Файл: Шабалин Н.Н. Оптимизация процесса переработки вагонов на станциях.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
зволяет находить в каждом случае оптимальное по экономическим условиям решение.
Однако не для -всех практически имеющих место слу чаев можно получить тачные аналитические решения. В тех случаях, когда не представляется возможным полу чить аналитические зависимости, применяется метод ста тистического моделирования, именуемый еще методом статистических испытаний или Монте-Карло. Этот числен ный метод при помощи ЭВМ позволяет моделировать вероятностные процессы и получить осредненные ре зультаты, которые можно использовать непосредственно
или обобщить в виде приближенных |
формул для |
более широкого применения при решении |
аналогичных |
задач. |
|
Для исследования процесса переработки вагонов на станциях целесообразно использование как аналитиче ских зависимостей теории массового обслуживания, так и метода статистических испытаний.
2.ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОТОКОВ ТРЕБОВАНИЙ
ИПРОЦЕССА ОБСЛУЖИВАНИЯ
Если требования поступают через одинаковые интер валы времени, то в этом случае моменты их поступления образуют регулярный поток. Однако такие потоки практически встречаются редко. Под влиянием многих причин требования поступают с определенной степенью неравномерности и моменты их поступления образуют некоторый случайный лоток.
Решение задач теории массового обслуживания начи нается с определения законов распределения поступ ления требований и законов распределения времени их обслуживания.
Рассмотрим кратко законы распределения интерва лов в потоках требований и обслуживания. Так как ин тервалы времени не могут иметь отрицательных значе ний, то они характеризуются законами распределения неотрицательных случайных величин. В теории мас сового обслуживания и теории надежности наибольшее распространение получили следующие часто встреча ющиеся в практике распределения: показатель-
9
ное (экспоненциальное), эрланговские, гамма-распреде ление, гнперэ'кспоненциалы-юе, вейбулловское и нор мальное. Часто, однако, для .решения практических за дач достаточно иметь только числовые характеристики интервалов в потоках, такие как среднее значение (ма тематическое ожидание), среднее квадрэтическое откло нение, коэффициент вариации.
Коэффициент вариации интервалов характеризует степень неравномерности потока. Он равен отношению среднего квадратнческого отклонения к математическо му ожиданию и выражает относительное отклонение интервалов от среднего значения. При регулярном по токе, когда все интервалы равны, коэффициент вариа ции равен нулю, так как нет отклонения интервалов от среднего значения. С увеличением неравномерности по тока возрастает и коэффициент вариации, ухудшаются условия использования устройств станции и увеличива
ется потребность в резервах мощности для |
смягчения |
|
влияния неравномерности. |
|
|
П о к а з а т е л ь н о е |
(экспоненциальное) |
распреде |
ление определяет закономерности появления тех или иных интервалов в простейшем потоке однородных со бытий. Простейший поток, как известно, обладает свой ствами стационарности, ординарности и отсутствия по следействия.
Под стационарностью подразумевается свойство по
тока, при котором вероятность поступления |
определен |
||||
ного числа |
требований |
(поездов, |
вагонов) |
в течение |
|
некоторого |
отрезка |
времени |
зависит |
только |
от |
продолжительности этого отрезка времени, числа требо ваний и не зависит от положения этого отрезка на оси времени.
Ординарность потока означает практическую невоз
можность появления двух |
и |
более требований в |
тече |
ние малого отрезка времени dt. Это утверждение |
того, |
||
что требования поступают |
по |
одному, а не по два |
или |
больше. |
|
|
|
Отсутствие последействия заключается в том, что ве роятность поступления определенного числа требований за принятый отрезок времени не зависит от того, сколь ко требований поступило до этого. Отсутствие последей ствия определяет взаимную независимость событий в по токе.
10
С простейшим потоком |
связало |
р а с п р е д е л е н и е |
||||
П у а с с о н а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pa(t)-SWLe-\ |
' |
|
(1) |
|
где Pn(t) |
— |
вероятность появления |
п событий |
(требо |
||
п — |
ваний) за период t; |
|
|
|
||
целочисленное количество событий, появля |
||||||
X — |
ющихся за период времени t {п=0, |
1, 2,...); |
||||
интенсивность |
потока |
событий |
(среднее |
|||
|
|
количество требований |
потока, |
поступа |
||
|
|
ющих за единицу времени). |
|
|
||
Зависимость (1) определяет вероятность того, что |
за |
|||||
время [0, |
t] |
поступит п требований |
потока, например |
за |
||
время t поступит п поездов |
или завершится накопление |
|||||
п составов |
в сортировочном |
парке. |
|
|
|
|
Плотность распределения интервалов между собы тиями (дифференциальная функция распределения) в этом случае определится по формуле
/ (t) = |
le~xt; |
(t>0), |
f(t) = 0, для t > |
0)- |
(2) |
Известно |
[ 2 ] , |
что для |
пуассоновского |
потока |
интен |
сивности % интервалы между двумя соседними события ми потока независимы и распределены показательно с плотностью распределения (2). Дискретное пуассоновское распределение числа событий за определенное время t по формуле (1) и непрерывное показательное распреде ление независимых интервалов между событиями по фор муле (2) выражают один и тот же простейший поток событий.
