истинности или ложности, без учета их конкретного содержания. Высказывания называют эквивалентными, если они имеют одинаковые значения истинности. Эквивалентность двух высказываний обозначают зна­ ком равенства. Запись А — В означает, что истинность высказыва­ ний А и В одинакова. Переменную величину, принимающую зна­ чение 0 или 1, называют переменной Буля, или двоичной перемен­ ной.

В алгебре высказываний рассматриваются и составные, сложные высказывания, образованные из простых, истинность или ложность которых является функцией ложности или истинности простых вы­ сказываний. Для объединения простых высказываний в сложные применяются логические связи, которые будут рассмотрены ниже.

§ 2 . н е к о т о р ы е понятая и ОПРЕДЕЛЕНИЯ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ

Булева алгебра возникла как аппарат систематизации мышле­ ния и формализации рассуждений. В ней используется язык формул, который издавна применяется в математике. Получение логических следствий из исходных посылок осуществляется путем формальных преобразований логических формул по правилам, аналогичным правилам алгебраических действий. В связи с этим становится по­ нятным и термин «алгебра логики», так как логика — это наука о формах и законах мышления.

Нас будет интересовать возможность использования булевой алгебры для анализа и синтеза дискретных систем. Дадим и другое определение булевой алгебры: множество булевых функций, рас­ сматриваемых вместе с операцией отрицания, умножения и дизъюнк­ ции, называют булевой алгеброй.

Под анализом схем понимаем: по имеющейся схеме составляют булевую функцию. Путем формальных преобразований в соот­ ветствии с законами алгебры логики по полученной булевой функ­ ции судят о целесообразности и экономичности схемы и дают ответ на вопрос о том, нельзя ли обойтись меньшим количеством элемен­ тов для реализации той же функции.

Под синтезом схем понимаем: по логической функции, описы­ вающей некоторый процесс, определяют количество и характер элементов схемы, необходимых для ее реализации, и возможные способы их включения. Для этого исходное логическое выражение преобразовывают рациональным образом и расчленяют так, чтобы каждый член можно было реализовать элементарной схемой.

Кроме задач анализа и синтеза схем цифровых машин, знание булевой алгебры необходимо для составления программ работы цифровых машин и формирования логических условий.

74

Логическими (булевыми, двоичными) переменными (аргумен­ тами, высказываниями) в булевой алгебре называются величины, которые, независимо от их конкретной сущности, могут принимать лишь два значения. Логические переменные обозначаются какойлибо одной буквой с различными индексами (например, х 0, x lt . . . , хп). В дальнейшем два возможных значения логических переменных будем обозначать «нулем» — 0 и «единицей»— 1.

Булевой, или переключательной, функцией (функцией двузнач­ ной алгебры логики) f (х 0, х 1г . . . , хп) называют функцию, кото­ рая, как и ее я аргументов, может принимать лишь два значения — О или 1. Таким образом, можно определять булевы функции как двоичные функции двоичных аргументов. Функция, зависящая от я аргументов, называется я-местной и является полностью за­ данной, если указаны ее значения для всех булевых наборов значе­ ний аргументов.

Наборы значений аргументов называют иногда точками, ибо каждый из них может быть отождествлен с определенной вершиной единичного я-мерного куба.

Одним из распространенных способов задания булевой функции

данным набором в двоичной системе счисления (т. е. десятичный эквивалент десятичного представления числа), называется номером этого набора.

Областью определения переключательной функции от я аргу­

ментов является совокупность 2п булевых наборов. Булева функ­ ция от 2 аргументов является полностью определенной, если ука­ заны ее значения для каждого из 4 возможных наборов (22 = 4); функция от 3 аргументов полностью задана, если указаны 8 ее зна­ чений (23 = 8).

Отсюда совокупность значений какой-либо функции я пере­ менных можно рассматривать как запись 2п разрядного двоичного числа; так как имеется 22п различных 2п разрядных двоичных чисел,

75