Файл: Шишков А.А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. Инженерные методы расчета.pdf

мгновенные, например, процесс распространения возмущений в пределах камеры можно считать мгновенным по сравнению с U (или временем релаксации газового объема), а последнее — весьма мало по сравнению с временем tn. Аналогично процесс релаксации теплового слоя в твердом топливе, определяющий согласно теории Я. Б. Зельдовича изменение скорости горения при изменении внешних условий, в квазистационарном прибли­ жении считается мгновенным по сравнению с процессом релакса­ ции газового объема 4- Времена тепловой релаксации газа и ре­ лаксации химических процессов на несколько порядков меньше U [60] и в дальнейшем считаются пренебрежимо малыми.

Таким образом, в квазистационарном приближении распре­ деление параметров газа вдоль двигателя в любой момент вре­ мени определяется геометрическими характеристиками в этоі же момент времени и системой уравнений (9) при пренебрежении всеми частными производными по времени:

P = qRT.

Решение системы уравнений (11) приводится в § 1.4—1.6 при и = 0 II в гл. II при ыфО для установившегося режима ра­ боты РДТТ.

Если систему уравнений (9) проинтегрировать по длине ка­ нала (пли объему камеры), то, пренебрегая членами порядка Мг как бесконечно малыми по сравнению с единицей, получим си­ стему обыкновенных дифференциальных уравнений для измене­ ния осредненных по объему параметров газа во времени:

dt

Методика определения коэффициента средней скорости горе­ ния ер и коэффициента восстановления полного давления в РДТТ г] изложена в гл. II.

Уравнения (12) могут быть получены непосредственно из уравнений газового и энергетического баланса ракетной камеры

12

для осредненных по объему параметров газа. Они исследуются в гл. IV с целью расчета в квазистацнонарном приближении изменений газодинамических параметров в РДТТ при неустановнвшихся режимах работы, например — при выходе на рабочий режим или при отсечке тяги.

Из сравнения систем уравнений (11) и (12) с исходной (9) видно, что квазистационарные процессы описываются уравнения­ ми в полных производных, в то время как процессы, не удовле­ творяющие условию квазистационарности, — уравнениями в ча­ стных производных. Такая замена уравнений в частных произ­ водных «квазистационарными» уравнениями в полных производных существенно упрощает математическую формули­ ровку задачи при незначительном уменьшении точности, вполне допустимом с точки зрения инженерной практики.

Гипотеза квазистационарности используется также в модели одномерного движения, так как последняя предполагает, что лю­ бое воздействие (например, подвод вещества через стенки) мгно­ венно равномерно распределяется по всей ограниченной массе газа, протекающей по каналу, при математическом описании за­ дач прикладной газодинамики и при экспериментальном модели­ ровании газовых потоков, например, при определении структуры течения в предсопловом объеме РДТТ (гл. II).

1.4. ПАРАМЕТРЫ ТОРМОЖЕНИЯ

Установившееся движение совершенного газа по каналам с непроницаемыми стенками имеет место в различных конструк­ тивных элементах двигателя: сопловом аппарате, предсопловом объеме, удлинительных газоводных трубах и газопроводах огне­ вой связи. На примере установившихся течений обнаруживается ряд общих газодинамических закономерностей, знание которых необходимо для понимания более сложных случаев движения газа.

Уравнения, определяющие установившееся движение газа в теплоизолированном канале, получаются из системы уравнений

(9) при пренебрежении всеми частными производными по вре­ мени (включая dF/dt = u(dS/dx) =0):

2

Постоянную, фигурирующую в уравнении (16), удобнее все­ го вычислить в предположении, что жидкость переводится в со­ стояние покоя (у= 0). Тогда получим

В результате полного торможения потока вся кинетическая энер­ гия газа переходит в тепловую.

X — = ----- г , получим другие возможные формы уравнения энергии

бА — 1

для установившегося движения:

где ро, до, Т0 и а0— давление, плотность, температура затормо­ женного потока и скорость звука в нем, или п а р а м е т р ы тор- п о ж е н и я.

При решении газодинамических задач наряду с параметрами торможения используются критические параметры, которые оп­ ределяются не условием и —0, а условием о= а = а кр:

Таким образом, энтальпия торможения может быть выраже­ на через критическую скорость аІф и другие критические пара­ метры:

Теоретически переход к параметрам торможения или крити­ ческим параметрам возможен всегда, независимо от того, реа­ лизуются они в каком-либо конкретном течении или нет. Каж­ дому сечению потока однозначно соответствуют вполне опреде­ ленные параметры торможения и критические параметры.

14

При установившемся течении совершенного (идеального) га­ за в теплоизолированном канале с непроницаемыми стенками все параметры торможения остаются постоянными во всей обла­ сти течения. При этом интеграл уравнения количества движения [второе уравнение системы (14)] совпадает с интегралом энер­ гии (18). В самом деле, используя уравнение непрерывности, уравнение количества движения можно привести к виду

6

Теплоизолированное течение газа без трения является изэнтропическим, и для него справедливо уравнение изэнтропы.

6ft

После подстановки равенства (21) в выражение (20) и инте­ грирования получим

Уравнение (22) совпадает с уравнение (18); его называют также уравнением Бернулли для сжимаемой жидкости.

1.5.ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим приведенную скорость X, равную отношению ско­ рости потока к критической скорости [1, 86]:

f l Kj)

Приведенная скорость X играет важную роль в прикладной газодинамике в качестве безразмерной переменной, особенно удобной при расчете газовых течений в случае постоянной тем­ пературы торможения (и, следовательно, критической скорости), В частности, температура торможения не изменяется при уста­ новившемся течении газа в ракетном двигателе на твердом топ­ ливе и использование приведенной скорости для газодинамиче­ ского расчета РДТТ является весьма целесообразным.

Из уравнения Бернулли (22) получаем после подстановки

= х% - ^ д а ѵ

15

Соотношения (23) являются определением газодинамиче­ ских функций т(А), е(£) и л (А.) и выражением этих функций через приведенную скорость А. Газодинамические функции т(А), е(А) и л. (А) называются приведенные температура, плотность и давление соответственно и служат для расчета параметров тече­ нии по известным параметрам торможения и приведенной ско­ рости, а также для решения обратных задач. С помощью газо­ динамических функций, определяемых соотношениями (23), вводятся другие газодинамические функции, позволяющие использовать в расчете непосредственно уравнения непрерывно­ сти и полного импульса.

Уравнение расхода газа через сечение F

G — qvF

с помощью соотношений (23) приводится к виду

yr To

где

Величина mKP равна 0,6386; 0,6581 и 0,6848 при £=1,15; 1,25

и 1,4 соответственно; коэффициент истечения А = т кРУ 1 /(RT)0 зависит только от свойств топлива (см. табл. 1).

Приведенный расход <7(А) определяется так:

Если в некотором сечении достигается критическая скорость и, следовательно, А=1, то <7(1) = 1, и расход через это сечение оп­ ределяется формулой

При решении ряда задач требуется связать расход газа не с полным давлением, а со статическим в данном сечении. Тогда

16