Файл: Архаров В.И. Арифметические и логические основы цифровых вычислительных машин учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.07.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 1
Перевод числа в восьмеричную систему: |
|
||||
641 |
II |
|
0, |
4140625 |
|
640 |
80 |
II |
|
X 8 |
|
3, |
3125000 |
||||
|
'80 |
||||
1 |
1 0 |
||||
|
0 |
8 |
|
X 8 |
|
|
2, |
5000000 |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
X 8 |
|
|
1201. |
|
4, |
0000000 |
|
641хо |
|
0,414062510 = 0,3248 |
|||
|
641,414062510= |
1201,324„. |
|
||
Теперь каждую восьмеричную цифру заменяем |
двоичной триадой |
||||
641,414062510 = 001010000001,0110101002 = |
|||||
|
= |
1010000001,0110101. |
|
||
Перевод в десятичную систему счисления
Рассмотрим два метода перевода чисел из любой системы счис ления в десятичную:
а) метод последовательного деления на десять, б) метод суммирования степеней основания.
Пример 21. Перевести восьмеричное число 3078 в десятичное методом последовательного деления на Ю10
3078 |
|12в |
|
12 |
24 |
23 |
1 |
|
47 |
12 |
|
1 |
36Не
П8
|
1^8 — |
|
|
3078 = 19910 |
|
Пример 22. |
Перевести двоичное число 1110111, 112 в десятичное |
|
методом суммирования степеней двойки. |
|
|
1110111,112 = |
1-26+ Ь 2 5+ 1-24 + 0-23+ 1-22+ Ь 2 г+ 1-2° + |
|
+ 1-2-1 + 1-2-2 = 6 4 + 3 2 + 16 + 4 + 2 + 1 + — + — = |
||
|
2 |
4 |
= |
119 — = 119,7510. |
|
|
4 |
|
Пример 23. Перевести двоичное число 1101 001 1001112 в деся тичное.
22
Переведем предварительно двоичное число в восьмеричное
001.101.001.100.111,= 151478 = Ь 84 + 5 - 83+ 1-8а + 4-81 + 7-8° =
= 4096 + 2560 + 64 +'32 + 7 = 676110.
§ 5. НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Непозиционными системами счисления называются такие си стемы счисления, в которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от места ее положения в числе. Примером непозицион ных систем может служить известная нам римская система счисле ния и система счисления в остаточных классах.
Система |
счисления |
в остаточных классах |
|
|
||||||
|
Пусть нам задан ряд взаимно простых целых положительных |
|||||||||
чисел pj, |
р 2, р3...........р„. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Под системой счисления в остаточных классах понимают такую |
|||||||||
систему, |
в которой |
целое |
положительное число |
представляется |
||||||
в виде набора наименьших остатков от деления на числа |
р х, р 2, |
|||||||||
Рз< ■■■Рп |
N = (ап, |
|
|
|
|
|
(1.29) |
|||
|
|
|
. . . |
а 3, |
а 2, |
а ^ , |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а . ■N- |
■jv_ |
■Pt |
для |
i = |
1, |
2, 3, |
п, |
(1.30) |
|
|
|
pi |
|
|
|
|
|
|
|
т. |
е. цифра ctt есть наименьший положительный остаток от деления |
|||||||||
N |
на pt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В отличие от позиционной системы, образование каждого раз |
|||||||||
ряда происходит независимо |
друг от |
друга. Цифра г-разряда а £- |
||||||||
представляет собой наименьший положительный остаток от деления самого числа N, а не предыдущего частного, как в позиционных системах.
В теории чисел доказано, что если р, взаимно простые числа, то описанное цифрами ап, . . . а 3, а 2, а 1 представление числа N является единственным. Диапазон представленных чисел равен
P = P i X p 2 X P s X |
. . . X Рп- |
(1.31) |
Если в качестве оснований выберем взаимно простые числа |
||
Р/ = 2, 3, 5, |
7, |
(1.32) |
то диапазон представляемых чисел равен |
|
|
P = 2-3-5-7 = 210. |
(1.33) |
|
23
Возьмем десятичное число N = 5010, лежащее в заданном диа пазоне (0, 210) и переведем его в систему остаточных классов
|
а х= 50— |
g |
2 — 50— 25-2 = 0, |
|
|
|
|
|||||||
|
(О |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а 2 = 50 —Г 50 3 = 5 0 -1 6 -3 = 2, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wя 1! СЛ0 1 |
Г 5° 1 5 = 5 0 -1 0 -5 = 0, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
_ 5 _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1S |
II |
СЛ о |
|
5 0 ] |
7 = 5 0 - 7 - 7 = 1. |
|
|
|
|
||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
N = |
5010 = |
N (а4, |
а 3) |
а 2, |
|
0, 2, |
0) |
|
|
||||
Пользуясь |
соотношениями |
(1.29) — (1.33), |
составим |
таблицу |
||||||||||
десятичных чисел, |
выраженных |
в |
системе |
остаточных |
классов |
|||||||||
(табл. 1-4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а |
б |
л и |
ц а |
|
Десятичное |
Число в системе |
|
|
Десятичное |
Число в системе |
|
||||||||
число |
остаточных классов |
|
|
число |
|
остаточных классов |
||||||||
1 |
(1. |
1, |
1, |
1) |
|
|
30 |
|
(2, |
0, |
0, |
0) |
|
|
2 |
(2, |
2, |
2, |
0) |
|
|
60 |
|
(4, 0, о, 0) |
|
||||
3 |
(3, |
3, |
0, |
1) |
|
|
70 |
|
(0, |
0, |
1, |
0) |
|
|
4 |
(4, |
4, |
1, |
0) |
|
|
105 |
|
(0, |
0, |
0, |
1) |
|
|
5 |
(5, |
0, |
2, |
