Файл: Шишков А.А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. Инженерные методы расчета.pdf

нии оси X, работой сил давления на элементе (dS/dx)Ах, излу­ чением, теплообменом, трением и массовыми силами прене­ брегаем).

Вследствие конвективного переноса через левую границу внутрь рассматриваемого объема за промежуток времени At бу­ дет вноситься:

—масса qvFÂI-,

—количество движения QVzFAt\

Элементарный импульс и элементарная работа сил давления в этом сечении представляются в виде

pF At и pvFAt.

Рассмотрение конвективного переноса, элементарного импуль­ са и работы сил давления на правой границе F(x+Ax, t) приво­ дит к аналогичным формулам, содержащим функции аргумента х + Ах. Разности соответствующих выражений определяют мас­ су, количество движения и полную энергию, задержавшиеся внутри объема; с точностью до членов первого порядка малости они равны

----— {QvF) AxAt',

дх

~ ^ - { qv2F) ах At-,

дх

АхAt------(jovF) АхAt.

дх

Приток массы и полной энергии в рассматриваемый объем вследствие сгорания топлива на элементе поверхности площади (dS/dx) Ax определяется соотношениями

где Ят — энтальпия топлива.

Импульс сил давления в направлении оси х элемента горя-

щей поверхности равен р dF дхдt.

дх

Группируя приведенные выражения в соответствии с закона­ ми сохранения и проводя преобразования, получим следующие

9

дифференциальные уравнения движения газов в канале порохо­ вого заряда:

ек— 1

Куравнениям (9) нужно еще присоединить следующие:

P= qRT (уравнение состояния);

- ^ - = и ( р , ѵ) — (уравнение горящей поверхности).

Число уравнений (пять) равно числу неизвестных и при со­ ответствующих граничцых и начальных условиях, геометриче­ ских характеристиках (связи между F и S) и конкретной зави­ симости и(р, V) течение газа определяется однозначно (в обла­ сти непрерывного движения). Уравнения (9) являются частным случаем уравнений движения идеального газа в каналах с про­ ницаемыми стенками, полученных Г. Г. Черным [87], и совпада­ ют с ними при следующих предположениях:

—полное теплосодержание единицы массы газа, притекаю­ щего от стенок канала, равно энтальпии торможения осевого те­ чения;

—проекция на ось канала скорости притока газов от стенки равна нулю;

—давление одинаково по всему поперечному сечению кана­ ла, включая периметр.

Системой уравнений (9) определяются, в частности:

—течение идеального газа в канале порохового заряда;

—течение газа в каналах с непроницаемыми стенками (на­

пример, течение газа в соплах, газопроводах); при этом п= 0. В процессе работы ракетного двигателя на твердом топливе

происходит изменение всех газодинамических характеристик, а также площади проходного сечения канала порохового заряда. Поэтому, строго говоря, все частные производные по времени, входящие в систему (9), отличны от нуля. Решение системы в общем виде возможно только численными методами. В некото­ рых случаях уравнения (9) усложняются за счет учета теплооб­ мена, химических реакций и гетерофазности потока. Наиболее сложные неустановившиеся газодинамические процессы в РДТТ развиваются в период воспламенения заряда твердого топлива.

Ю

1.3.КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

Вбольшинстве практически важных случаев уравнения газо­ динамики РДТТ упрощаются на основе гипотезы квазистацио­ нарности, т. е. предположения о том, что неоднородности, обу­

словленные неустановившимися течениями газа, пренебрежимо малы.

Для простоты исследуем условия применимости гипотезы ква­ зистационарности к решению газодинамических задач при w = 0 и F = const [52]. Аналогичным образом формулируются условия квазистационарного приближения и в других, более сложных случаях.

Пусть t и L — величины порядка промежутков времени и рас­ стояний, на которых скорость газа испытывает заметные измене­

~qvL/ta2. Сравнивая теперь члены dq/dt и q(dv/dx) в уравнении непрерывности, найдем, что производной dq/dt можно пренебречь

время, в течение которого звуковой сигнал пройдет расстояние L, существенно мало по сравнению со временем £, в течение ко­ торого заметно изменится движение газа. Таким образом, дви­ жение газа в РДТТ является квазистационарным, если время

Из сравнения соответствующих членов в уравнении непре­ рывности и импульса получаем формулировку условий, при ко­ торых можно пренебречь величиной dF/dt=uTL = u(dS/dx)\

Последнее неравенство имеет простой смысл: за время про­ текания газа вдоль всего канала і2 площадь проходного сечения практически неизменна.

Последовательное применение идей квазистационарности да­ ет возможность рассматривать более быстрые процессы как

* Релаксация газового объема — процесс установления стационарного те­ чения в этом объеме.

11