Среднее значение (математическое ожидание) ин тервалов t определяется как величина, обратная интен сивности .потока,
Дисперсия интервалов будет равна
а среднее квадратическое отклонение как корень квадрат ный из дисперсии
=J _
и
Коэффициент вариации интервалов в простейшем по токе равен единице. Это значит, что интервалы отклоня
ются |
от среднего значения на 100%. |
Так, если |
на стан |
|||
цию поступают поезда с интенсивностью |
i = 3 поезда |
в |
||||
час, |
то средняя величина интервалов между ними f = 4 - |
ч |
||||
или 20 мин. |
|
|
|
О |
|
|
При показательном распределении |
интерва |
|||||
лов |
среднее |
квадратическое отклонение |
от |
среднего |
||
значения также будет равно 20 мин. |
На рис. 1 представ |
|||||
лен график непрерывного распределения интервалов по
показательному закону между прибывающими |
поездами |
|
при Я = 3. На этом графике по |
оси абсцисс |
отмечено |
среднее значение интервалов. |
|
|
В ряде случаев может иметь |
место так называемое |
|
сдвинутое показательное распределение, когда интерва лы не могут быть меньше определенной величины ta, на пример при поступлении поездов только с одного участ ка, где минимальный интервал определится условиями пропускной способности. В этом случае плотность рас пределения .интервалов
( 1е->- с-'.) |
при |
/ > * 0 |
|
|
/ " Н о . |
• • • |
п Р И |
, « , • |
<2 а > |
Средняя величина интервалов |
при этом будет |
|
||
? |
- ' ° + |
т - |
|
|
График плотности 'вероятности сдвинутого показа тельного распределения интервалов приведен на рис. 2 при / 0 = 6 мин (0,1 ч). Площадь под кривой плотности распределения, как известно, равна единице.
Интегральная функция показательного распределе ния
|
|
|
t |
|
|
|
F(t) = |
Р(Т |
<t)= |
l\e-udt=\ |
— e-* |
( * > 0 ) , |
(3) |
|
|
|
о |
|
|
|
а для сдвинутого |
показательного распределения |
|
||||
|
F(t)= |
1 — е - М ' - ' . ) , |
|
|
(За) |
|
Интегральная функция распределения интервалов по |
||||||
показательному |
закону приведена |
на рис. 3 для случая, |
||||
когда Я = 3 |
поезда в час, а по сдвинутому |
показательно |
||||
му закону |
при сдвижке на * о = 0 , 1 |
ч — на |
рис. 4. |
|
||
12
Рис. 1. Непрерыв 5!If ное распределение a: l интервалов меж I
ду поступлением поездов в парк прибытия по по казательному за кону
Рис. 2. Плотность 6 вероятности сдви §
нутого показа тельного распре деления интерва лов поступления поездов в . парк
прибытия
Рис. 3. Интеграль ная функция рас пределения интер валов по показа тельному закону
№
Рис. 4. Интеграль ная функция рас пределения интер валов по сдвину
тому показатель ОД
ному закону
-
t
0,1 0,2 Щ 0,6 0,8 1,0 1,г Величина интердалод поступления поездов t,v
0,1 0,2
— -=
I i
J
г
т
0,1 0,2 |
Ofi |
0,6 |
Ofi |
1,0 |
t,4- |
Между функцией плотности распределения и инте гральной функцией распределения оуществует тесная связь. Производная от функции распределения для непре рывных случайных величин равна плотности распреде ления. В связи с этим ордината точки t кривой плотно сти распределения равна тангенсу угла наклона каса тельной в точке t к интегральной кривой. Чем ниже точ ка на кривой плотности распределения, тем меньше тан
генс наклона |
касательной к интегральной кривой, тем |
медленнее она |
растет. |
Показательное распределение является наиболее |
|
лростым, зависящим только -от одного параметра К. Для потоков с показательным распределением интервалов получены аналитические зависимости, характеризующие показатели функционирования систем массового обслу живания. Кроме того, при помощи показательных рас пределений можно сформировать потоки с различной степенью неравномерности, т. е. с различными коэффи циентами вариации интервалов.
Р а с п р е д е л е н и е Э р л а н г а
Каждый интервал в потоке Эрланга состоит из К подын тервалов, распределенных по юказательному закону с ин тенсивностью X/. На рис. 5 по оси П нанесен поток собы тий с показательным распределением интервалов (пуассоновский поток) и интенсивностью X/. На оси Э показан по ток с эрланговским распределением порядка К = 2 и интен сивностью X, у которого каждый интервал состоит из двух подынтервалов. Математическое ожидание интервалов в по токе Эрланга равно — , а математическое ожидание подын-
х
тервалов равно .
11 |
|
|
X т |
. |
\ II |
|
|
|
/ |
|
|
1 |
1 |
1 |
^ ' |
J |
JL |
|
|
|
|
|
|
Рис. 5. Схема образования потока Эрланга: |
|||||
Л — пауссоновский |
поток; |
|
Э — эрланговский поток второго по |
||
|
|
|
рядка |
|
|
14