1) |
|
|
120 |
|
(Е 0, 0, 0) |
|
||||
6 |
(6, |
1, |
0, |
0) |
|
|
160 |
|
(6, |
0, |
1, |
0) |
|
|
7 |
(0, |
2, |
1, |
1) |
|
|
180 |
|
(5, |
0, |
0, |
0) |
|
|
8 |
(1. |
3, |
2, |
2) |
|
|
200 |
|
(4, |
0, |
2, |
0) |
|
|
9 |
(2, |
4, |
0, |
1) |
|
|
210 |
|
(0, |
0, |
0, |
0) |
|
|
10 |
(3, |
0, |
1, |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
(Е |
0, |
0, |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
(6, |
0, |
2, |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим правила сложения и умножения в системе остаточ |
||||||||||||||
ных классов. |
|
|
|
|
|
vl В |
представлены соответственно |
|||||||
Пусть операнды (числа) A |
||||||||||||||
остатками осг- и (5,- по основаниям рг при i |
1, |
2, 3, . . . |
п. |
В |
|
|||||||||
Если результаты |
|
операций |
сложения и |
умножения |
А |
и |
||||||||
А В представлены соответственно остатками уг и 8г, то справедливы следующие соотношения (доказательство приводить не будем):
yi = |
<*i+ $t (mod pt) |
s/ = |
arPi(mod р,-), |
т. е. сложение и умножение являются поразрядными операциями. При этом в качестве цифры результата берется соответственно:
V; = «г + Р,- — Щ~Г Pi ■P i- |
(1.34) |
Pi |
|
24
8,. = а ..р .— ~а>РГ Pi- |
|
|
|
|
(1.35) |
|||||
|
|
|
. Pt . |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 24. Сложить число А |
10 и число В |
20. По таблице |
||||||||
1-4 находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л = |
10= (3, |
0, |
1, 0) |
|
|
|
|
|
||
В = |
20 = |
(б, |
0, |
2, |
0). |
|
|
|
|
|
Согласно (1.34) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а4 = 3 + 6 — |
3 + 6 7 = 2, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
а 3 = 0 + 0— 0 + 0 5 = 0, |
|
|
|
|
||||||
ct2 — 1 + 2 — |
1 + 2 - 3 = |
0, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
а1==0 + 0— |
0 + 0 |
2 = |
0 . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
По таблице проверяем, что число (2, 0, 0, 0) есть 30 и равно сумме |
||||||||||
операндов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 25. Умножить два числа |
А = 7, |
5 = |
15. |
По |
таблице |
|||||
1-4 находим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л = |
7 = |
(0, |
2, |
1, |
1), |
|
|
|
|
|
В = |
15 = |
(1, |
0, |
0, |
1). |
|
|
|
|
|
В соответствии с (1.35) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЛВ = (0, 0, 0, 1). |
|
|
|
|
|
|||||
По таблице проверяем, что число |
(0, |
0, |
0, |
1) есть |
105 |
и равно |
||||
произведению операндов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видим из примеров, сложение и умножение являются по разрядными операциями, что позволяет получить очень высокое быстродействие. К недостаткам данной системы следует отнести не возможность визуального сопоставления чисел и ограниченность действия системы сферой целых положительных чисел. В настоящее время в СССР построена ЭВМ в системе остаточных классов, однако принципы построения таких ЭВМ в настоящем пособии рассматри ваться не будут.
Как уже указывалось выше, в дальнейшем будут рассматри ваться арифметические основы электронных цифровых вычисли тельных машин, в которых в качестве основной используется дво ичная система счисления.
Глава вторая
П РЕД С ТАВЛ ЕН И Е ЧИСЕЛ В Ц И Ф Р О В Ы Х М А Ш И Н А Х
§ 1. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В МАШИНАХ
Как и при ручном счете, для представления чисел в ЦВМ при меняются две формы: естественная и нормальная.
В зависимости от способа представления чисел ЦВМ делятся на машины с фиксированной запятой, где применяется естествен ная форма записи чисел, и машины с плавающей запятой, где при меняется нормальная форма записи.
Естественная форма записи чисел
При естественной форме записи числа представляются в виде последовательности цифр, разделенных запятой на целую и дроб
ную части. |
|
|
|
Например, числа 18,374; 399,054, 1111,00011; |
10111, 1101111; |
||
101, |
10001 |
записаны в естественной форме. |
|
В |
ЦВМ, |
где применяется естественная форма |
представления |
чисел, положение запятой жестко фиксируется после определен ного разряда и остается неизменным для всех чисел, с которыми оперирует вычислительная машина.
Разрядная сетка или ячейка памяти такой машины состоит из знакового разряда и цифровых разрядов, часть из которых отве дена для записи целой части, остальные отведены для записи дроб
ной части |
числа. |
|
|
|
|
|
Знак |
Целая часть |
• |
Дробная часть |
|
|
|
|
|
|
|
Номера |
0 |
1 2 . . . т |
|
т 1 т + 2 /72 - f 3 |
т -f- п |
разрядов |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
1 |
|
|
Для изображения знака числа отведен один разряд. В боль шинстве машин в знаковом разряде принято изображать знак < + > цифрой 0, а знак<;—> цифрой 1. Для изображения целой части числа на рис. 1 отведено т разрядов, дробной — п разрядов.
26